問題啟智，素養立意，從“分散”向“整合”建構

【摘要】基于真實情境的問題設計是跨學科主題學習的起點，面對復雜多樣的問題情境，教師嘗試將抽象的數學知識轉化為具體的任務加以解決，通過設計系列跨學科探究問題，引導學生經歷體驗問題、提煉問題、分析問題、解決問題的全過程，嘗試從“割裂分散”走向“整合建構”，以提升能力，發展素養.

【關鍵詞】情境教學；初中數學；將軍飲馬

《義務教育數學課程標準（2022年版）》頒布以來，跨學科學習已經成為實現新課改目標的重要途徑，初中數學跨學科是指打破學科的界限，將不同學科融合在一起的探究式學習活動，其優勢主要在于在多門學科知識之間交叉，綜合不同學科的知識解決同一個問題，打破單一學科的局限性.

理解新課標提出的跨學科學習，應立足于本學科而跨出本學科的視角，嘗試設計具備跨學科整合的問題情境，引導學生在立足本學科解決實際問題的過程中，整合并內化知識與規律，通過設計融合不同學科知識的系列探究活動，構建學科內部知識間的縱向關聯、學科間知識的橫向拓展，形成跨學科知識間的網狀結構.

基于真實情境的問題設計是跨學科主題學習的起點，面對復雜多樣的問題情境，教師嘗試將抽象的數學知識轉化為具體的任務加以解決[1]；通過設計系列跨學科探究問題，引導學生經歷體驗問題、提煉問題、分析問題、解決問題的全過程，嘗試從“割裂分散”走向“整合建構”，提升能力，發展素養.本文嘗試通過設計核心問題串，以問題為載體開展初中數學跨學科項目式學習，此文以蘇科版八年級（上）“將軍飲馬”為課例，談談一些實踐體會，請同行批評指正.

1 案例片段：“將軍飲馬”

1.1 聆聽故事，導入情境

早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天從軍營出發，先到河邊飲馬，然后再去軍營開會，應該怎樣走才能使路程最短？據說海倫略加思索就解決了它.從此以后，這個被稱為將軍飲馬的問題便流傳至今.

1.2 問題導學，聯想發散

（1）平面鏡成像（如圖1），反射角與入射角有什么關系？

（2）物像關于平面鏡有怎樣的位置關系（如圖2）？人眼是怎樣看平面鏡中的像的？你能畫出它的幾何圖形嗎？

1.3 建模構圖，整合方法

（1）一位將軍騎馬從軍營A出發（如圖3），先到河邊（直線l）讓馬喝水，然后再返回同岸B處的家.此時，該如何選擇路線，能讓將軍經過的路程最短？

（2）將軍騎馬從軍營A出發（如圖4），先到河邊（直線l）讓馬喝水，然后到草原邊緣（直線m）讓馬吃草，最后回到軍營A.此時該如何選擇路線，讓將軍經過的路程最短？

（3）將軍騎馬從軍營A出發（如圖5），先到河邊（直線l）讓馬喝水，然后到草原邊緣（直線m）讓馬吃草，再回一次B處所在的家，最后回到軍營A，此時該如何選擇路線讓將軍經過的路程最短呢？

1.4 沉淀思維，變式拓展

（1）如圖6，在銳角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的角平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，求線段BM+MN的最小值.

（2）如圖7，將軍每日需騎馬從軍營出發，去河岸對側的瞭望臺觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請問，在何地修建浮橋，可使將軍每日的行程最短？

2 剖析案例，解釋說明

2.1 質疑診斷，探求本質

（1）數學探究在于數學問題→抽象→建模→求解→領悟.跨學科教學設計要明確課堂的核心問題是什么？通過問題串設計明確解決此類問題運用什么基本方法？如何尋找適合的跨學科知識聯結點？

（2）本案例應用物理現象引入問題情境，數學問題驅動學生思考的過程中，是否關注數學思維訓練過程的正遷移和創新性？

（3）設計怎樣的學習探究過程可引導學生經歷知識的產生和發展過程？如何設計數學實驗能更有效地幫助學生積累數學活動經驗？

（4）如何實施以“知識建構”為核心的素養培養？如何實現學習領域從書本拓展向生活？

2.2 深度理解，應用遷移

2.2.1 關聯的問題，內化知識結構

由理解平面鏡成像問題，再聯想“將軍飲馬”幾何模型，聯結知識點，抽象成一個點和一條直線的位置關系，核心問題就是用軸對稱知識解決路徑最短問題，基本方法就是利用平面鏡成像原理把路徑轉化為最短線段.

2.2.2 類比遷移，創新問題

跨學科探究最終回到數學問題，核心問題引領下的探究過程如抽絲剝繭，層層深入，圍繞“將軍飲馬”數學原理展開分類討論、以數學建模為探究入口，研究討論新問題.

2.2.3 拓展抽象結構，綜合思維方法

后續的問題設計嘗試了逆向思維，再由已知將軍騎馬路徑最值去研究點的特殊位置，從問題的發現、提出、解決全過程都增強開放性，引導學生從不同角度思考解決問題的方案.

本案例中，建立軸對稱幾何模型有助于建構多學科知識點間的聯系，從整體上認識相關物理概念規律，進而形成“最小路徑”概念.跨學科整合訓練思維的綜合化是跨學科教學的精髓，依托核心問題引領，啟發引導學生的學習由發現式向發展式轉變，發展學生的關鍵能力和核心素養.

3 創建驅動性問題，經歷探究過程

3.1 核心問題，創新思維

建立以“解決問題－發現問題”為核心的初中數學跨學科探究路徑.好問題是數學思維的心臟，發展學生的思維是跨學科教學的主題，也是數學育人的真諦；設計好問題要關注學生是否學會探究，學會思考，學會解決問題，并通過問題解決，使學生領悟數學的研究方法，養成數學的思維方式.

3.2 問題啟智，優化策略

本案例的核心問題設計具有挑戰性；尋求特殊點的位置問題充分調動了學生學習主體的作用，通過建模轉化方式引導學生運用觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等發現和提出問題、分析問題和解決問題.跨學科各科知識點的融合使學習過程更完整化，學生完整地經歷了知識的發生、發展的過程.

3.3 探究思維路徑，明晰問題本質

借鑒探究思維路徑聚焦跨學科理解的問題解決程度，探索科學的思維路徑，在理論與實踐的結合中變革學習方式，摸索出基于本學科的課程綜合化學習.

4 聚焦問題設計，提升問題品質

4.1 目標導向，邏輯閉環

本案例設計中的問題都有明確的指向，學生在跨學科探究活動過程中，方法多元、任務達成程度各異，明確問題引導學生深度思考，學習目標始于軸對稱知識的聯想回顧，建立最短距離模型.例如在平面內尋求特殊的動點位置，其探究結果可能會體現出殊途同歸的意蘊，所以問題設計力求整體任務明確且具有較強的邏輯性、現實性.

4.2 細化問題設置，明確探究步驟

本案例設計所涉及的問題即為平面鏡的入射和反射光線物理現象，常見的生活現象成為學生理解數學問題的背景，如生活現象探究范圍過廣會增加學生在解決數學問題時的認知負荷，一些思維較為發散的學生容易因為數學問題中與學習任務無關的內容而思維走偏，通常選擇日常生活中的小切口問題，貼近學生的生活經驗，容量適當；來一個多學科綜合的“大題小做”，激活學生思維.

4.3 問題驅動數學化思考，發展數學素養

本案例設計的問題難度符合學生的認知水平，對于大部分孩子而言具有一定的挑戰性，跨學科主題學習可能涉及了數學、物理、科技等幾個學科的問題，其重點是引導學生以數學的眼光去觀察世界，進行“數學化”思考，設計的建模問題由探求動點與直線位置關系的一條直線、兩條相交直線、三角形、兩條平行直線有序展開，循序漸進，問題串的具備情境、障礙、目標、方法等要素，提升了學生的思維能力，發展了學生的數學核心素養.

4.4 主體參與，學會學習，提出新問題

新課標在“綜合與實踐”領域中倡導采用主題學習形式，跨學科主題學習獲取知識主要靠學生自發地研究性學習活動，教師不需要闡釋“是什么？”“為什么？”“怎么了？”等問題，教師應轉變角色，嘗試成為問題的設計者、研究活動的組織者或參與者、探究規則的制定者、問題解決的指導者、成果展示的欣賞者，引導學生自主參與，發現問題，提出新問題，讓他們經歷解決問題過程中的失敗與挫折，積累活動經驗，歸納總結解決新問題的方法與策略.

5 結語

跨學科學習旨在讓學生學會運用相關聯學科的研究和學習方法去分析問題、解決問題，所以如何設計好問題、如何運用問題去歸納方法和訓練思維是重點研究的內容.從知識領域上看，新課標最顯著的變化就是重點強化了數學實踐綜合學習，它包括跨學科學習、數學建模與數學實驗探究活動等，教師要對教學內容精準取舍，科學設計，依據教學目標，聚焦重點內容，通過問題的有效組合，打開核心問題的邊界，增強學生解決問題的能力，科學應用跨學科模式，促進學生綜合能力的發展，全面提升學生的綜合素質.

參考文獻：

[1]程曉亮，左瀚文，林殿吉.初中數學跨學科主題學習的設計與實施[J].教學與管理，2024（04）：39-42.