幾何最值問題的解題策略

【摘要】最值問題綜合性較強，具有一定難度，本文結合3道例題，從三個方面作分析探討，以提高學生解決幾何最值問題的能力，發展學生的數學素養.

【關鍵詞】最值；初中數學；解題技巧

最值問題綜合性較強，具有一定難度，尤其是一類幾何中的最值問題，令許多考生望題興嘆，破解這類問題有哪些常用方法？

1 利用幾何定理

平面幾何中的有些幾何性質體現了幾何最值，最常見的有：三角形的三邊關系；兩點之間線段最短；連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；定圓的所有弦中直徑最長，等等.

例1 如圖1，AB是⊙O的直徑，AB=4，點C在⊙O上，∠ABC=60°，P是⊙O上一動點，D是AP的中點，連接CD，則CD的最小值為 .

分析 如圖2所示，將B，P兩點和D，O兩點分別連接.于是根據題意可知∠APB=90°=∠ADO，取線段AO的中點為E，再以AE為半徑作圓E，那么線段CD長度的最小值是線段CQ的長度.

由題意知，AE=AO=EQ=1，BC=2，∠ABC=60°.

過點C作CF⊥AB，垂足為F，

則BF=1，CF=3，EF=2.

在Rt△CEF中，CE=7，

所以CQ=7－1，即CD的最小值為7-1.

評注 本題是以圓為背景的線段最值問題.解題的關鍵是確定動點D的運動路徑，巧妙構造圓，利用圓中直徑最長轉化圓外點與圓上點的線段的最值問題，考查考生對圓的知識的綜合運用能力，以及動態問題靜態化的解題策略.

2 利用特殊位置或極端位置

對于最值問題，關注特殊位置與臨界位置，可能是許多問題的突破口.特殊位置與臨界位置主要是指線段中點處、兩條直線互相垂直位置、線段的兩個端點等.

例2 如圖2，在△ABC中，AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°，⊙O為ABC的外接圓，P為BC上任一點，則四邊形OABP的周長的最db0e093918da49394dca1fb54c96aa8adc6694b1c6141737dd5d44fd553bd6c5大值是 cm.

分析 如圖2，過點B作BD⊥AC，垂足為D，并連接OB和OC.

因為AB=5，∠A=45°，∠C=30°，

所以BD=sin45°·AB=522，

所以BC=2BD=52，

因為∠BOC=2∠A=90°，

所以OB=OC=5.

當P與C重合時，四邊形OABP的周長最大，

最大值=5+5+5+52=15+52.

評注 本題是以質點運動為背景的幾何圖形周長最值問題.解決此類動點問題最關鍵的是從圖形中發現哪些量不變，哪些量是變化的.先猜想幾何圖形中某個特殊位置符合最值要求，然后加以驗證.在中考命題中，這類問題主要考查考生對幾何圖形的識圖能力、用圖能力和特殊圖形模型的建構能力，這類問題具有一定的挑戰性.

3 利用圖形的對稱性

利用對稱的性質求最值的問題，其原理還是兩點之間線段最短亦或三角形性質，但往往會與其他知識交匯，難度較大，對學生的要求較高，綜合考查學生幾何圖形的性質等能力.

例3 在矩形ABCD中，AB=23，AD=6，點E是射線BC上的動點，將射線AE繞點A逆時針旋轉90°，交CD延長線于點G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG，連接CF．如圖4，連接DF，當點E在運動過程中，求12DF+GF的最小值．

分析 如圖5，過點F作FM⊥CG于點M，連接AF，

由△GMF≌△ABE，

得MF=BE，GM=AB=CD，

所以MC=CG－GM=CD+DG－GM=DG，

因為DG=3BE，

所以tan∠DCF=MFMC=BEDG=13=33，

因為∠DCF為銳角，

所以∠DCF=30°，

所以F在CD右側，且與CD夾角為30°的射線CF上運動，

因為在矩形AEFG中，

tan∠GAF=GFAG=AEAG=33，

所以∠GAF=30°，

所以AF=2GF，

所以12DF+GF=12（DF+2GF）=12（DF+AF）.

作點D關于直線CF的對稱點D′，過點D′作D′H⊥AD，交直線AD于點H，連接AD′，當點F在線段AD′上，即A，F，D′三點共線時，

AF+DF=AF′+DF′=AD′，此時值最小，

由作圖可知DD′=DC=23，∠D′DH=30°，

所以D′H=12D′D=3，DH=3D′H=3，

所以AD′=AH2+D′H2

=（6+3）2+（3）2=221，

所以12DF+GF的最小值為12AD′=21.

評注 本題考查四邊形的綜合問題，考查矩形的性質、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質和作輔助線證明三角形相似是解題的關鍵，點的對稱性的應用也是關鍵，屬于較難的題.

4 結語

綜上，幾何中的最值問題雖然有點難度，但并非無章可循.對于這類問題，可以抓住題目特點，通過幾何定理，特殊和極端位置，數形結合，幾何特征加以解決.

參考文獻：

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