巧用整體思想，妙解數學問題

【摘要】 整體思想，顧名思義就是從問題總的層面出發，強調對整體結構的分析與應用，把原本分散的條件或者代數式看作是一個整體，尋找它們之間的關聯，并且有目的地進行綜合處理.整體思想在初中數學中應用廣泛，是解答一些難題的妙招.本文分類舉例，說明如何在解題中應用整體思想.

【關鍵詞】整體思想；初中數學；解題方法

1 用整體思想解方程（組）

例1 解方程組：

5（23+y）－8（x－3）=20（1）20（x－3）+5（23+y）=27（2）.

分析 解答此題的常規思路就是去括號、去分母，將其轉化為一般的整式方程后求解，但是應用這種思路解答時較為繁瑣.觀察方程組的結構特征，可以發現式中存在著（23+y）與（x－3）兩個整體，因此可以考慮使用整體思想進行處理.

解 （2）－（1）得28（x－3）=7，x－3=14，

則x=134.

將x－3=14整體代入（1）中，

可得y=5615.

所以方程組的解為x=134y=5615.

評析 整體思想在一定程度上與換元法相似.例如本題還可設23+y=mx－3=n，則原方程組變為5m－8n=2020n+5m=27，解出方程組中m，n的值后再根據所設新元的關系式即可求解.

2 用整體思想求代數式的值

例2 已知m2－2m－1=0，求4m－2m2+3的值.

分析 觀察條件式中m2－2m與所求式4m－2m2之間的聯系，發現后式是前式整體上乘以－2，故可先求出前式，再利用此關系求解后式，之后加上常數3即可得到所求值.

解 因為m2－2m－1=0，

所以m2－2m=1，

即4m－2m2=－2.

則4m－2m2+3=－2+3=1.

評析 求代數式的值常規思路是先根據已知條件求出字母的大小，再代入所求式中進行計算.但是有時字母的值無法求出，如本題，此時就需要考慮其他方法.對比已知條件和所求式可以發現，x2，x前面的系數比相同，則可以進行整體處理.

3 用整體思想進行因式分解

例3 因式分解：（a2+3a+3）（a2+3a+1）+1.

分析 這一類問題題目中本來就有兩項相乘的形式，不好因式分解，因此許多學生會選擇將原式展開，展開后得到a4+6a3+13a2+12a+4.要將這個式子進行因式分解，毫無疑問是很困難的.觀察此式的結構特征，可以發現式中乘式中的兩項都含有a2+3a+1，若將其看作是一個整體，則原式就會變成一個關于a2+3a+1的二次三項式，問題則大大簡化.

解 a2+3a+3a2+3a+1+1

=（a2+3a+1）2+2（a2+3a+1）+1

=（a2+3a+1+1）2

=（a2+3a+2）2

=（a+1）2（a+2）2.

評析 對于有括號的多項式，在因式分解時，不要急于展開括號，而是要觀察括號內代數式的特征，如果有形式相似的式子，則可以將其看作是一個整體，因式分解的思路就清晰起來.

4 用整體思想求根式的值

例4 已知x=8－43，y=8+43，求xy+yx的值.

分析 此題雖然給出了求解代數式xy+yx所需字母x，y的值，但是直接代入計算較為繁瑣.觀察所給值的特征，發現其具有對稱性，因此可以對xy+yx適當變形，將其轉化為x+y，xy的結構形式，即可整體代入求解.

解 因為x=8－43，y=8+43，

所以x+y=16，xy=64－48=16.

則xy+yx=x2+y2xy=（x+y）2－2xyxy=194.

評析 結合所給值的對稱性和對所求式的變化，原本復雜的根式運算變為了簡單的整式運算.因此，在求解有關根式的問題時，如果題目中顯含了對稱性，則可以使用基本對稱式x+y，xy來處理，求出式子的值并整體代入.

5 用整體思想解答雙角平分線問題

例5 平面內∠AOB=60°，OC是平面內的一條射線，∠AOC<∠AOB，OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC，求∠MON的大小.

①如圖1所示，OC在∠AOB內部時.

因為OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC，

所以∠MOC=12∠AOC，∠NOC

=12∠BOC.

所以∠MON=∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=30°.

②如圖2所示，OC在∠AOB外部時.

因為OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC，

所以∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC.

所以∠MON=∠NOC－∠MOC=12∠BOC－12∠AOC=12∠AOB=30°.

故∠MON=30°.

6 結語

總的來說，整體思想體現了數學的美，有利于培養學生的數學思維、思辨能力和觀察能力.在解題時靈活運用整體思想，可以拓寬解題思路，簡化解題步驟，在不知不覺中提高學生的數學素養.