朱浩楠：讓數學建模成為學生撬動世界的支點

怎樣根據景點特色與游覽需求合理規劃旅游路線？如何綜合考慮票價、視野效果等因素挑選性價比高的劇場座位？這些日常生活中的常見問題，實質上都屬于數學建模的應用范疇。自2014年開始，北京市十一學校教師朱浩楠一直致力于高中數學建模教育的實踐與推廣，從創立學校數學建模社團，到組建數學建模實驗室及開展各項活動，再到成為北京師范大學數學建模教育中心核心成員，他帶領學生不斷挖掘生活現象背后的數學結構，并據此發展他們對于核心現象的認識，不僅加深了學生對數學學科本質的理解，還引導他們找到了撬動世界的支點。

從“0”到“1”的高中數學建模

2014年夏天，剛入職僅三天的朱浩楠便給時任北京市十一學校副校長的田俊遞送了一份文件，提議在高中階段開設數學建模課程，并附上了自己的課程規劃，希望通過啟發式引導，加深學生對數學學科本質的深刻理解。田俊給出的建議是，可以先從社團做起。于是，受到鼓舞的朱浩楠開始將他對數學建模課程的構想一步步化為現實。

彼時，數學建模在大學已廣泛普及，但在中學尚處于初步探索階段，落實起來基本上需要從零做起。在多數教師眼中，數學建模本身難度較大，開發起來費時費力，加之高考并不涉及相關內容，因此，除了專門負責競賽輔導的教師之外，鮮有人愿意投入大量精力鉆研探索，導致教學素材十分匱乏。

朱浩楠認為，數學一直被人們視為探索世界奧秘、驅動科技進步的關鍵學科。然而，學生們整日沉浸在題海中，往往難以真正體會數學的內在價值。他相信，雖然絕大多數學生不會成為數學家，但每個人未來都需要借助數學解決各類問題。這更加堅定了他在高中推進數學建模的信念。由于大學數學建模教材難度偏大，即便是向高中生講授節選的簡單章節，教學效果也不甚理想。對此，他一方面鉆研大學數學建模的參考書，并緊密結合高中課程標準，篩選出學生能夠基于課內所學自然延伸、拓展的內容；另一方面結合學生的生活實際，開發出新的案例，以便學生能夠更好地理解相關內容。

解決了“教什么”，還需要解決“如何教”的問題。好的課堂設計是確保教學內容充分發揮效用的關鍵。朱浩楠最初的教學方式是，先拋出一個問題，然后向學生講解解決問題的具體方法，但很快他便發現，之后學生每次所構建的模型大多是課上演示模型的復制品，一旦遇到新的問題，學生的第一反應往往是找模型套用，如果不能匹配，就束手無策了。

在朱浩楠看來，高中階段的數學建模教育并非僅僅為了傳授學生幾個針對特定問題的具體模型，而是借助這些過程和體驗，培養他們發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，進而使他們在未來面對復雜的現實問題時，能夠結合實際情況，自主設計并完善相應的模型或解法。基于這樣的思考，他踏上了探索新方法的征程。

不僅“知其所以然”，還要“知其若不然”

發現并提出問題是整套數學建模流程的起點。它往往被視為創新誕生的第一步，也恰恰是相當一部分學生的短板所在。朱浩楠每年都會給學生布置一項作業，要求他們根據自己的興趣愛好，提出一個想要通過數學建模解決的問題。令他感到有些意外的是，最初幾年收集上來的作業基本上集中于校園垃圾桶擺放、校門口車流量調控以及學校食堂座位分布這三類問題。問過學生之后才得知，他們之所以提出這些問題，并非出于個人興趣，而是模仿了那些頻繁出現在教材和習題中的場景。

發現并提出問題原本是人的本能，為何積累了十幾年學習經驗的高中生反而在這一方面變遲鈍了？朱浩楠認為，其中一個重要原因在于不少教師把數學課上成了“如何解數學題”，導致學生認知中的數學與生活體驗相脫節。“這種做法雖然能提高學生的應試能力，但忽視了向他們闡釋解題方法背后的數學原理。久而久之，當學生走出考場，真正面對現實生活中的具體問題時，往往難以意識到很多問題其實可以用數學的方法來解決。”他解釋道。

朱浩楠鼓勵學生大膽猜想、勇于提問、小心求證。他常對學生說：“只要敢于提出，就是好問題。”并進一步引導他們基于這些問題構建出相應的數學模型。即使中途失敗了也沒關系，那就再帶他們回頭審視“基本假設是否正確”，然后在不斷試錯中迭代改進。

為了幫助學生充分理解數學原理的本質，朱浩楠在課堂上并不急于帶學生直奔標準答案，而是盡可能帶他們體會研究科學問題真實而自然的過程，有時還會特意設計一些“彎路”，不僅讓學生“知其所以然”，還要“知其若不然”。“因為前者僅能教會學生很好地復制他人的研究成果，后者才是突破現有認知壁壘，進而解決新問題的關鍵。”因此，在朱浩楠的課堂上，時常能聽到他向學生提問：“這套數學模型有沒有更好的建立辦法？”“為什么他們是那樣構造的？”“能否換一個角度解決這個問題？”等，從而將學生對數學的思考不斷引向深入。

以“人口模型”為例，朱浩楠先讓學生在黑板上列出他們認為可能影響某地人口流動的因素，并闡述各自的理由。學生們紛紛發言，有的提到教育政策、醫療水平，有的提出豬肉價格、大型演唱會的數量等因素也可能對人口流動產生影響。接著，他故意發問：“那你們能否用這些影響因素去建構數學模型呢？”學生們最初感到不解，表示因素太多，需要合并，而后便很快開始自發進行篩選、分類，經過多輪討論及反問，最終確定了幾個主要影響因素，并在黑板上通過連線清晰地展示了它們之間的結構聯系，進而確定了建模的基本假設。整個過程中，朱浩楠并沒有直接給出任何答案，而是通過適時的引導，讓學生借助一系列問題串逐步探索出自己想要的答案。在他看來，讓學生經歷試錯是必要的，也只有經過這個過程，學生才能學會在面對復雜的實際問題時，根據簡單有效原則，抓住主要矛盾，并厘清要素之間的關系。

學習自由之藝和科學精神

朱浩楠始終堅信，數學本質上是一門用以培養人的學科，數學教學應該指向培養學生的心智追求，促進其全面而自由地發展。正如他在數學建模實驗室的標語中寫到的，要帶領學生“學習自由之藝和科學精神，將自己從成為工具的潛在風險中解放出來”。

對不少教師而言，考試考什么，課上就帶學生重點練什么，是他們教學時所奉行的“金科玉律”。朱浩楠卻不喜歡這樣，他更希望自己的課堂能夠教學生解決試卷之外的數學問題。比如教到數列的通項公式時，除了講等差、等比等常規內容，他還要花時間講解畫圖等研究數列的通用方法。學生們減少了套用公式計算的時間，但學會了如何用不那么“標準”的數列解決實際研究中更容易出現的問題。

朱浩楠對于數學建模實驗室人員的選拔，只遵循自然吸引、自然流失的原則，為每個對數學建模感興趣的學生提供學習機會。他還特別在教室里設置了咖啡角，并專門配備了兩套手沖咖啡器具及多種特色的咖啡豆。學生在課間即可預約品嘗他現場沖泡的咖啡。

也正是在這種自由的學習氛圍之下，學生們紛紛勇敢地朝著自己感興趣的方向不斷探索，進而逐步發掘出屬于自己的人生課題。有學生因為自身久病成醫，在讀博期間，通過數學模型設計出中醫醫療領域軟硬件結合的AI解決方案。還有學生出身于藝術世家，在數學建模的啟發下，想要借助模型設計助推藝術創作融入日常生活，堅定了自己想要深耕數字藝術設計的發展方向。

除了完成校內的教學任務，朱浩楠每年還通過各類校外活動帶領學生開展項目研究。在北京師范大學數學科學學院每年舉辦的數學建模夏令營中，學生們組成多支團隊，分別申報課題研究，待到論文答辯結束后，再由朱浩楠與其他專家評委共同從眾多課題中挑選出具有潛力的項目，邀請相應的團隊成員加入“繼續指導計劃”。他還帶領學生持續進行多輪的實證調查與觀點交流，在完善、落實課題的過程中，引導他們認識到，科學研究從來都不是比賽獲獎或完成答辯的一時之功，而是一段需要不斷探求真理的長期過程。

讓數學思維與哲學思維相得益彰

2017年，高中課程標準將數學建模納入學科核心素養體系，并明確要求學校應專門開設8～12課時，推動其進入新的發展階段，也由此吸引了更多教師加入探索隊伍。朱浩楠為自己身邊有了越來越多的同行者感到欣喜，同時也在更大范圍的實踐中發現了新問題：適用學生學習的建模素材浩如煙海，為什么要選這些而不選擇那些？如果未來涌現出更優質的素材，難道都要將其納入教學內容，讓學生越學越多嗎？

帶著這些問題，朱浩楠一頭扎入與之相關的文獻著作，希望從中獲得更深層次的思想指導。直到他讀到美國哲學家貝塔朗菲的著作《一般系統論》時，才覺得豁然開朗。根據貝塔朗菲的觀點——不同學科領域的研究最終會涌現出同樣一組方程或動力學關系，這種跨領域的相同結構被稱為“一般系統”，能夠在不同領域中遷移應用，幫助人們揭示社會與自然的本質規律。受此啟發，朱浩楠根據貝塔朗菲在描述“一般系統”時提到的數學模型和邏輯關系，對教學素材進行了重新調整，還嘗試將著作中蘊含的哲學思維不著痕跡地融入教學，希望能在一定程度上打通學生在不同領域間的認知壁壘。

起初，朱浩楠擔心學生覺得數學與哲學融合之后過于抽象、深奧，嘗試之后卻意外地發現，越是這樣講，學生反而理解得越透徹。一方面，哲學原理為數學建模提供了世界觀的指導，使學生能夠更加深刻地理解數學模型構建與運算背后的邏輯。例如，他啟發學生從近代科學三大傳統的角度分析函數結構，進而通過判斷函數是否符合半衰期原理，來確定合適的函數模型。學生普遍反饋更加理解了函數模型的內涵。另一方面，數學建模也為抽象的哲學原理提供了具體、生動的實例支撐，便于學生更直觀地理解哲學概念。在一堂面向初學者的建模課上，朱浩楠從“夫妻誰來洗碗”的日常問題出發，引導學生經歷數學建模的基本流程，并通過自然語言與數學語言的相互轉化，聯結每個數學符號與其對應的現實意義。“學生能夠從案例中體會到，數學結構不是憑空臆想出來的，而是自然與社會深刻規律的抽象映現。要想發現這些規律，并發明語法去承載它們，則需要運用基本假設和現代科學傳統。”

朱浩楠相信，學生學過的模型和方法都可能隨著時間的推移而逐漸淡出記憶，但在思想上獲得的啟迪和成長會內化并融入他們的認知結構，進而拓寬他們的視野，重塑他們的思維方式。比如，有的學生在借助微分動力系統建立的生態模型中發現，當捕食者被獵殺，被捕食者種群增長速度并沒有上升，從而在探究過程中領悟到不能僅憑直覺或基本規律輕易得出結論。還有的學生參與了以數學建模為載體的哲學思想實驗，在多元觀點的交鋒與碰撞中培養了批判性思維，還逐漸練就了透過表象看本質的能力。

學生的每一次進步與成長，都是朱浩楠珍視的禮物，這也成為激勵他一往無前的不竭動力。他未來最真摯的愿望，便是期待高中數學建模能夠如同星星之火，燎原四方，為更多學生照亮未來成長的廣闊天地。