細心觀察發(fā)現(xiàn)方程中的小秘密

【摘要】觀察是創(chuàng)新的前提，本文結(jié)合幾則例題，引領(lǐng)學生觀察方程中的秘密，以培養(yǎng)學生學習興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】方程；初中數(shù)學；解題技巧

數(shù)學教育家波利亞說：“觀察可能導致發(fā)現(xiàn).”初中階段學習的過程中，細心觀察同一類方程的結(jié)構(gòu)特點與它的解，可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，會有驚人的發(fā)現(xiàn).

1 關(guān)于x的方程“ax=b”一定有解嗎

任何一個一元一次方程都可以通過等式的性質(zhì)變形為ax=b（a≠0）的形式，在這里我們限定未知數(shù)的系數(shù)不為0時，它是一元一次方程，當不限定未知數(shù)的系數(shù)，關(guān)于x的方程“ax=b”一定有解嗎？

例1 分別解下面三個方程，根據(jù)方程與方程解的情況，試說明關(guān)于x的方程ax=b（a，b是常數(shù)）解的情況與常數(shù)取值的聯(lián)系.

①2x+1=x+3. ②3x+1=3（x-1）.

③x2－x－13=x+26.

分析 按照解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，分別求出它們的解，然后看當方程處于ax=b的狀態(tài)時，方程解的數(shù)量與a，b的取值的關(guān)系.

解 ①2x+1=x+3，2x-x=3-1，x=2，所以方程2x+1=x+3只有一個解.

②3x+1=3（x-1），3x-3x=-3-1，0·x=-4，因為0乘以任何數(shù)都是0，不可能等于-4，所以方程沒有解，3x+1=3（x-1）沒有解.

③x2－x－13=x+26，x2－x3+13=x6+13，=x6，x可以是任何數(shù)，所以方程有無數(shù)個解.

由此可以發(fā)現(xiàn)：關(guān)于x的方程ax=b（a、b是常數(shù)）的解應分三種情況討論：一是當a≠0時，方程有唯一解，即x=ba；二是當a=0，b≠0時，方程沒有解；三是當a =b =0時，方程有無數(shù)多個解.

點評 此題的結(jié)論反過來也成立，即當方程ax=b有唯一解時，a≠0；當方程ax=b有無數(shù)個解時，a=0，b=0；當方程ax=b無解時，當a=0 ，b≠0.利用這個結(jié)論可以求出方程中所含待定系數(shù)的值.

2 二元一次方程組的解與系數(shù)的關(guān)系

二元一次方程組是初中數(shù)學的重要方程組，使用代入消元法與加減消元法可以求出任意一次方程組的解，通過解方程組知道，方程組的解由未知數(shù)的系數(shù)唯一確定，它的解隨系數(shù)的改變而改變，當方程組的系數(shù)呈現(xiàn)規(guī)律時，它的解也會呈現(xiàn)規(guī)律.

例2 下面有兩個集合，一是方程組集合，從左至右分別稱為方程組1、方程組2、…、方程組n，另一個是方程解的集合，這兩個集合是一一對應關(guān)系.方程組集合：x+y=1x－y=1，x+y=1x－2y=4，x+y=1x－3y=9，…，－－－－，方程組解的集合：x=y=，x=2y=－1，x=3y=－2，…，x=y=．解答以下問題：

（1）求第一個方程組的解；

（2）觀察前三個方程組與它的解，根據(jù)變化規(guī)律，試寫出方程組n與它的解；

（3）已知方程組x+y=1x－ay=25的解是x=5x=－4，你能求出a的值嗎？這個方程組是上述序列的方程組嗎？

分析 （1）用加減法解第一個方程組；（2）觀察方程組中每個方程中未知數(shù)系數(shù)變化情況，若變化，與n是什么關(guān)系，要觀察每個未知數(shù)的值與n的關(guān)系；（3）將方程組的解代入方程組求出a的值，并與發(fā)現(xiàn)的規(guī)律相對照.

解 （1）x=1y=0.

（2）通過觀察分析，得方程組中第1個方程不變，只是第2個方程中y的系數(shù)依次變?yōu)?1，-2，-3，…，-n，第2個方程的常數(shù)規(guī)律是n2．

所以方程組n為x+y=1x－ny=n2.

它們解的規(guī)律是x=1，2，3，…，n．

相應的y=0，-1，-2，-（n-1）．

所以方程組n的解是x=nx=－（n－1）.

（3）因為x=5x=－4是方程組x+y=1x－ay=25的解，

所以有5-a×（-4）= 25，

解得a = 5，即原方程組為x+y=1x－5y=25，該方程組符合（2）中的規(guī)律．

點評 因為方程組的解由未知數(shù)的系數(shù)唯一確定，所以主要觀察未知數(shù)的系數(shù)隨序數(shù)n的變化情況，系數(shù)與對應序數(shù)n的關(guān)系通常表現(xiàn)為：n±a，b n，b n±a，n2或n3等.

3 一元二次方程的解與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程是初中階段學習的第二類基本方程，一元二次方程的基本解法有四種，包括兩種簡單方法，即直接開平方法、因式分解法，萬能方法，即公式法，較難的方法，即配方法.韋達定理表達了一元二次方程兩根之和、之積與系數(shù)a，b，c的相互關(guān)系.當某些一元二次方程的系數(shù)呈現(xiàn)規(guī)律時，它的解也會呈現(xiàn)規(guī)律.

例3 （1）如表1，方程1、方程2、方程3，…，是按照一定規(guī)律排列的一列方程，將方程的解填在表格中的空格處；

（2）若方程x2-bx=（a-1）x-ab的解是x1=6，x2=10，則a= ；b= ；

（3）直接寫出關(guān)于x的方程1x2－10x=21x－220的解是 ．

分析 （1）分別利用因式分解的方法解各方程.

（2）利用問題（1）中的各方程的解的特征可得到方程x2-bx=（a-1）x-ab的解是x1=6，x2=10，則它為第4個方程，從而得到a，b的值.

（3）設(shè)t=1x，則原方程化為一元二次方程，然后利用解的特征得t的解，從而求得x的值．

解 （1）x2-2x=5x-12的解為x1=3，x2=4；x2-3x=7x-24的解為x1=4，x2=6；

x2-4x=9x-40的解為x1=5，x2=8.

（2）因為方程x2-bx=（a-1）x-ab的解是x1=6，x2=10，所以此方程為第4個方程，即x2-5x=11x-60，所以b=5，a-1=11，a=12.

（3）設(shè)t=1x，則原方程化為t2-10t=21t-220，它的解為t1=11，t2=20，

所以x1=111，x2=120.

點評 此題探究了這樣一個問題，如果一元二次方程形如x2-ax=（2a+1）x-（a+1）·2a，那么它的解為x1=a+1，x2=2a.為什么這樣的一元二次方程都有這樣的解呢？原來原方程可化為x2+（-3a-1）x+（a+1）·2a=0，因式分解，得（x-a-1）（x-2a）=0，所以x1=a+1，x2=2a.

4 結(jié)語

總之，觀察是創(chuàng)新的前提，通過觀察到猜想，然后驗證，有利于培養(yǎng)學生的學習興趣，也有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.