初中數學方程應用建模能力的培養路徑

【摘要】方程在初中數學教學中占據著舉足輕重的地位，它不僅是數學學科的基礎，更是培養學生邏輯思維和問題解決能力的重要工具.在學習方程的過程中，建模思想的應用顯得尤為重要.本文以華師版初中數學一元一次方程教學為例，通過構建數學模型解決方程問題，總結具體的教學路徑：創設問題情境、結合實際問題、培養抽象化思維、開展主題活動.

【關鍵詞】初中數學；建模能力；方程教學

在初中數學教學中，建模思想作為一種將實際問題抽象為數學模型的方法論，能夠幫助學生將方程這一抽象數學概念與實際生活問題緊密相連，通過這種思想，學生可以將現實生活中的問題轉化為數學方程，進而利用方程的求解方法找到問題的解決方案.通過構建一元一次方程，并通過求解方程找到問題的解決方案.建模思想的應用，能促進學生跨學科知識的整合，培養學生的綜合素養.

1 創設問題情境

創設一個有效的問題情境能夠極大地引發學習者的好奇和探索求知欲，使學習者在過程中體會到數學教育本身的吸引力與趣味，通過提問環境，學習者能夠逐步深入思考提問，進而提升學生思考能力、研究和解決的水平.在方程建模思想的培養中，問題情境創設要滿足三個條件：

第一，問題情境的創設應與教學內容緊密相關，確保學生能夠從中理解和掌握數學知識.通過貼近學生生活或經驗的問題情境，學生可以更輕松地建立數學知識與實際問題的聯系，從而更深入地理解數學概念和原理.

第二，在構建問題情境時，教師應該根據學生的認知能力和興趣愛好，精心挑選合適的問題，既要滿足學生的求知欲望，也要符合他們的實際水平.

第三，在構建問題情景時，必須特別關注將所掌握的數學知識運用到日常生活中.通過探究具體的例子，我們可以讓學生體會到數學的實質性，激發對它的熱愛，并且幫助他們建立起良好的數學思維模式，進一步發展其運算技巧與分析推理的能力.

在呈現問題情境時，教師應采用多樣化的方式，文字描述可以清晰、準確地表達問題，圖表則能夠直觀地展示數據和信息，而動畫則能夠生動、有趣地展示問題的動態過程.教師應根據實際情況選擇合適的方式，以便更好地吸引學生的注意力，激發他們的學習興趣.

例如 在“一元一次方程”第6.1節“從實際問題到方程”中，教師可以利用實際問題的情境幫助學生理解方程的概念.如，328名師生計劃外出春游，但是需要租用44座的客車才能滿足所有師生的需求，因此，需要考慮如何租用這樣的客車，才能確保每個師生都能夠得到充足的座位？”

經過詳細的調查研究發現，該學院共有328名學員，擁有2輛校車，每輛可容納64名學員，此外，還有44座可供學員使用.然而，我們并不清楚這些學員的具體情況.

其次引導學生建立方程，假設需要租用44座客車為x輛，已知校車可以乘坐的人數是2×64=128 人，還需乘坐的師生人數是328-128=200人，因此可以得出租用x輛44座的客車可以乘坐44x人，可以列出一個等式：44x=200.在這個實際的問題情境中，教師將引導學生們解決一元一次方程，并幫助他們確定x的值，也就是需要租用的44座客車的數量.通過這種方式，學生們不僅能夠更直觀地理解一元一次方程的概念，還能夠學會如何將它們轉化為數學模型，并運用它們來解決問題.

2 結合實際問題

在學生的數學學習過程中，他們面臨一個挑戰就是理解和消化那些抽象難懂的數學概念，將這些數學概念與日常生活中的實際案例相結合，可以為學生搭建一座通往理解的橋梁.數學并非遙不可及，它其實無處不在，滲透在我們日常生活的方方面面，無論是購物時的簡單計算，還是復雜的建筑設計，乃至深入的科學研究，數學都扮演著至關重要的角色.因此，讓學生意識到幾何學與日常的聯系，是引導他們發現幾何實用性和有趣的關鍵.生活案例的引入為幾何教學注入了新的活力，這些案例不僅為教學提供了豐富多樣的素材，使得原來抽象乏味的理論變得鮮活個性化，便于學習者理解；更重要的是，通過解答這些與日常息息相關的問題，學習者能夠親身體驗到幾何的實用性，從而更加熱愛數學，愿意投入更多的時間和精力學習.在選取生活案例時，我們需要確保它們與教學內容緊密相連，能夠直觀地展示數學概念在實際生活中的應用，案例應具有代表性，能夠涵蓋某一類問題的共同特征，幫助學生形成舉一反三的能力.

例如 在華東師大版初中數學“解一元一次方程”的教學中，教師可以通過以下方式將建模思想融入生活實例.小明計劃去旅行，他有一個固定的預算用于支付景點門票和交通費用，景點門票的價格是每張50元，而每次旅行的交通費用是固定的20元，我們需要幫助小明計算出在給定預算下，他最多可以參觀多少個景點.

教師引導學生進行建模過程，首先設定變量，假設小明最多可以參觀的景點數量為x個，假設小明的預算總費用為y元（這是一個已知數，但在此處我們先不給出具體值），之后建立方程；景點門票的總費用是50x元，交通費用是固定的20元，因此，小明的總花費是50x+20=y元.之后進行方程求解，將方程整理為50x=y-20.接著，解出x的表達式：x=y-2050.給定預算求解，教師給出幾個不同的y值（如y=300，y=400 等），讓學生代入方程計算x的值，即小明在對應預算下可以參觀的景點數量.

教師還可以進一步引導學生思考其他與旅行相關的實際問題，如預算中留出部分金額購買紀念品、參觀固定數量的景點等，讓學生嘗試建立方程并求解.這樣不僅能夠鞏固學生的數學知識，還能夠培養他們的邏輯思維能力和問題解決能力.

3 培養抽象化思維

數學模型是解決實際問題的強大工具，它能夠將復雜的現實情境轉化為精確的數學問題，從而便于我們利用數學理論和方法進行分析和求解，在幾何、代數、概率統計等領域，建立數學模型是解決問題的關鍵步驟.在建模過程中，關鍵在于抓住問題的核心特征，并選擇恰當的數學工具進行建模，對于代數問題，我們經常需要運用“合并同類項與移項”這一基本技巧.合并同類項，即是將代數表達式中具有相同或相似變量的項進行合并，通過加法或減法運算，簡化代數式，去除冗余項，使其更易于理解和分析.這一步驟不僅要求識別同類項，還需要理解同類項的概念，即那些包含相同字母和指數的項.移項則是代數中的另一個重要技巧，它涉及將等式一側的項移至另一側，并改變其符號，通過移項，可以將變量項和常數項分別集中在等式的兩側，從而更容易地求解未知數.在移項過程中，保持等式的平衡至關重要，即確保等式兩邊的數值在移項前后保持不變.

在現實生活中，許多問題都可以通過建立數學模型并應用“合并同類項與移項”等代數技巧來解決，這些技巧不僅體現了數學的精確性和簡潔性，也展示了數學在解決實際問題中的強大能力.

例如 華師大初中數學一元一次方程的解法中，我們可以通過具體問題的講解，培養學生的抽象模型思維.

解方程2（x+3）-4=3x.

去括號：2x+6-4=3x.

移項：將所有包含x的項移到方程的一側，常數項移到另一側：2x-3x=-6+4.

合并同類項：-x=-2.

系數化為1：兩邊同時除以-1，得到：x=2.

這樣，我們就得到了方程2（x+3）-4=3x的解為x=2.

一元一次方程是數學中最基本的方程類型，它僅由一個未知量決定，而且其次數最大值也不會超過1.解決這種方程的關鍵步驟包括去除分母、去除括號、移項、合并相似的項以及將其轉換為1.

抽象思維的培養是一個涉及多方面技能和策略的過程，需要時間和耐心，學生通過不斷地學習和實踐，可以逐漸提高自身的抽象思維能力，并在日常學習和生活中發揮更大的作用.

4 開展主題活動

通過開展主題活動，我們發現這是提高學生的數學素質的一種非常有效的方法.這種方法既能幫助學生更好地理解概念，又能幫助他們更好地應用所學知識.一方面，數學教學為學生提供了扎實的理論基礎和必要的知識儲備，為開展主題活動奠定了堅實的基礎；另一方面，主題活動將數學教學與實際生活緊密相連，使抽象的數學概念變得直觀且易于理解，從而增強學生的應用能力和實踐體驗.在設計主題活動時，我們需要明確其目標與初中數學教學大綱的緊密聯系，活動的目標不僅在于提升學生的數學技能，更在于培養學生的思維品質和解決問題的能力.

例如 以華東師大版初中數學一元一次方程的教學案例為基礎，挑選一系列經典且富有啟發性的建模問題，并搜集與之配套的教學資源.這些案例將涵蓋不同類型的實際問題，如行程問題、工程問題等，以便讓學生全面了解一元一次方程在現實生活中的應用.為了確保活動的順利進行，將學生劃分為多個小組，并為每個小組指定一名負責協調和組織的小組長，還將制定一個評價量表，以便對各小組的建模過程和成果進行客觀、公正的評價.

接下來，我們以華東師大版初中數學一元一次方程的經典建模案例，這些案例將涵蓋不同領域和類型的問題，如工程問題、利潤問題等，在解析過程中，我們將重點指導學生如何分析問題、構建數學模型，并引導他們掌握解決問題的有效方法，我們將總結每個案例的建模要點和技巧，為學生提供實用的建模指導.

4.1 小組實踐活動

進入小組實踐活動環節，我們將為每個小組分配一個具體的實際問題，這些問題將基于華東師大版初中數學一元一次方程的教學案例，但將具有更高的復雜性和挑戰性.學生需要在小組長的帶領下，運用所學的建模思想和方法，共同構建一元一次方程模型，在活動過程中，教師可以適時巡視各小組，提供必要的指導和幫助，確?；顒拥捻樌M行.

4.2 成果展示與交流

完成建模任務后，各小組將展示自己的建模過程和成果，他們將詳細解釋問題的分析過程、建立的數學模型以及解決問題的步驟.在這個環節，其他小組和教師將會給予寶貴的指導和建議，學生們也可以發表自己的看法，并與其他學生進行深入的交流，從而更好地了解彼此.這將有助于他們更好地理解和掌握建模思想在一元一次方程中的應用.

4.3 反思與提升

在活動結束前，我們將鼓勵學生反思和總結，讓他們從自身的實踐中汲取經驗，深入理解數學建模思想，并且從中發現問題所在，從而提出改進意見和建議，以期達到更好的效果.教師也將對此次活動給予客觀的評價，以指出學生在運用建模思想解決實際問題時的不足之處，并給予有效的幫助.這將幫助學生進一步提升自己的數學建模能力和問題解決能力.

5 結語

方程是初中數學學習中的核心要素，它不僅是連接小學與初中數學知識的橋梁，更是為后續學習更高級的代數知識奠定了堅實的基礎.通過使用建模技術，我們可以幫助學生提高他們的問題處理能力和提升他們的數學運算技巧.

【本文為南安市教育科學”十四五”規劃2023年度課題＜新課標下初中數學方程應用建模能力的培養路徑研究＞NG1453-004研究成果】

參考文獻：

[1]朱麟.從數到式，從式到方程——基于數學模型觀念滲透的單元教學設計[J].數理天地（初中版），2024（03）：57-59.

[2]夏菁.建模思想在初中數學一元一次方程中的有效應用[J].家長，2024（04）：67-69.