初中數學解題中數形結合思想的應用

【摘要】數學作為我國課程體系中的兩大基礎課程之一，通常分為“數”和“形”兩大部分，兩者是存在一定聯系的，這種聯系便是數形結合思想.在初中數學教學中，不僅講授理論知識時可應用數形結合思想，在解題過程中也可以巧妙應用，教師需指導學生學會應用數形結合思想解題，培養他們的解題能力.本文據此展開深入分析和研究，同時羅列部分解題實例.

【關鍵詞】初中數學解題；數形結合思想

在數學領域，數形結合思想是一種相當關鍵的解題思想，不僅適用范圍廣泛，還極具實用性，是用來準確、快速解答數學試題的重要思想之一.在初中數學解題訓練中，教師應引導學生根據題目實際情況應用數形結合思想，把一些比較復雜和抽象的試題變得簡單、直觀，由此降低解題難度，使其輕松完成解題，并有效培養與增強他們的思維敏捷度及靈活性.

1 應用以數解形方法，明確數理關系規律

針對初中數學解題教學來說，應用數形結合思想時，主要分為以數解形與以形助數兩種方式，其中前者適用于處理復雜、抽象的幾何圖形類試題，可通過數字對圖形進行重新定義，先結合數理關系展示圖形的特征，再借助數字展開運算，只要明確數字和數理關系，便能夠掌握圖形的特征，找到數理規律，難題也就迎刃而解，最終順利、輕松地完成解題.

例1 在圖1中，有一個邊長為4的正方形ABCD，點E是BC邊的中點，點F是對角線BD上面的一個動點，那么△CEF的最小周長值是多少？

分析處理這一幾何圖形類的試題時，通過觀察發現要想求得△CEF的最小周長值，只需求出EF+FC的最小值即可，要想求得EF+FC的最小值，純粹使用幾何知識難度較大，這時可應用數形結合思想中的以數解形方法，聯想到數學中的“取中修路”模型，特征是“兩定一動”，其中BD為“路”，點E和點C是“路”一側的定點，點F是動點，可添加輔助線把AF連接起來，AF與FC關于BD軸對稱，長度一樣，EF+FC的最小值就是EF+AF的最小值，而AE與BD的交點F′即為△CEF有最小周長值時點F的位置，便通過求出EF+AF的最小值得到答案.

詳解 根據題意可知AB=4，BE=EC=2，C△CEF=CE+EF+FC，

由于EC是固定值，當EF+FC有最小值時，△CEF的周長值最小，

將AF連接起來，則AF與FC關于BD軸對稱，AF=FC，

那么EF+FC=EF+AF，

由于點F是對角線BD上面的一個動點，

則EF+AF≥AE，

當A，F，E三點共線時，EF+AF有最小值，

即為AE與BD的交點F′就是△CEF最小周長值時點F的位置，

這時EF+AF=AE=42+22=20=25，

所以△CEF的周長最小值是EC+AE=2+25.

2 應用以形助數方法，巧妙處理數理關系

在初中數學解題訓練中，應用數形結合思想解答試題的另外一種方法就是以形助數，指的是當遇到比較復雜的數理或者數字關系時，教師可以引導學生轉變思路與思考方向，通過直觀化、形象化的圖像將這些關系給展示出來，降低題目的抽象程度，易于理解題意，使其通過觀察圖像的特點確定解題方向，找到處理數理關系的思路，助推他們求得正確結果.

例2 已知a2+b2=5，那么2a+3b的最大值是什么？

分析 這是一道典型的代數類計算試題，如果純粹是進行計算很難得到結果，不過可應用數形結合思想中的以形助數方法進行解題，先觀察式子a2+b2=5，發現表示的是一個圓形，可在橫軸是a，縱軸是b的平面直角坐標系里面以原點O為圓心畫出一個圓，其中圓的半徑是5；再觀察式子2a+3b，將原式轉變成幾何形式進行表示，令m=2a+3b，能夠得到b=－23a+13m，由此說明a，b之間為一次函數關系，而且這個一次函數的圖像在圓的范圍內即可求出m的最大值，即為一次函數b=－23a+13m同縱軸交點的縱坐標最大值，只有當該一次函數的圖像同圓是相切關系時，才有最大值，此時可根據題意畫出示意圖，且根據題意在示意圖上面標出相應的數值，然后列式完成解答.

詳解結合題意可畫出圖2，其中圓的式子是a2+b2=5，半徑是5，

令m=2a+3b，

那么b=－23a+13m，

當直線b=－23a+13m與圓a2+b2=5相切時m有最大值，

這時直線同橫軸的交點坐標是（12m，0），同縱軸的交點坐標是（0，13m），

在△AOB中，根據勾股定理能夠得到：

AB=OA2+OB2=（13m）2+（12m）2

=136m，

那么S△AOB=12×13m6×5

=12×13m×12m，

則m=65，

所以2a+3b的最大值是65.

3 結語

總的來說，在初中數學解題教學活動中，數形結合思想是一種既常用又有效的解題思想，從本質上來講，就是把“數”與“形”這兩個重要因素結合起來.教師需引導學生根據具體題目合理應用以數解形或者以形助數的方法，通過數形之間的良好轉變與互通找到解題的切入點，使其形成簡潔、明了的解題思路，幫助他們高效率地解答試題.

參考文獻：

[1]魏莉紅.探究數形結合思想在初中數學解題中的運用路徑[J].數學之友，2024（01）：67-69+72.

[2]趙銀鳳.初中數學教學中滲透數形結合思想路徑探析[J].學苑教育，2023（21）：57-58+61.

[3]袁健風.數形結合思想在初中數學解題中的應用策略[J].數學大世界（下旬），2023（07）：68-69.