巧求圓中陰影面積

【摘要】求解陰影部分的面積問題，是近幾年的一個新的熱點.有的題目圖形比較規則，可以借助扇形與三角形等基礎知識解決.有些題目所求陰影圖形不規則，而且設計巧妙，且有較高的綜合性，難于直接求解，需要對問題的條件、結論和圖形進行變形、轉換，巧妙地將所求陰影部分的圖形轉化為易于求解的規則圖形.

【關鍵詞】圓；陰影面積；解題方法

圓是初中數學的重要內容，也是中考必考的熱點.翻開各地的中考試題，發現近幾年中考數學對圓中陰影部分的面積這一知識點情有獨鐘.本文對圓中陰影部分面積的求法舉例剖析，拋磚引玉.

1 等積轉化法

例1 （2024·威海·中考）如圖1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是AO的中點．過點C作CE⊥AO交AB于點E，過點E作ED⊥OB，垂足為點D．在扇形內隨機選取一點P，則點P落在陰影部分的概率是（ ）

（A）14. （B）13. （C）12. （D）23.

分析 本題考查的是不規則圖形的面積，幾何概率根據陰影部分面積等于扇形OBE的面積，即可求解．

詳解 因為∠AOB=90°，

CE⊥AO，ED⊥OB，

所以四邊形OCDE是矩形，

所以S△OCE=S△ODE，

所以S陰影部分=S△ODE+SBDE=S扇形OBE.

因為點C是AO的中點，

所以OC=12OE=DE，

所以sin∠EOD=EDOE=12，

所以∠EOD=30°，

所以S陰影部分=S△ODE+SBDE=S扇形OBE=30π×AO2360=π×AO212，

S扇形AOB=90π×AO2360=π×AO24，

點P落在陰影部分的概率是：

S陰影部分S扇形AOB=π×AO212π×AO24=13，

故選（B）．

2 圖形變換法

例2 （2024·資陽·中考）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．以點A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點E，再以AB為直徑作半圓，與DE交于點F，則圖2中陰影部分的面積為．

分析 本題考查切線的性質、等邊三角形的性質和判定、扇形的面積，解題的關鍵是學會利用分割法求陰影部分的面積．

如圖3，設弓形AmF，連接AF，FE，由題意知AE=AF=FE=2，即△AFE為等邊三角形，∠FAE=∠FEA=60°，即可得出陰影部分面積為S陰=S半圓－S扇形DFE－S弓形AmF，代入數值即可求出結果．

詳解 因為以點A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點E，

AB=4，AD=2，

所以AE=AD=BE=2，

所以以AB為直徑作半圓時，圓心為點E，

設弓形AmF，連接AF，FE，

即AE=AF=FE=2.

所以△AFE為等邊三角形，

所以∠FAE=∠FEA=60°，

故陰影部分面積為：

S陰=S半圓－S扇形DFE－S弓形AmF，

代入數值可得S陰=12×2×2π－60π×22360－60π×22360－34×22=3+23π，

故答案為3+23π．

3 容斥法

例3 （2024·泰安·中考）兩個半徑相等的半圓按如圖4方式放置，半圓O′的一個直徑端點與半圓O的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（ ）

（A）43π－3. （B）43π.

（C）23π－3. （D）43π－34.

分析 仔細觀察發現兩個扇形面積的和，比陰影部分的面積多出一個等邊三角形的面積．

解 如圖5，連接OA，O′A．因為OA=O′A=OO′=2，

所以△OAO′為等邊三角形，

所以S△OAO′=34×22=3．

因為S扇形AOO′=S扇形AO′O=60π×23602=2π3，

所以S陰影=S扇形AOO′+S扇形AO′O－S△OAO′=2π3×2－3=43π－3．

故選（A）．

點評 容斥法是把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復.當組成整體圖形的局部圖形面積疊合在一起而比整體圖形面積大時，可考慮用容斥法．

4 構造方程組法

例4 如圖6，正方形的邊長為a，分別以正方形的四個頂點為圓心，邊長為半徑，在正方形內畫圓弧.那么，這四條弧所圍成陰影部分的面積是多少？

分析 如圖6中含有形狀不同的三類圖形，分別用x，y，z表示圖中曲邊形的面積，則由圖形的對稱性可得方程組.

解 如圖6所示.設x，y，z，

則x+4y+4z=a2①，x+3y+2z=π4a2②，x+2y+z=π3－34a2③.

其中①為正方形的面積，②為圓心角為90°的扇形面積，③為邊長BC，CE，BE圍成的圖形的面積，

陰影部分的面積等于兩倍的圓心角為60°的扇形面積減去正三角形BCE的面積.

①+③－②×2，

得z=1－34－π6a2，

再將其代入式子①和②中得到關于x，y的二元一次方程組，然后解得x=1－3+π3a2.即為陰影部分的面積.