章起始課統領下的“深度探研課”教學實踐

［摘 要］ 文章以“二次根式的乘除”為例，探討了章起始課統領下“深度探研課”的教學內容與方法、效果評價，以及遇到的問題與解決策略. 研究者通過類比推理和邏輯推理，引導學生獨立思考、積極參與，加深對二次根式乘除運算的理解，為后續研究二次根式的加減運算做好引領.

［關鍵詞］ 深度探研課；二次根式的乘除；教學設計

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）指出：“在義務教育階段，數學思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力. 通過經歷獨立的數學思維過程，學生能夠理解基本數學概念和法則的發生與發展，數學基本概念之間、數學與現實世界之間的聯系［1］”. 對此，邢成云老師在《“化歸思想”應用舉隅》［2］一文中已給出了很好的展示與解讀. 本文在以上研究背景下，對“二次根式的乘除法”這一深度探研課［3］進行了設計.

教學背景分析

本節課順承章起始課，是教育部中小學“雙名”領航工程邢成云名師工作室提出的“立足市域·走向全國：初中數學章起始課統領的大單元整體教學”之“1+n”結構（“1”指章起始課）中“n”的第一節課，是立足起始課，對二次根式運算進行的“深度探研”課. 在起始課中，教師已引導學生利用二次根式的概念得出二次根式的性質，再通過性質探究出積的算術平方根的性質，接著由等式的對稱性得到二次根式的乘法法則. 本節課立足起始課，引導學生在類比乘法法則的基礎上完成對二次根式除法運算法則的推理證明，以及對最簡二次根式的理解，幫助學生建立起比較完善的代數式及其運算的知識結構，為后續勾股定理、一元二次方程、二次函數等內容的學習做好鋪墊.

教學目標

1. 類比二次根式乘法，完成二次根式除法法則的推理驗證，從不同角度理解二次根式的乘除運算法則.

2. 借助具體例子，總結并得出最簡二次根式的概念，能準確利用積（商）的算術平方根對二次根式進行化簡.

3. 通過對二次根式乘除運算法則的推理驗證，提高推理能力；從不同角度理解二次根式的乘除運算法則，提高概括與抽象能力.

教學過程及設計

1. 復習回顧，體現本質

問題1 上節課我們學習了二次根式的性質，并猜想出=·（a≥0，b≥0），你們是如何證明的？

教學預設 （）2=ab，（·）2=（）2·（）2=ab，所以=·（a≥0，b≥0）.

追問：根據等式的對稱性，由=·（a≥0，b≥0），得·=（a≥0，b≥0）. 你能用文字語言描述一下二次根式的乘法法則嗎？

教學預設 兩個數的算術平方根的積等于這兩個數的積的算術平方根.

追問：如果是，又會有什么樣的結果？請說明理由.

學生探究活動略.

設計意圖 通過回顧章起始課對二次根式乘法法則的推導過程，再次激發學生對數學本質的思考. 并借助對的探究，加深對積的算術平方根的理解，為下一環節研究商的算術平方根的性質與二次根式的除法運算做好鋪墊.

2. 類比遷移，探索新知

問題2  前面已經證明出=·，回顧上一節課的學習過程，你能對=這一猜想進行證明嗎？

教學預設 類比前面所學，分別對等式的左、右兩邊進行平方，即可得出.

追問：還有其他的證明方法嗎？

教學預設 可以把除法變成乘法進行驗證.

追問：這是從另外一個角度認識商的算術平方根的性質. 由等式的對稱性，就會得到=，你現在對二次根式的除法有什么新的認識？對于上面的式子，你們還有補充嗎？

教學預設 應該加上a，b的取值范圍. 因為b在分母位置，所以a≥0，b>0.

追問：嘗試用文字語言描述一下.

教學預設 兩個數的算術平方根之商等于這兩個數的商的算術平方根.

設計意圖 這里二次根式乘除運算法則的探究過程與教材不同. 教材是通過具體實例由特殊到一般總結出規律，這樣做雖然大部分學生容易接受，但是不能幫助學生理解運算規律背后的本質，學生也不知道如何利用演繹推理對其進行證明. 本環節通過類比積的算術平方根的性質得到商的算術平方根的性質，并推理證明，這樣不僅能加深學生對“平方與開平方”互逆運算的理解，而且能提高學生的類比能力，拓展學生的思維，培養學生的代數推理能力.

3. 學以致用，提高能力

問題3 計算：（1）×； （2）2×； （3）÷； （4）÷.

學生嘗試解答，過程略.

設計意圖 本題是二次根式乘除運算的直接應用，被開方數由簡單的數字到字母，題目設計由易到難，能幫助學生加深對二次根式乘除法的理解. 其中，第（2）題學生在做的過程中可能會展示兩種不同的做法，一種是2×=××==2，另一種是2×=2×=2. 教師讓學生體會兩種做法，在“擇優”中實現深度學習.

問題4 化簡：（1）；（2）；（3）； （4）.

學生嘗試解答，過程略.

追問：請觀察問題4的化簡結果20，，4c，，它們有什么共同特征？給它們起個什么名字比較合適？

教學預設 被開方數是整數或者整式，被開方數中所有能開方的數都要被開出來. 滿足這樣特點的二次根式叫最簡二次根式.

設計意圖 本題是用積（商）的算術平方根的性質對二次根式進行化簡，性質服務于運算，運算依賴于性質. 通過讓學生觀察化簡后的結果，總結這些二次根式的共同特征，引出最簡二次根式的概念.

問題5 結合本節所學，自己編寫一道二次根式乘除混合運算的題目，小組展示并解答所編題目.

設計意圖 通過開放性問題的設計，加深學生對二次根式乘除運算法則的理解. 學生在編題過程中對所學內容融會貫通，有助于提高創新能力. 對所編題目進行計算，能提高計算能力.

4. 課堂小結，升華新知

問題6 這節課學習了二次根式的哪些內容？我們是通過什么方式獲取這些知識的？如何證明二次根式乘除運算法則？在學習過程中用到了哪些思想方法？對于二次根式，你還想學什么？

歸納總結 積（商）的算術平方根的性質：=·（a≥0，b≥0）； =（a≥0，b>0）；

二次根式的乘（除）運算法則：·=（a≥0，b≥0）； =（a≥0，b>0）.

設計意圖 通過問題提出，引導學生自主總結本節課的相關知識，在梳理知識的同時感悟用到的思想方法，逐步形成指向理解的立體結構，以提高學生的數學核心素養. 最后的問題“你還想學什么”給出了學習展望，以此突出學習的連貫性.

教學設計立意闡釋

1. 基于推理，走向邏輯

《課標（2022年版）》中指出：課程內容特別強調的代數推理和幾何直觀，需要體現螺旋上升. 初中階段，學生要學會用數學的符號表達數學道理，并會基于這樣的道理證明一些數學命題. 推理能力作為數學核心素養的主要表現之一，是數學思維的基礎. 在章起始課的統領下，類比積的算術平方根的性質得出商的算術平方根，并類比積的算術平方根的證明方法得出商的算術平方根的邏輯推理過程. 這些都是對學生代數推理加強的體現，從猜想到證明，能使學生更好地理解二次根式乘除運算法則的本質.

2. 立足整體，乘除統一

本節課是在理解二次根式概念、性質以及學習了實數的平方和開平方運算基礎上，進一步研究二次根式的運算，密切了它與整式和分式的運算關系，為后續的相關學習奠定了基礎. 二次根式乘除法若按照原來的點對點教學，要用兩個課時完成（一節乘法、一節除法），而本節課循章起始課的全景布局，立足整體，順承而下，把二次根式的乘除運算有機地結合在一起，用一個課時即可完成. 通過引導學生類比歸納得出商的算術平方根，再類比積的算術平方根性質的證明方法證明商的算術平方根的性質，體現了乘除的對立統一性. 如此設計，降低了學生的認知負荷，有助于學生更好地理解二次根式的運算法則.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］邢成云. “化歸思想”應用舉隅［J］. 中學數學教學參考，2015（29）：23-26.

［3］邢成云. “整體統攝·快慢相諧”的整體化教學［J］. 中國教師，2021（10）：38-41.