精化圖形解剖?深化學科融合?優化模塊設計

【摘要】立體幾何解題教學的有效路徑之一是依托高考原題或名校試題，通過精準繪制直觀圖和平面圖形，融會學科內部知識，草擬模塊化解題片斷，設計好解題路徑。

【關鍵詞】圖形解剖；學科融合；模塊設計；立體幾何；解題教學

怎樣把借來的問題分析透徹，并能觸類旁通，還能提升學生解題能力呢？教學前教師首先要做的功課是：精準解剖圖形，深度融合學科內部知識，優化設計解題的模塊化路徑，借用信息技術畫出系列圖形，這樣才能提升學生的分析、解決問題的能力。現以2023年全國高考數學乙卷（理科）第19題為例詳細談談立體幾何解答題的解題教學。

引例：（2023年高考數學乙卷理科第19題）如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=，

PB=PC=，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，

AD=DO，點F在AC上，BF⊥AO。

（1）證明：EF∥平面ADO；（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D?AO?C的正弦值。

一、立體圖形精準解剖

像引例這樣的高考題或名校模擬題，教師往往根據別人提供的解答，結合自己以往的經驗，僅產生了比較淺薄的認知，并沒有把點、線段、平面之間位置關系通通理順就展示給學生看，其實這樣的教學效果是非常有限的。要根據題中所給予的條件，精準解剖圖形，既要畫出題的母圖，也要畫出它的關鍵性表面、截面的平面圖形，把問題的來龍去脈都理順清楚，形成深厚的認知。這樣也可以彌補培養學生提出、發現問題能力的缺憾。

1.直觀母圖的精準繪制

應用信息技術畫出試題母圖的直觀圖（如圖2），當然欲畫出標準的直觀母圖，首先教師須要理清圖形中的點、直線、平面的位置關系，才能依據斜二側畫法準則畫出母圖，以此來確定立體圖形的整體性、直觀性地位。

2.平面圖形的徒手繪制

模仿外科醫生做手術方法認真解剖平面圖形，把相關數量和位置關系梳理通暢：畫底面△ABC草圖，尋找相等角和計算角的三角函數值或尋找相似三角形（圖3）；畫側面△PBA的草圖，在已知AB=2，PB=

，AD=的條件下，把△PBA拓展成平面四邊

形APQB，應用平行四邊形的性質，計算PA=

（圖4），同理可計算PF=；畫出截面△POF

（拓展為△PHF）的草圖，根據已得結論，直線FO

是線段BC的垂直平分線，又由PB=PC可知，點P

在平面ABC內的投影H在直線FO上，設OH=u，PH=h，列出簡單的二元方程組，即可求出PH=，OH=1（圖5）。

二、學科內部深度融合

所選引例是學科內部進行深度融合的很好案例。怎樣進行學科內部融合呢？在前面精準解剖圖形的基礎上，從學科中不同的視角、方法，草擬模塊化解題片斷，為后續整體規劃解題的路徑與方法準備好“零件”，這也是教學前教師必做的功課。

1.平面模塊化解題片斷

模塊化解題片斷首先著力點是求解底面相關元素的位置、數量關系，基于條件AO是△ABC的一條中線，AB⊥BC，BF⊥AO，BC=，AB=2，求證目標是點F為CA的中點。可以選用不同的知識點切入生成模塊化解題片斷：

平面幾何切入：在Rt△OGB和Rt△OBA中，因為∠CBF+∠AOB=90o，∠BAO+∠AOB=90o，所以∠CBF=∠BAO；在Rt△OBA和Rt△ABC中，因為，，故Rt△OBA～Rt△ABC，從而∠BAO=∠BCA，所以∠BCA=∠CBF，BF=CF。

又因為O為BC的中點，連結FO，即得FO⊥BC。由

于AB⊥BC，所以AB∥FO，從而可得點F為CA的

中點。

三角函數切入：由AB=2，BC=，AB⊥BC，點O

為BC的中點，又因為BF⊥AO，tan∠OBF=tan∠BAO

==，tan∠BCA=，所以∠OBF=

∠BCA。連結OF，有OF⊥BC，則有AB∥FO，即點F

為CA的中點。

平面向量切入：由AB=2，BC=，AB⊥BC，即

=0，點O為BC的中點，設，，由AO⊥BF，有

，得，即

點F為CA的中點。

得到了點F為CA的中點這個“綱”，稍微作點點綴就會“綱舉目張”，應用三角形中位線定理和基本事實就能求證引例中問（1）；由DO2+AO2=AD2和AO⊥AF就能求證引例中問（2）；由，，，

再應用余弦定理就能得到，所以

，從而解答了引例中問（3）。

2.空間模塊化解題片斷

在精準底面圖形解剖基礎上構建空間模塊化解題片斷。若以BA為x軸，BC為y軸，點B為空間直角坐標系原點，建立空間直角坐標系B?xyz，如圖6，則各點坐標分別為B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，，0），O

（0，，0）。設F（v，s，0），即=（v，s，0），=（-2，

，0），由于點F在AC上，得，又

由AO⊥BF，得，聯立

得，即。設點

，，，列出方程組，易得，所以PB的中點為

，引例中問（1）、問（2）比較容易求證，現僅做

問（3）：設平面ADO的一個法向量為n=（w，m，1），

，所以，

即，解得，，

因此nn'。

又因為z軸⊥平面AOC，所以平面AOC的一個法向量為m=（0，0，1），設二面角D?AO?C的大小為，于是，所以。

在精準截面圖形解剖的基礎上，取O為空間直角坐標系原點，以OF為x軸，OC為y軸，作Oz∥HP，建立空間直角坐標系O?xyz，如圖7，得A（2，-，0），F（1，0，0），C（0，，0），B（0，-，0），P（-1，0，），

因為點D是BP的中點，又得，下面僅對引例問（3）提供一種解題片斷：

設平面ADO的一個法向量為P=（1，n，p），因為

，，

所以即解得

，故P，又因為z軸⊥平面AOC，

所以平面AOC的一個法向量為s=（0，0，1），設二面角

D?AO?C的大小為，于是

，故。

三、解題路徑優化設計

在教學過程中，教師要引導學生精準繪制直觀圖形和徒手畫出標上數量的平面圖形，結合題設條件，草擬模塊化解題片斷的積累，就抓住了問題的要點，透徹理解了相關數量和邏輯關系，從而悟出了許多解題的方法。下面例舉學生基于精準圖形繪制，深度融合學科知識，以向量線性運算和基本定理為主線的解題路徑優化設計一例：

1.如圖8，記，則，

因為O是BC的中點，則，又AB⊥BC，則，由AO⊥BF，得

，故，即點F

是CA的中點，又點E、D分別是PA、PB的中點，由三角形中位線定理，有EF∥PC，DO∥PC，由基本事實得EF∥DO，因為EF平面ADO，DO平面ADO，所以EF∥平面ADO。

2.由1知，，，

又，所以，DO2+AO2=AD2，所

以，AO⊥DO，即AO⊥EF，又因為BF⊥AO，EF，BF

是平面BEF內兩條相交直線，所以AO⊥平面BEF，又AO平面ADO，因此，平面ADO⊥平面BEF。

3.由，得，即得，又PO是等腰△BPC的中垂線，

所以，即，取FC的中點

為N，則∠DON是二面角D?AO?C的平面角，

，，又，

，

又，，故

，所以。

盡管在精準圖形繪制和解題片斷模塊化時并沒有考慮應用空間向量線性運算的解法，但通過上述兩個關鍵性過程的積累，學生對圖形中點、線段、平面的位置和數量關系了然于心了，就能產生生成性效果，派生一些其它解法。

【參考文獻】

[1]葛宏偉.高中數學中立體幾何試題的有效解題方法探究[J].數理化解題研究，2021（10）.