分式混合運算的幾種技巧

【摘要】 分式運算是以分式的性質為基礎，根據分式的結構特征，通過適當的變形、轉化，運用適當方法就會使運算過程變得容易，起到事半功倍的效果.本文結合幾則典例，從四個方面作分析探討，以幫助學生突破難點，提高學生的解題能力.

【關鍵詞】分式；混合運算；初中數學

分式的混合運算，是初中代數中經常出現的一類問題.常言道：“得道多助，失道寡助.”解題中的“道”是指解題方法.分式運算是以分式的性質為基礎，根據分式的結構特征，通過適當的變形、轉化、運用適當方法就會使運算過程變得容易，起到事半功倍的效果.那么，分式混合運算之“道”有哪些？

1 改變運算符號

在分式運算中，當兩個分母互為相反數的分式相加減時，只需把其中一個分式分母的運算符號提取出來，變成同分母分式進行加減即可.

例1 化簡：x2x－1+11－x－1.

解析 原式=x2x－1－1x－1－1=x2－1x－1－1=x+1－1=x.

點評 本題經過提取負號，就已經完成了通分這一步驟，所以使運算變得簡捷了.

2 適當拆分

當某些分式的分母具有一定的規律時，通常可以把它拆分成兩個分式相減的形式，然后經過正負抵消求出答案.

例2 對于任意非零實數a，b，定義運算“☆”如下：a☆b=a－b2ab，則2☆1+3☆2+4☆3+…+2015☆2014+2016☆2015+2017☆2016+2018☆2017= .

解析 本題是個新定義計算問題，先把新定義問題轉化為普通運算問題.

2☆1+3☆2+4☆3+…+2015☆2014+2016☆2015+2017☆2016+2018☆2017

=2－12×2×1+3－22×3×2+…+

2017－20162×2017×2016+2018－20172×2018×2017

=12（12+13×2+…+12017×2016+

12018×2017）

=12（1-12+12-13+13-14…+12017-12018）

=12-14036

=20174036.

點評 本題將一項裂為兩項，即1n（n+1）=1n－1n+1，然后通過前后正負抵消求得答案.類似的有1n·n+2=12（1n－1n+2），1n（n+1）（n+2）=12（1n（n+1）－1（n+1）（n+2）），2n+1［n（n+1）］2（n+1）2－n2n2·（n+1）2=1n2－1（n+1e852d0386013d2296159ce9d93258d731f0f3ae6864668450c783793baaabee4）2等.

3 換元法

當某些分式的分子和分母都含有多項式，并且這些多項式大多相同時，不妨把某一個多項式看成一個整體，用一個簡單的字母代替它進行運算，這就是換元法，換元之后再進行運算，往往起到簡化運算的效果，不過最后還需再替換過來.“新元”起到了橋梁作用.換元法體現了數學解題的整體思想.

例3 當x=2，y=1時，

計算y2x2+x2y2+2y3x3－x3y3－3（yx－xy）÷yx+xyy2x2+x2y2－2的值.

解析 先化簡再求值.本題如果直接去計算，計算量非常大.仔細觀察題目特征，我們可以發現分式的分子和分母中都含有yx，xy，因此想到可以采用換元法，用字母a，b來代替它們，簡化運算，從而大大地提高了運算速度，不過最后莫忘還要再替換回來.

設yx=a，xy=b，則ab=1，

于是原式=a2+b2+2aba3－b3－3ab（a－b）÷

a+ba2+b2－2ab

=（a+b）2（a－b）3÷a+b（a－b）2

=（a+b）2（a－b）3·（a－b）2（a+b）=a+ba－b，

所以原式=yx+xyyx－xy=y2+x2xyy2－x2xy=y2+x2xy·xyy2－x2=y2+x2y2－x2.

所以當x=2，y=1時，

原式=12+2212－22=－53.

點評 對于已知條件下的分式混合運算求值問題，應該先把分式代數式化簡，當式子中含有某個相同的多項式時，先換元再化簡往往會起到簡化運算的效果.

4 因式分解法

對于有些分式的分子與分母是多項式時，直接無法運算或運算很繁瑣，這時為了簡化運算，我們可以把這些多項式進行因式分解，找出規律進行約分，也能起到簡化運算的效果.例如：1x+3+1x－3+x+9x2－9=x－3+x+3x2－9+x+9x2－9

=3（x+3）（x+3）（x－3）=3x－3.

下面再舉一例.

例4 計算： b－ca2－ab－ac+bc－c－ab2－bc－ab+ac+a－bc2－ac－bc+ab.

解析 既不便于分式通分，又不適合分組通分，試圖觀察其中一項，從中發現規律.

b－ca2－ab－ac+bc=b-c（a－b）（a－c）=（a－c）－（a－b）（a－b）（a－c）=1a－b－1a－c，

因此不難看出，拆項后通分更容易.

所以原式＝b－c（a－b）（a－c）－c－a（b－c）（b－a）+a－b（c－a）（c－b）

＝（a－c）－（a－b）（a－b）（a－c）－（b－a）－（b－c）（b－c）（b－a）+（c－b）－（c－a）（c－a）（c－b）

＝1a－b－1a－c－1b－c+1b－a+1c－a－1c－b=2c－a

點評 在本題運算中，當分子分母進行因式分解后，才發現規律，否則會無從下手.

5 結語

總之，分式運算方法有多種，我們在分式的實際運算中，要學會仔細觀察，認真思考，反復推敲，善于歸納，尋找規律，這樣才能準確迅速地計算出結果來.

參考文獻：

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