聚焦數學本質，關注數學品格

【教材分析】

本課呈現出各種各樣的輪子，引發學生提出輪子為什么設計成圓形的疑問，引出對畫圓以及圓的特點的研究，學會畫圓、掌握直徑與半徑的關系，解釋輪子做成圓形的原因。本節課是在學生已經初步認識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形這些平面圖形的基礎上進行學習的，為后續圓柱表面積和體積、圓錐體積的計算打下基礎。

【教學目標】

1.結合生活實際認識圓，會用圓規畫圓，培養規則意識；理解圓心、半徑、直徑的意義，掌握圓的特征，理解同一個圓（或等圓）里半徑與直徑的關系，發展空間觀念。

2.在探究圓的特征的過程中，培養學生全面思考、細致嚴謹的思維品質，以及大膽質疑、言必有據的理性精神；在觀察、操作、想象、解釋等活動中，積累數學活動經驗。

3.體驗數學與生活的密切聯系，從數學的角度感受圓的美，激發愛國主義情感。

【教學重難點】

教學重點：認識圓，在探索中發現圓的特征。

教學難點：通過畫圓理解、感悟、發現圓的特征。

【教學準備】

圓形紙片、直尺、圓規、學習任務單等。

【教學過程】

一、創設情境，提供素材

（一）出示情境圖，引發思考

師：隨著時代的進步，我們的交通工具也在不斷發生著變化，看，你認識它們嗎（如圖1）？

生：馬車、人力車、自行車、摩托車、汽車、飛機。

師：交通工具在變，但有一點沒變，你發現了嗎？

生：都有輪子，而且輪子都是圓的。

師：深入想一想，輪子為什么是圓的呢？

生1：圓形輪子易于滾動。

生2：圓形輪子滾動起來平穩且不顛簸。

師：大家都有生活體驗，那圓和我們之前學習的平面圖形有什么不同？

生：長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形，這些圖形的邊都是直的，圓的邊是彎曲的。

師：也就是說，我們以前所學習的平面圖形是由線段圍成的，而圓形則是由一條曲線圍成的平面圖形。看來輪子設計成圓形和圓的特點有很大的關系，這節課我們就對圓做進一步的研究。（板書課題）

（二）回顧方法，遷移經驗

師：既然都是平面圖形，它們在研究方法上就有相同之處。回顧一下，研究長方形、正方形等平面圖形時都用到了哪些常用的研究方法？

生：畫一畫，量一量，折一折。

師：我們把這些方法遷移到今天的學習上，一起探究圓的特征。

【評析】通過創設變化中的交通工具這一情境，激發學生的好奇心和求知欲：車輪為什么要設計成圓形的？學生對所學內容產生了濃厚的興趣，把潛在的學習欲望變成實際的學習動力，調動學習積極性，使數學課堂充滿生機和活力，同時通過回顧之前平面圖形的研究方法，實現今天對圓研究方法的遷移。在本環節中，教師一連串的問題引發學生深入思考圓和以前所學的平面圖形的不同之處，激發學生探究圓的本質特征的欲望，培養學生獨立思考、勇于探索的精神。獨立思考與探索精神的培養，不僅有利于優化學生的思維質量，提高創新能力，更能為學生的終身教育蓄養能量。

二、觀察操作，研究圖形

（一）初次畫圓，感受圓是曲線圖形

師：既然我們要研究圓，那先畫一個圓吧。畫在你的學習任務單上。

交流：

生1：我是把杯子蓋放在紙上畫出來的。

生2：我是用圓規畫的。

生3：我把圖釘扎在紙上，拉緊繩子畫出來的。

師：無論是用什么方法，在畫圓的過程中你們是不是進一步體會到圓是由一條曲線圍成的平面圖形。

（二）二次畫圓，體會圓規畫圓的普適性

師：你們能用剛才畫圓的工具畫一個再大一些的圓嗎？

學生嘗試畫圓，討論交流。

師：老師發現有的同學遇到困難了，說一說你為什么不畫了？

生1：用實物比著畫，圓的大小是固定的，沒法畫出更大的圓。

生2：用圖釘TYreB6CaZ5LHDAy+Uxf/tyrny0KXY480F5kOXP2Q21I=線繩畫，繩子的長度有限，沒法畫更大的。

師：圓規可以畫出大小不同的圓嗎？

生：把圓規兩腳分開的大些，可以畫出一個更大的圓。

師：使用圓規畫圓，可以畫出大小不同的圓，圓規是我們在紙上畫圓的常用工具。

（三）三次畫圓，掌握方法，感悟特征

師：我們借助圓規畫出一個圓，邊畫邊思考如何能畫得又好又快。

師：老師發現這位同學是第一個畫完的，并且畫得非常好，我們請她來給大家介紹一下方法，好嗎？

生：針尖要固定好，圓規叉開的兩腳距離不動，旋轉一周。

師：這位同學抓住了畫圓的關鍵，畫圓時要固定針尖這個點即定點，固定針尖到筆尖的長度即定長，然后旋轉。下面我們跟隨微課具體來看一下如何運用圓規畫圓。

小結：圖釘線繩畫圓與圓規畫圓的道理是一樣的。圖釘固定的位置就是定點，線繩的長度就是定長，旋轉一周就能畫出一個圓。生活中我們常用這種方法畫圓。

【評析】畫圓是本節課的重中之重，由于高年級學生已經具有豐富的生活經驗，于是第一次畫圓，教師不做任何指導，讓學生用自己喜歡的方法畫圓，這一環節充分關注學生知識起點的同時，體悟圓作為曲線圖形與以前所學的平面圖形的不同之處；第二次借助圓規畫圓，感受圓規畫圓的普適性，在畫中反思，歸納出圓規畫圓的技巧。這一過程，不僅關注了學生畫圓技巧形成的動態過程，還培養了學生反思質疑、實事求是的科學態度。教師將圓規畫圓與“釘繩畫圓”進行比較，讓學生體會不同的畫法有著相同的本質，即定點、定長，為后續學習半徑及特征打下基礎；第三次帶著問題畫圓，引發學生進一步思考，原來定點決定圓的位置，定長決定圓的大小。教師引導學生用數學的眼光去觀察、用數學的思維去分析、用數學的語言去表達，將對畫圓的感性認識提升到對圓本質特征的把握，凸顯數學的嚴密性與思想性。

三、引導建構，認識圖形

（一）認識圓各部分的名稱

1.圓心

師：大家都掌握了圓規畫圓的方法，請你們用這種方法再畫一個圓，聽清要求：新畫的圓要和剛才的圓在同一位置上，比剛才的圓小一點。

師：哪位同學到前面來說一說你是怎樣畫的？

生：找到上次針尖扎的那個點，將圓規兩腳間的距離縮短一些，就可以畫出來了。

師：通過這次畫圓，你又有什么新的發現呢？

生：定點的位置就是圓的位置，定長的長度就能決定圓的大小。

師：老師在黑板上畫一個圓，畫圓時固定的一點你知道叫什么嗎？

生：圓心。

師：圓心通常用字母“O”來表示。

2.半徑

師：你能在圓上畫一條線段表示圓規兩腳間的距離嗎？誰愿意到黑板上畫一畫，其他同學畫在學習單上。這樣的線段有多少條呢？

生：無數條。

師：你知道這樣的線段叫什么嗎？

生：半徑。

師：仔細觀察，半徑是一條怎樣的線段？

生：一個端點在圓心，另一個端點在曲線上的線段叫半徑。

教師在與學生的交流中介紹圓上、圓內、圓外。

師：連接圓心到圓上任意一點的線段叫作半徑，一般用字母r來表示。

師：你是怎么理解“圓上任意一點”的？

生：圓上有無數個點。

師：對，圓上有無數個點，每一個點都對應著一條半徑，這無數個點也可以看作是由一個點繞圓心旋轉得到，這樣就形成了一條完美的曲線，這就是我們所說的“點動成線”。

3.直徑

師：圓除了圓心、半徑還有直徑，你們聽說過嗎？誰能畫出圓上的一條直徑？還有嗎？

師：觀察并且思考，直徑又是一條怎樣的線段呢？

生：從圓上一點到對面圓上一點的線段。

師：這條線段是直徑嗎？為什么不是？

生：沒有過圓心。

師：那直徑要滿足幾個條件？

生：兩個，過圓心并且兩端都在圓上。

師：正像同學們所說，通過圓心并且兩端都在圓上的線段，叫做直徑，一般用字母d來表示。

4.鞏固練習：找出下列圓的直徑和半徑。

（二）探索圓的特征

師：同學們，剛才我們認識了圓心、半徑和直徑，其實圓還蘊藏著許多豐富的特征呢，想不想自己動手來研究？以小組為單位動手折一折、量一量、畫一畫，并將你的發現記錄在學習任務單上。

小組合作探究，全班交流。

生：半徑有無數條，長度相等。

師：數學要有理有據，你們是怎樣發現的？

生1：畫出幾條半徑，量一量長度。

生2：將圓對折后發現半徑完全重合，所以半徑有無數條，長度相等。

師：如果不量、不折，怎樣知道半徑的長度都相等？

生：畫圓的時候圓規筆尖到針尖的距離不變，這段距離就是圓的半徑，所以半徑的長度都相等。

師：你真善于思考，聯系剛才畫圓的經驗得到半徑的這一特點。

師：（出示大小不等的兩個圓）這兩個圓的半徑相等嗎？在什么情況下才相等？

生：在同一圓內。

師：對，如果不在同一圓內，兩個相等的圓這個結論也是成立的。所以我們說“半徑都相等”時加上“在同圓或等圓內”這一前提就更加嚴謹了。

師：對于直徑，你們有什么發現？是怎樣發現的？

生1：畫一畫，量一量。

生2：折一折，量一量。

生3：一條直徑等于兩條半徑的長度，半徑的長度都相等，所以直徑的長度也相等。

師：同一圓內直徑和半徑的長度有什么關系？怎樣簡潔地表達它們之間的關系？

生：d=2r，r=d

師：用字母表示，這就是數學的簡潔之美。對于圓，你還有其他發現嗎？

生：圓是軸對稱圖形，有無數條對稱軸。

師：它的對稱軸在哪里？

生：就是它的直徑。

師：對稱軸是直線，直徑是線段，這樣說不合適。

生：對稱軸是直徑所在的直線。

【評析】數學思維是數學教學的靈魂。當學生通過動手操作得出“半徑的長度都相等”這一結論時，教師沒有急于糾正，而是先引發學生思考、辨析，體會“半徑都相等”的結論應該加上“在同圓或等圓內”這一重要前提，有效培養學生表述的準確性和數學思維的縝密性。由于畫圓時學生已經積累了足夠的感性經驗，所以對圓的半徑與直徑的特點都有感悟。教師將用力點放在引導學生通過畫、量、折、比等方法開展驗證活動。通過幾次追問“你是怎樣發現的？”引導學生不僅用動手操作的方法直觀發現半徑與直徑的特征，還通過具有啟發性的問題“如果不畫、不量、不折，能不能驗證？”引導學生用推理證明的方法深刻理解圓的本質特征。

四、鞏固新知，拓展應用

師：早在2000多年前，我國偉大的思想家墨子就說過：“圓，一中同長也。”“一中”是什么意思？“同長”呢？

生：一中是指一個圓心，同長是指半徑同樣長。

師：“一中同長”這四個字高度概括了圓的本質。同一時期《周髀算經》也記載了“圓出于方”，你是怎樣理解這四個字的？

生：圓形可以由正方形得到。

通過視頻感受“圓出于方”的數學美與極限思想。

師：回顧上課開始的問題，你能運用今天學過的知識解釋一下車輪為什么會做成圓形的嗎？

生：在同一圓內，半徑的長度相等，所以圓形的車輪行駛起來更加平穩。

小結：車輪之所以做成圓形，并使車軸通過圓心，是因為當車輪在地面上滾動時，車軸離開地面的距離總是等于車輪半徑那么長，這樣行駛起來才會平穩。橢圓形車輪滾起來會怎么樣？你能用手比畫一下嗎？方形車輪呢？

【評析】通過解決課前問題“車輪為什么要設計成圓形的”，使學生體會數學來源于生活又服務于生活的道理，培養學生的問題意思、應用意識。數學有著豐厚的歷史沉淀，是先哲智慧的結晶。數學的博大精深有待教師引領學生通過學習去感受，人類的智慧與文明有待教師帶領學生去領略。本環節“一中同長”“圓出于方”等數學文化的介紹，從歷史的視角去豐富學生原有的認知結構，探尋古老的數學文化與數學極限思想的契合，感受祖先智慧的光輝。

五、總結反思，欣賞拓展

師：一節課很快就要結束了，通過本節課的學習，你有什么收獲？

學生從知識、方法、情感三個方面進行回顧。

師：帶著這些收獲讓我們一起回顧本節課的學習過程：通過觀察不同時代的交通工具，我們提出了輪子為什么要設計成圓形這一問題，開始了對圓特征的探究；在畫圓的過程中我們認識了圓心、半徑和直徑；通過動手操作研究了圓的特征，明白了輪子做成圓形的科學道理。

師：除了車輪是圓形的，其實圓在我們的生活中無處不在，古希臘哲學家畢達哥拉斯說過：一切平面圖形中最美的是圓形。我們一起來欣賞圓的美，希望同學們在生活中做美的發現者、創造者和探究者。

【評析】育人始立美，美育不應成為音樂、美術課的專利。小學數學教學中恰當地滲透美育，將會極大地激發學生對數學的興趣，讓他們感受數學的獨特價值。在探索圓特征的過程中，學生通過畫、量、折等活動，經歷觀察、操作、猜想、驗證等過程，感受圓的對稱美與和諧美。課末欣賞生活中的圓，使學生再次體會圓獨特的魅力與數學的美學價值。

總之，教師深刻把握圓概念的本質屬性，充分關注學生已有的數學活動經驗，設計更加符合學生心理特征的學習活動，讓學生積極地參與到教學實踐中來，主動經歷圓概念本質屬性的探索過程，激發學生探究發現的熱情，提升學生領悟數學概念的本領。在聚焦數學本質、發展數學能力的同時，蓄養理性精神，歷練嚴謹思維。

（作者單位：青島杭州路小學）

編輯：溫雪蓮