例談二次函數中面積最值問題的求解方法

【摘要】二次函數作為中學數學的重要內容，在數學領域中具有廣泛的應用．其中，涉及二次函數的面積最值問題是常見的題型之一．本文通過實例分析，探討求解二次函數中面積最值問題的方法，旨在幫助學生掌握有效的解題策略，提高數學思維能力和解題技巧．

【關鍵詞】二次函數；初中數學；解題方法

1 未知參數函數上形成三角形面積的最值問題

例1 已知拋物線y=ax2－5ax+c與y軸交于點C，與直線y=mx+n交于點A－3，0和點B5，4，如圖1所示．

（1）求直線與拋物線的解析式以及C點的坐標；

（2）如果點M是直線AB上方拋物線上的一個動點，求△MAB的最大面積．

解析 （1）把點A－3，0和點B5，4代入y=ax2－5ax+c中，

得9a+15a+c=025a－25a+c=4，

解得a=－16c=4，

所以y=－16x2+56x+4，

把點A－3，0和點B5，4代入y=mx+n中，

解得m=12n=32.

所以y=12x+32，

當x=0時，y=－16x2+56x+4=4，

所以C0，4．

（2）過點M作MF⊥x軸于點F，交直線AB于點E，過點B作BN⊥x軸于點N，如圖2.

設M（t，－16t2+56t+4），

則E（t，12t+32），

S△MAB=S△AME+S△BME

=12ME×AF+12ME×FN

=12ME×AN

=12（－16t2+56t+4－12t－32）×8

=－23t2+43t+10

=－23t－12+323.

因－23<0，所以△MAB的最大面積是323．

點評 本題主要考查了拋物線的頂點公式的運用及三角形最大面積的求法．第（2）問中，過點M作MF⊥x軸，交直線AB于點E，設M、E兩點的橫坐標為t，分別用拋物線、直線的解析式表示兩點的縱坐標，根據S△MAB=S△AME+S△BME，列出關于m的二次函數，求二次函數的最大值就是最大面積的值．

2 拋物線上的動點與兩個定點形成三角形的最大面積

例2 如圖3，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C4，3，已知A點的坐標為1，0．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點E是此拋物線上且位于直線AC下方的一個動點，求△ACE的最大面積以及E點的坐標．

解析 （1）把1，0，4，3代入y=ax2+bx+3，

得a+b+3=016a+4b+3=3，

解得a=1b=－4.

所以拋物線的解析式為y=x2－4x+3.

（2）如圖4，過E作DE⊥x軸交AC于點D.

設過A1，0，C4，3的直線為y=mx+n.

所以m+n=04m+n=3，

解得m=1n=－1.

所以直線AC的解析式為y=x－1.

當y=0，則x2－4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

所以B3，0，而C4，3，

所以xC－xA=4－1=3.

設Ex，x2－4x+3，

則Dx，x－1，

所以DE=x－1－x2－4x+3=－x2+5x－4，

所以S△ACE=12×3－x2+5x－4=－32x2+152x－6.

所以當x=－1522×－32=52時，△ACE的面積最大，

最大面積為：S△ACE=－32×254+152×52－6=278.

此時：y=254－4×52+3=－34．

所以E52，－34．

點評 本題主要考查了運用待定系數法求函數解析式的方法，根據二次函數的性質求面積最大值的方法，掌握利用二次函數的性質求解最值是解題的關鍵．

3 結語

通過以上實例分析可以看出，求解二次函數中面積最值問題需要綜合運用多種數學知識和方法．在實際解題過程中，學生應根據具體問題的特點，選擇合適的方法．同時，隨著數學知識的不斷深入學習，還會有更多更高級的數學工具和方法可以應用到這類問題的求解中．教師在教學過程中，應注重培養學生的數學思維能力和創新意識，引導學生靈活運用所學知識解決實際問題．