結(jié)構(gòu)化視角下二次函數(shù)“零點(diǎn)式”中考復(fù)習(xí)

【摘要】建立數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).面向中考的復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)該在知識(shí)的理解、技能的掌握及思想方法的融會(huì)貫通上有重要突破，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)階段的育人價(jià)值.將已學(xué)知識(shí)連接起來(lái)，是復(fù)習(xí)的重點(diǎn).本文通過(guò)中考試題談二次函數(shù)復(fù)習(xí)課中如何在結(jié)構(gòu)化視角下運(yùn)用“零點(diǎn)式”解決綜合問(wèn)題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的真正落地.

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化；二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，“教師需充分意識(shí)到學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，要引導(dǎo)學(xué)生圍繞基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)概念、獲取新知、探究本質(zhì)、解決問(wèn)題，逐步從基礎(chǔ)知識(shí)基本技能學(xué)習(xí)走向綜合知識(shí)學(xué)習(xí)，確保代數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程成為運(yùn)算能力發(fā)展、思維品質(zhì)提升、知識(shí)體系建構(gòu)和學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的成長(zhǎng)過(guò)程”.然而在省統(tǒng)考命題、復(fù)習(xí)任務(wù)重、應(yīng)試壓力大等因素的作用下，九年級(jí)的二次函數(shù)、一元二次方程及不等式復(fù)習(xí)課教學(xué)往往存在以下問(wèn)題：教學(xué)內(nèi)容“空殼化”“碎片化”，缺乏中心引領(lǐng)和精心的知識(shí)串聯(lián)；教師孤立講解基本知識(shí)，使學(xué)生對(duì)一元二次方程、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)停留在記憶零散知識(shí)點(diǎn)上，缺乏結(jié)構(gòu)上的連接；教學(xué)以“填鴨式”講解及機(jī)械練習(xí)為主，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)停留于淺層理解記憶層次，學(xué)習(xí)積極性不高，自主學(xué)習(xí)能力弱.所以需要在結(jié)構(gòu)化視角下進(jìn)行初三教學(xué)任務(wù)，改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì).復(fù)習(xí)課不是新授課，不能一節(jié)一節(jié)來(lái)，要在整體結(jié)構(gòu)下設(shè)計(jì)教學(xué)，再分步實(shí)施，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

1 結(jié)構(gòu)化視角下構(gòu)建聯(lián)系，提升能力

結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)由兩個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成：有聯(lián)系的分析和基于分析的開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì).有聯(lián)系的分析分三步走：第一步，根據(jù)課標(biāo)梳理內(nèi)容，建立知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系，提煉本模塊主要內(nèi)容；第二步，根據(jù)同一主題內(nèi)前后聯(lián)系，分析本模塊學(xué)生學(xué)情，結(jié)合模塊內(nèi)容確定模塊教學(xué)目標(biāo)；第三步，分析比較不同版本教材對(duì)本模塊的編排情況，明確本模塊教學(xué)結(jié)構(gòu).

基于分析的開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)指的是復(fù)習(xí)教學(xué)單元設(shè)計(jì)，主要是指從模塊入手，設(shè)計(jì)超出模塊的任務(wù)，形成單元整體教學(xué)，幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)真正落地.方程、不等式、函數(shù)之間是緊密相連的，從七年級(jí)的一元一次方程開(kāi)始到二元一次方程，再到不等式，函數(shù)一環(huán)接著一環(huán)，從未間斷過(guò)，怎么實(shí)現(xiàn)知識(shí)的串聯(lián)，形成體系，就是作為一線(xiàn)教師該思考和解決的問(wèn)題.本文就是利用函數(shù)的“零點(diǎn)式”聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式.

2 結(jié)構(gòu)化視角下形成結(jié)構(gòu)，發(fā)展素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一門(mén)知識(shí)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，單元和單元之間、每個(gè)單元內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)之間不是孤立的，而是具有邏輯聯(lián)系的整體結(jié)構(gòu).通過(guò)合適的模塊構(gòu)建內(nèi)容結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的、整體的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng).因此我們可以提煉出復(fù)習(xí)二次函數(shù)和一元二次方程模塊的主要內(nèi)容：一元二次方程解的個(gè)數(shù)與二次函數(shù)零點(diǎn)之間的聯(lián)系，函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系；（2）通過(guò)一元二次方程、二次函數(shù)、不等式相結(jié)合的題型，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力與綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

現(xiàn)以2023年浙江省各地中考題為例，雖然題目不一樣，但考查的知識(shí)、能力都一脈相承.

例1 （2023年杭州中考卷第8題）設(shè)二次函數(shù)y=a（x－m）（x－m－k）（a＞0，m，k是實(shí)數(shù)），則（ ）

（A）當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為-a.

（B）當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為-2a.

（C）當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為-a.

（D）當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為-2a.

分析 此題直接給出二次函數(shù)的零點(diǎn)式，聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖象與x軸的交點(diǎn)均可以得到結(jié)果，從而求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x=m+m+k2=m+k2，將x=m+k2代入表達(dá)式，可得函數(shù)的最小值為y=am+k2－mm+k2－m－k=a·k2－k2=－a4k2.此題如果像寧波卷一樣，將二次函數(shù)改為y=ax2－（2m+k）x+m（m+k），那難度將大幅提升.

例2 （2023年麗水中考）已知點(diǎn)（－m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y=ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上.

（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)An，3且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)－2<m<－1時(shí)，求n的取值范圍；

（2）求證：b2+4a=0.

分析 我們知道函數(shù)的零點(diǎn)、一元二次方程的根、圖象與x軸的交點(diǎn)，是三個(gè)不同的概念，但卻是一樣的結(jié)果.由題意知（－m，0）和（3m，0）是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，所以可以寫(xiě)出零點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+m）（x－3m），也可以得出方程ax2+bx+3=0的兩個(gè)根為x1=－m，x2=3m，由韋達(dá)定理得x1+x2=－ba，x1x2=3a，從而可以建立參數(shù)a，b，m之間的聯(lián)系；而在（2）中，由求證的式子，聯(lián)想到判別式，引進(jìn)新的函數(shù)解析式y(tǒng)1=ax2+bx－1，從而將第（2）小題中的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y1與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，下面給出解答過(guò)程：

（1）由二次函數(shù)表達(dá)式知圖象過(guò)定點(diǎn)（0，3），因?yàn)锳n，3，所以對(duì)稱(chēng)軸可表示為x=n2.

因?yàn)辄c(diǎn)（－m，0）和（3m，0）在圖象上，

所以對(duì)稱(chēng)軸也可以用x=m表示，即n=2m.

又因?yàn)椋?<m<－1，所以－4<n<－2.

（2）設(shè)y1=ax2+bx－1，

y1=ax2+bx－1的圖象可以由y=ax2+bx+3的圖象向下平移4個(gè)單位得到.

因?yàn)閍x2+bx+3=0的兩個(gè)根為x1=－m，x2=3m，

由韋達(dá)定理得x1+x2=－ba，x1x2=3a.

所以a=－1m2.

因此二次函數(shù)y=ax2+bx+3的頂點(diǎn)式為y=－1m2（x－m）2+4，由此可見(jiàn)，函數(shù)y=ax2+bx+3向下平移4個(gè)單位就得到y(tǒng)=－1m2（x－m）2，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖1.

方程ax2+bx－1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故判別式b2+4a=0.

在2024年全省命題的背景下相信含參的二次函數(shù)仍是考查的重點(diǎn)，下面可看到2024年浙江山海聯(lián)盟22題，它是去年嘉興中考卷的同胞題，教師只需將一個(gè)題目講透徹，抓住二次函數(shù)考查的重點(diǎn)及變化方向，教會(huì)學(xué)生更好地利用零點(diǎn)式，這類(lèi)問(wèn)題都將迎刃而解.

例3 （2024年浙江山海聯(lián)盟）已知點(diǎn)Am，p，B3，q，Cm+2，p都在二次函數(shù)y=2x2+bx+4的圖象上.

（1）若m=1，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求p+q的最大值；

（3）若p<q<4，求m的取值范圍.

分析 第（1）題由點(diǎn)的關(guān)系得對(duì)稱(chēng)軸x=m+m+22=m+1，而由解析式知對(duì)稱(chēng)軸x=－b4，所以b=－4（m+1）①；第（2）題求最值，改變了求原題二次函數(shù)最值，而是構(gòu)造了新的函數(shù)關(guān)系式：p+q與m的二次函數(shù)，求新的二次函數(shù)最大值.下面給出解答過(guò)程：

（2）解法1 因?yàn)锳m，p在y=2x2+bx+4的圖象上，則p=2m2+bm+4，再將①代入可得p=－2m2－4m+4，同理q=－12m+10.故p+q=－2m2－16m+14=－2（m+4）2+46，因此p+q的最大值為46.

解法2 受嘉興卷的啟發(fā)，p的值還可以利用兩點(diǎn)式、韋達(dá)定理得到.構(gòu)造新函數(shù)y1=2x2+bx+4－p，則m，0和m+2，0是函數(shù)y1的圖象與x軸的交點(diǎn)，也就是方程2x2+bx+4－p=0的兩根為m，m+2，由韋達(dá)定理m（m+2）=4－p2，即p=－2m2－4m+4，可避免①的代入過(guò)程.q的求解與最值求解同解法1，這里不贅述.

第（3）題選擇解法1或解法2就得到兩種解法，也相當(dāng)于鞏固與練習(xí)兩種思想方法.先看解法1：

（3）解法1 由（2）知p=－2m2－4m+4，q=－12m+10；因?yàn)閜<q<4，則可得不等式－2m2－4m+4<－12m+10<4，對(duì)于初中生這樣的不等式如何解往往是學(xué)生的難點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中教師要先對(duì)不等式進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式－2m2－4m+4<－12m+10②，－12m+10<4③.

③式可解得m>12；解②式還是存在困難，解一元二次不等式，是高中的要求，如何轉(zhuǎn)化，用已學(xué)過(guò)的知識(shí)去解答是本題的關(guān)鍵.

首先－2m2－4m+4<－12m+10通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為2m2－8m+6>0，即m2－4m+3>0.此不等式仍不會(huì)解，這時(shí)就要聯(lián)系不等式、方程、函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)t=m2－4m+3，可得它的零點(diǎn)式t=（m－1）（m－3），畫(huà)出函數(shù)t的圖象，如圖2.

因?yàn)閠>0，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得m<1或m>3.

綜上所述，m的取值范圍為12<m<1或m>3.

解法2 構(gòu)造新函數(shù)y1=2x2+bx+4－p，它的圖象可看成由函數(shù)y=2x2+bx+4的50/IRtKNHc51rbpOiDJVhg==圖象向上或者向下平移p個(gè)單位得到.

由題意可得新函數(shù)y1=2x2+bx+4－p過(guò)點(diǎn)Am，p，Cm+2，p，所以函數(shù)零點(diǎn)式為y1=2（x－m）（x－m－2）.

由p<q可知當(dāng)x=3時(shí)，y1>0，即（3－m）（1－m）>0，

因此m<1或m>3.

故m的取值范圍為12<m<1或m>3.

3 結(jié)構(gòu)化視角下避開(kāi)誤區(qū)，提質(zhì)增效

在復(fù)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，教師還需提供給學(xué)生合適的練習(xí)，那么如何在結(jié)構(gòu)化視角下設(shè)計(jì)二次函數(shù)、一元二次方程、不等式這一模塊練習(xí)就非常重要.在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，教師要注意避開(kāi)三個(gè)誤區(qū).

誤區(qū)1 正確區(qū)分新授課作業(yè)和復(fù)習(xí)課作業(yè).布置新授課

作業(yè)的目的是達(dá)成本節(jié)教學(xué)目標(biāo)，因此作業(yè)可分為必做和選做兩部分，按學(xué)生的能力分配作業(yè).復(fù)習(xí)課作業(yè)需分層設(shè)計(jì)，分基礎(chǔ)題和能力題，基礎(chǔ)題用來(lái)鞏固本模塊的基本知識(shí)，能力題用來(lái)提高學(xué)生的綜合能力.

誤區(qū)2 正確使用自編作業(yè)和現(xiàn)成練習(xí)冊(cè).自編作業(yè)是根據(jù)學(xué)生自身水平進(jìn)行編制，具有針對(duì)性，但常常不夠系統(tǒng)、難度層次性不夠.現(xiàn)成練習(xí)冊(cè)是各地中考題和典型題目的分類(lèi)整理，具有代表性，但可能與實(shí)際復(fù)習(xí)課關(guān)聯(lián)性不強(qiáng).

誤區(qū)3 區(qū)別對(duì)待復(fù)習(xí)課練習(xí)和課后作業(yè).在二次函數(shù)“零點(diǎn)式”復(fù)習(xí)課的建構(gòu)中，課前練習(xí)、課堂檢測(cè)和課后作業(yè)的相互協(xié)調(diào)、補(bǔ)充是作業(yè)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵.課前練習(xí)決定復(fù)習(xí)教學(xué)的起點(diǎn)；課堂檢測(cè)決定教學(xué)的節(jié)奏和方向；課后作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸.

4 結(jié)語(yǔ)

基于復(fù)習(xí)的目的和教學(xué)實(shí)際，復(fù)習(xí)教學(xué)的訓(xùn)練不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為只有課后作業(yè)，而要系統(tǒng)設(shè)計(jì)，形成結(jié)構(gòu)化的練習(xí).在結(jié)構(gòu)化視角下設(shè)計(jì)二次函數(shù)“零點(diǎn)式”課堂教學(xué)內(nèi)容、課后作業(yè)內(nèi)容，才能推動(dòng)學(xué)生高效學(xué)習(xí)，提升綜合素質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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