高考試題深度學習思考

摘 要：文章對2023—2024年高考數學試卷中的函數與導數試題進行研究，并解析部分有深度學習價值的問題，為函數與導數學習與教學探尋更好的突破口.

關鍵詞：高考試題；函數與導數；深度學習；學科素養

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0072-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：尹池江（1984.9—），男，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究；

周迎（1984.9—），女，本科，中學二級教師，從事高中數學教學研究．

基金項目：江蘇省教育科學規劃課題“指向創新思維培養的高中數學深度教學模式研究”（項目編號：B/2023/03/104）；徐州市中小學教學研究第十五期課題“深度學習背景下教材和課程資源開發研究”（項目編號：KT15081）．

2023年新高考Ⅰ卷第19題是導數解答題，難度有所下降，函數思想在第22題解析幾何問題中有所體現；2024年新課標Ⅰ卷，單選題第8題，解答題第18題，新課標Ⅱ卷第8題，分別在壓軸題部分考查了函數與導數內容，這反映了函數與導數作為高中數學的一個重要知識模塊，始終是高考考查的重點和難點.但試題難度的變化，題型位置的不固定，將是高考改革的趨勢.應對這種變化，學生必須做到深度學習，培養數學學科核心素養，提升關鍵能力.

1 試題分類評析

1.1 強化“四基”考查，注重教考銜接

例1 （2023年全國乙卷理第16題）已知a∈（0，1），函數f（x）=ax+（a+1）x在（0，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是．

解析 嚴謹推理，滿足題意需f ′（x）=axlna+（a+1）xln（a+1）≥0在（0，+∞）上恒成立，只需（1+aa）x≥-lnaln（1+a）在（0，+∞）上恒成立，所以（1+aa）0=1≥-lnaln（1+a）.

即［5-12，1）.

也可以求二階導數，f ″（x）=ax（lna）2+ax+1［ln（a+1）］2gt;0，得到f ′（x）在（0，+∞）上單調遞增.

所以f ′（0）=lna+ln（a+1）≥0，即［5-12，1）.

深度思考可以看出，函數f（x）=ax+（a+1）x可由y=ax和y=（a+1）x疊加得到，借助函數圖象（如圖1），利用所學指數函數圖象變化特征，可大膽下結論a∈［5-12，1），觸類旁通，深入理解，可將指數函數變成對數函數進一步研究.圖1 函數疊加比較

變式 已知a∈（0，1），函數f（x）=logax+log（a+1）x在（0，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是.

1.2 強化關鍵能力考查，培養學科核心素養

例2 （2023年全國新高考Ⅰ卷第11題）已知函數f（x）的定義域為R，f（xy）=y2f（x）+x2f（x），則（" ）.

A．f（0）=0""" B．f（1）=0

C．f（x）是偶函數D．x=0為f（x）的極小值點

解析 本題是常見的抽象函數問題，題目簡潔.進行賦值，前三個選項即可解答.D選項看似很復雜，但取特殊函數f（x）=0，也能快速解答出來.那么，抽象函數的極值應該如何解決呢？對于本題，經過深度學習，可以提出下面問題：

問題 滿足f（xy）=y2f（x）+x2f（y）的R上的連續函數，是否有具體的函數解析式呢？

根據題目中的抽象函數關系，得到下面抽象函數轉化的思維導圖（如圖2）.

由上面的思維導圖可以得到f（x）=

cx2ln|x|，x≠0，0，x=0，當xgt;0時，f（x）=cx2lnx，則f ′（x）=

2cxlnx+cx2·1x=cx（2lnx+1），分別畫出cgt;0（圖3）和clt;0（圖4）的函數圖象，當cgt;0時，x=0是極大值點，當clt;0時，x=0是極小值點，當c=0時，x=0不是極值點.

1.3 強化高階思維能力考查，培養終生學習者

例3 （2023年全國新高考Ⅰ卷第19題）已知函數f（x）=a（ex+a）-x.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）證明：當agt;0時，f（x）gt;2lna+32．

解析 （1）因為f（x）=a（ex+a）-x，定義域為R，所以f ′（x）=aex-1.

當a≤0時，由于exgt;0，則aex≤0，故f ′（x）=aex-1lt;0恒成立，所以f（x）在R上單調遞減；

當agt;0時，令f ′（x）=aex-1=0，解得x=-lna，

當xlt;-lna時，f ′（x）lt;0，則f（x）在（-∞，-lna）上單調遞減；

當xgt;-lna時，f ′（x）gt;0，則f（x）在（-lna，+∞）上單調遞增.

綜上，當a≤0時，f（x）在R上單調遞減；當agt;0時，f（x）在（-∞，-lna）上單調遞減，f（x）在（-lna，+∞）上單調遞增.

（2）方法1 當agt;0時，由（1）知，f（x）min=f（-lna）=1+a2+lna≥2lna+32.

即證a2-12-lnagt;0.

思路1 構造函數g（a）=a2-12-lna求最小值.

思路2 對數型超越不等式放縮（先證后用）：lna≤a-1（agt;0）.

思路3 數形結合找方法，如圖5，a2-12≥a-34或a2-12≥2a-1且lna≤a-1.

方法2 f（x）=a（ex+a）-x=aex+a2-x=ex+lna+a2-x≥x+lna+1+a2-x=1+a2+lna，

當且僅當x+lna=0，即x=-lna時，等號成立，下面同方法1.

例4 （2023年全國新高考Ⅱ卷第22題第（2）問）已知函數f（x）=cosax-ln（1-x2），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍．

解析 先回顧高中教材中判斷極值的充分條件，為了表述方便，按照大學教材極值的第一充分條件敘述如下：

極值第一充分條件[1] 設f（x）在點x0連續，在某鄰域U（x0;δ）內可導，則

（1）當x∈（x0-δ，x0）時，f ′（x）lt;0，當x∈（x0，x0+δ）時，f ′（x）gt;0，則f（x）在x0處取得極小值.

（2）當x∈（x0-δ，x0）時，f ′（x）gt;0，當x∈（x0，x0+δ）時，f ′（x）lt;0，則f（x）在x0處取得極大值.

解法1 因為f（-x）=f（x），

所以f（x）是偶函數.

因為f ′（x）=-asinax+2x1-x2，且f ′（0）=0，所以只需要考慮a≥0時，f（x）在0的某個右鄰域內f ′（x）lt;0恒成立.

當a=0時，f ′（x）=2x1-x2gt;0對任意x∈（0，1）恒成立，所以不滿足.

當agt;0時，取x0=min{1，1a}，當x∈（0，x0）時，ax∈（0，ax0）（0，1），

由（1）知ax-a2x2lt;sinaxlt;ax，所以

f ′（x）=-asinax+2x1-x2

lt;-a（ax-a2x2）+2x1-x2

=x（a3x-a2+21-x2）.

令p（x）=a3x-a2+21-x2，則p′（x）=a3+4x（1-x2）2gt;0對任意x∈（0，x0）恒成立.

所以p（x）在（0，x0）上單調遞增.

①當p（0）=2-a2lt;0，即agt;2時，若p（x0）≤0時，取δ=x0，若p（x0）gt;0時，δ∈（0，x0），使p（δ）=0，

所以x∈（0，δ）時，p（x）lt;0.

即f ′（x）lt;xp（x）lt;0.

所以f（x）在（0，δ）上單調遞減.

又因為f（x）是偶函數，

所以f（x）在（-δ，0）上單調遞增.

所以0是f（x）的極大值點.

②當p（0）=2-a2≥0，即0lt;a≤2時，

f ′（x）=-asinax+2x1-x2

gt;-a2x+2x1-x2

=x（-a2+21-x2），

因為x∈（0，1），所以21-x2gt;2.

而-a2≥-2，所以f ′（x）gt;x（-a2+21-x2）gt;0.

所以f（x）在（0，x0）上單調遞增，不滿足要求.

又因為alt;0時，-agt;0，由f（x）=cosax-

ln（1-x2）=cos（-ax）-ln（1-x2），

可知alt;-2滿足題意，-2≤alt;0不滿足題意.

綜上可知，a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）.

極值第二充分條件 設f（x）在點x0的某鄰域U（x0，δ）內一階可導，在x=x0處二階可導，且f ′（x0）=0，f″（x0）≠0.

（1）若f″（x0）gt;0，則f（x）在x0處取得極小值.

（2）若f″（x0）lt;0，則f（x）在x0處取得極大值.

解法2 f（x）=cosax-ln（1-x2），x∈（-1，1），

且f ′（x）=-asinax+2x1-x2，

滿足f ′（0）=-asin0+0=0.

f ″（x）=-a2cosax+2+2x2（1-x2）2，f″（0）=-a2+2.

所以當a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時，有

f ″（0）lt;0，得x=0是y=f（x）的極大值點；

當a∈（-2，2）時，f ″（0）gt;0，得x=0是y=f（x）的極小值點，不滿足條件；

當a=±2時，f ″（0）=0，怎么辦？

想法1 可將a=±2代入到函數中，運用解法1進行驗證.

想法2 （極值的第三充分條件）設f（x）在點x0的某鄰域U（x0，δ）內存在n-1階導函數，在x=x0處n階可導，且f （k）（x0）=0（k=1，2，…，n-1），f （k）（x0）≠0.

（1）當n為偶數時，f（x）在x0處取得極值，且當f （k）（x0）gt;0時取得極小值，當f （k）（x0）lt;0時取得極大值.

（2）當n為奇數時，f（x）在x0處不取極值.

因為f （x）=a3sinax+2（1-x）3-2（1+x）3，f （0）=0，

f （4）（x）=a4cosax+6（1-x）4+6（1+x）4，f （4）（0）=a4+12≠0，

又因為x∈（-1，1）時，f （4）（x）gt;0，所以0是f（x）的極小值點.

綜上可知，a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）.

例5 （2024年新高考Ⅰ卷第18題）已知函數f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.

（1）若b=0，且f ′（x）≥0，求a的最小值；

（2）證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形；

（3）若f（x）gt;-2當且僅當1lt;xlt;2，求b的取值范圍．

分析 （1）求出f ′（x）min=2+a，根據f ′（x）≥0可求a的最小值；

（2）要證明曲線y=f（x）是中心對稱圖形，

可以從下面幾個方面思考.

思路1 根據函數的定義域是（0，2），可得曲線的對稱中心橫坐標是1，由于函數f（x）在（0，2）上是連續函數，于是猜想對稱中心是（1，a）.

思路2 觀察函數解析式，可以發現y=lnx2-x與y=b（x-1）3都關于點（1，0）對稱，而y=ax不關于（1，0）對稱，將f（x）向左平移1個單位，得到函數f（x+1）=ln1+x1-x+a（x+1）+bx3，則f（x+1）-a是奇函數，所以f（x）的圖象關于（1，a）對稱.

思路3 因為f ′（x）=1x+1x-2+a+3b（x-1）2關于x=1對稱，猜想f（x）的圖象關于（1，a）對稱.

（3）根據題設可判斷f（1）=-2，即a=-2.所以f（x）=lnx-ln（2-x）-2x+b（x-1）3，f ′（x）=1x+1x-2-2+3b（x-1）2=（x-1）2［2x（2-x）+3b］.令g（x）=2x（2-x）+3b，則g（x）在（1，2）單調遞增，而g（1）=2+3b，對g（1）的符號進行討論即可得出答案.

而在實際的考試中，學生想不到對f ′（x）提取公因式，思維就會受阻，如果站在更高階思維上，由f（1）=-2，f ′（1）=0，對f ′（x）進行有限次求導，可得必要條件f （k）（x）≥0，然后再進行充分性證明即可.

2 結束語

《中國高考評價體系》在回答“考什么”時，明確指出考查必備知識、關鍵能力，這意味著高考數學將會更加全面、深入、靈活地考查基礎知識.在函數知識的教學中，教師應致力于加強基礎知識的復習，要講清、講透核心知識的內涵和外延，弄清不同知識之間的聯系，適當與高數銜接，引導學生通過多角度思考來加深對知識、概念的本質理解，夯實學生的基礎知識，做到真懂會用、靈活應用.

參考文獻：

［1］華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

［責任編輯：李 璟］