關于中考圓類問題的舉例探究

［摘 要］ 圓類問題類型多樣，涉及眾多知識考點，探究學習中要關注命題形式，結合對應知識探尋破解思路，總結方法策略. 本文將結合考題深入探究圓中的四類問題，并結合教學實踐提出相應的建議，與讀者交流學習.

［關鍵詞］ 圓；模型；尺規作圖；拋物線

中考在考查圓的性質特征時常結合其他知識，形成了特殊的圓類問題，該類問題往往綜合性強，側重考查知識間的聯系，以及綜合運用解題方法分析推理. 圓類問題的構建形式較為多樣，下面結合中考題探究其中較為常見的四類.

圓中扇形屬性探究

圓中扇形屬性探究涉及圓弧的周長、面積，主要考查模型構建和對應公式等知識. 對于弧長問題，準確確定圓弧的角度和半徑；涉及圓弧的面積問題，則需合理構建面積模型，結合對應面積公式求解.

例1 （2023年揚州市中考）如圖1所示，在?ABCD中，AB=+1，BC=2，AH⊥CD，垂足為H，AH=. 以點A為圓心，AH長為半徑畫弧，與AB，AC，AD分別交于點E，F，G. 若用扇形AEF圍成一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為r；用扇形AHG圍成另一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為r，則r-r=______. （結果保留根號）

命題分析：本題目探究扇形圍成圓錐底面的半徑差，需要求解扇形的弧長，利用弧長公式反推半徑長，實際上為圓中的扇形屬性探究題. 求解時需要注意兩點：一是充分利用平行四邊形的性質，推導角度；二是合理利用弧長與圓周長公式.

過程詳解：在?ABCD中，AB=+1，BC=2，AH⊥CD，AH=，可推得AD=BC=2，DH==1. 因為cos∠DAH==，AB=CD=+1，可得∠DAH=30°，CH==AH，所以∠ACH=∠CAH=45°. 又知AB∥CD，可得∠BAC=45°.

由于利用扇形圍成圓錐，則弧長等于底面圓的周長，從而可得=2πr，=2πr，可解得r=，r=，所以r-r=-=.

解后評析 上述本質上為求圓中的扇形半徑屬性探究題，主要考查平行四邊形的性質，以及勾股定理、銳角三角函數、扇形的弧長公式的應用. 問題的應用屬性極強，需要把握構建過程，靈活推導.

圓中的模型探究

圓中的模型探究主要針對的是初中幾何的特殊關系和模型，主要考查學生對模型特征與性質的掌握情況，以及靈活運用結論的分析推理的數學思維. 圓中常見的關系與模型包括三角形相似與全等模型、直角三角形模型等. 探究解析時要關注幾何特征，注意模型提取，利用模型結論逐步解析.

例2 （2023年蘇州市中考）如圖2所示，△ABC是☉O的內接三角形，AB是☉O的直徑，AC=，BC=2，點F在AB上，連接CF并延長，交☉O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E.

（1）求證：△DBE∽△ABC；

（2）若AF=2，求DE的長.

命題分析：本題目以圓為背景構建三角形，涉及求證三角形相似和線段長，屬于圓類問題. 問題解析需要提取其中的相似三角形、直角三角形，以相似關系和特殊圖形性質來構建模型，分析推理，本質上為圓中的模型探究.

過程詳解：（1）因為AB是☉O的直徑，BE⊥CD，則可得∠ACB=90°=∠BED. 結合∠CAB=∠CDB可證△DBE∽△ABC.

（2）已知AC=，BC=2，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，分析可得AB==5，tan∠ABC==. 因為AF=2，則BF=3. 因為△DBE∽△ABC，可得∠ABC=∠DBE，所以tan∠ABC=tan∠DBE==.

可設DE=x，則BE=2x，BD=x. 分析可證△ACF∽△DBF，則可得==，代入可得=，則DF=2x，EF=x=DE，所以BD=BF=3. 所以DE=.

解后評析 本題目實質上為圓中的模型探究題，主要考查圓周角定理的應用，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，提取圖形中的特殊模型是解題的關鍵. 圓中的常見模型較多，常見的有相似模型、全等模型、一線三等角模型、直角三角形模型等.

圓中的尺規作圖探究

圓中的尺規作圖探究綜合性極強，常將作圖與幾何推理相結合，綜合考查學生的動手操作能力和推理分析能力. 尺規作圖的類型較為多樣，涉及作等線段、等角、角平分線、過定點直線的垂線，以及線段的垂直平分線. 問題解析時需要理解題意，確定作圖意圖.

例3 （2023年連云港市中考）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的☉O交邊AC于點D，連接BD，過點C作CE∥AB.

（1）請用無刻度的直尺和圓規作圖：過點B作☉O的切線，交CE于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2024數學教學通訊中旬（11期）＼2024數學教學通訊中旬（11期） c＼11-84.tif>[圖3][B][D][C][E][A][O]

命題分析：本題目為以圓為背景的綜合題，第（1）問作切線，屬于與圓相關的尺規作圖；第（2）問為常規的證明題. 兩問綜合考查學生的動手操作與分析能力. 第（2）問根據題意切線的性質以及直徑所對的圓周角是直角，證明∠BDC=∠BFC，根據平行線的性質以及等腰三角形的性質得出∠BCD=∠BCF，進而證明△BCD≌△BCF（AAS）， 即可得證.

過程詳解：（1）過點B作☉O的切線，可轉化為過點B作AB的垂線，交CE于點F即可. 具體過程分為兩步：第一步，以點B為圓心，任意線段的長為半徑畫弧，交直線AB于兩點；第二步，再以這兩點為圓心，一定長度為半徑分別畫弧可得兩個交點（半徑可大于OB長），如圖4所示.

（2）因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，又知CE∥AB，所以∠ABC=∠BCF，可推知∠BCF=∠ACB.

由于點D在以AB為直徑的圓上，則∠ADB=90°，可得∠BDC=90°. 又知BF為☉O的切線，則∠ABF=90°. 而CE∥AB，所以∠BFC+∠ABF=180°，可得∠BFC=90°，所以 ∠BDC=∠BFC.

在△BCD和△BCF中，有∠BCD=∠BCF，

∠BDC=∠BFC，

BC=BC， 可證△BCD≌△BCF（AAS），可推得BD=BF.

解后評析 本題目第（1）問尺規作圖要求作圓的切線，實則為過一點作線段的垂線，考查垂線的作法. 探究學習中需要總結常見作圖的作法，分別理解作圖步驟及意圖，總結作圖的關鍵點、注意事項，以及所利用的知識定理.

圓中的函數聯系探究

圓中的函數聯系探究，主要考查圓與函數綜合的相關知識，包括性質與特征、結論與定理，以及相應的探究方法，對學生的綜合解析能力要求較高. 探究解析時，需要靈活運用數形結合的方法策略，對于多種情形分類討論. 關注其中的位置關系，提取構建特殊模型.

例4 （2023年蘇州市中考）如圖5所示，二次函數y=x2-6x+8的圖像與x軸分別交于點A，B（點A在點B的左側），直線l是對稱軸. 點P在函數圖像上，其橫坐標大于4，連接PA，PB，過點P作PM⊥l，垂足為M，以點M為圓心，作半徑為r的圓，PT與☉M相切，切點為T.

（1）求點A，B的坐標；

（2）若以☉M的切線長PT為邊長的正方形的面積與△PAB的面積相等，且☉M不經過點（3，2），求PM長的取值范圍.

命題分析：本題目為拋物線綜合題，融合了拋物線、圓、三角形等，涉及相交、相切、垂直等特殊關系. 第（2）問為核心之問，設定正方形與三角形的面積相等，屬于典型的幾何面積問題，解析突破則需要把握圖形特征，分別構建面積模型.

過程詳解：（1）簡答，點A（2，0），B（4，0）.

（2）因為拋物線經過點A（2，0），B（4，0），所以拋物線的對稱軸為x=3，可設P（m，m2-6m+8）. 因為PM⊥l，則點M的坐標可表示為（3，m2-6m+8）.

如圖5所示，連接MT，則MT⊥PT，所以PT 2=PM 2-MT 2=（m-3）2-r 2，即以切線PT為邊長的正方形的面積可表示為（m-3）2-r2.

過點P作PH⊥x軸，垂足為H，則△PAB的面積可表示為S=AB·PH=m2-6m+8，根據等面積關系可得（m-3）2-r2=m2-6m+8. 因為r>0，則r=1. 假設☉M過點N（3，2），則有以下兩種情況：

情形①：如圖6-（a）所示，當點M在點N的上方時，即M（3，3），所以m2-6m+8=3，可解得m=5或m=1. 因為m>4，所以m=5；

情形②：如圖6-（b）所示，當點M在點N的上方，即M（3，1），所以 m2-6m+8=1，可解得m=3±. 因為m>4，所以m=3+；

綜上可知，PM=m-3=2或，所以當☉M不經過點（3，2）時，1<PM<或<PM<2或PM>2.

解后評析 上述第（2）問探究線段長時涉及拋物線與圓的特性分析，通過分析其中點、線、圖形的位置關系確定分類標準，構建模型. 解析時需要注意兩點：一是構建線與線、線與圖形的聯系，利用點坐標求線段長，結合線段建立面積模型；二是關注其中的位置關系，包括直線與圓的相切關系，點與點的相對位置關系.

關于圓類問題的探究建議

圓類問題作為中考的重點問題，類型多樣，探究學習時需要深入剖析問題特征，把握其構建形式，結合方法具體剖析，下面提出幾點建議.

1. 剖析位置關系，分類具體討論

“位置關系剖析”是圓類問題探究的重點，包括圓與直線的關系，圓中點與點、點與線的關系等. 位置關系分析是后續分析的基礎，需要根據關系分析來構建模型，分情形討論. 具體探究時要關注兩點：一是圓與直線相切，根據相切提取直角或垂直；二是圓中的特殊點，包括圓心、切點、相交點，通過分析特殊點來確定特性.

2. 提取特殊模型，進行性質推理

圓中復合圖形剖析是解題的關鍵，需要從圖形中推導性質結論，為后續轉化分析做基礎. 剖析時需關注復合圖形中的模型，必要時合理作輔助線，提取其中的特殊關系及模型. 常見的有相似或全等模型，直角三角形等. 探究學習中建議總結歸納，匯總常見模型的構建形式，重點關注圓中的特殊模型.

3. 整合問題形式，串聯綜合知識

圓類問題的形式多樣，上述所探究的是其中較為常見的四種，涉及弧長公式、扇形面積公式、幾何模型、三角函數、拋物線等知識考點. 問題綜合性極強、解法也不統一，探究學習時需要整合該類問題的構建形式，把握知識關聯點，總結破解方法. 同時開展解題探究，選取典型問題，總結方法.