一題可破萬題山，變式指導破萬難

［摘 要］ 二次函數最值問題專題教學時，建議采用變式探究的方式，深度分析母題，再結合考點進行變式構建. 教師要指導學生明晰問題特點，重點講解思路方法，總結解題經驗. 研究者圍繞一道二次函數最值問題，開展變式教學探究.

［關鍵詞］ 二次函數；最值；解法

二次函數最值是初中數學重難點問題，該問題融合了二次函數、幾何、最值等知識內容，探究突破需要解析圖像，構建最值模型. 其中最值模型的構建與分析轉化是難點，需要重點講解. 最值問題的構建形式多樣，針對不同情形需要靈活使用方法，建議圍繞母題開展變式探究.

母題探究，基礎分析

問題：如圖1所示，已知拋物線過A（4，0），B（0，4），C（-2，0）三點，P是拋物線上一點.

（1）試求拋物線的解析式.

（2）如圖2所示，若點P在直線AB的上方，作PF⊥AB，點F在線段AB上，求PF的最大值.

本題以拋物線為背景，設定了曲線上的四個點，已知點A，B，C的坐標. 題設兩問，分別求解析式和線段最值，分步構建即可.

（1）顯然利用三點坐標很容易求出該拋物線的解析式，而教學的重點則是簡化求解的方法，需要引導學生關注點A和C的位置（位于x軸上），可以直接將拋物線的解析式設為y=a（x-4）（x+2），后續(xù)直接將點B的坐標代入即可，即拋物線的解析式為y=-x2+x+4.

（2）該問設定了垂線段PF，求其最大值，屬于線段最值，教學時需要指導學生采用“化斜為直”的轉化技巧，具體過程如下.

過點P作PH平行于y軸，點H在AB上，如圖2中的虛線所示. 再引導學生關注其中的相似模型，根據角度可以推導出△PFH∽△AOB，顯然△PFH為等腰直角三角形. 從而可知，當PH取最大值時，PF也取到最大值，且線段長關系為PF=PH，則只需要研究PH的最大值即可.

其中點H所在直線的解析式為y=-x+4，點P在拋物線y=-x2+x+4上. PH的線段長可以表示為yPH=-x2+2x=-（x-2）2+2，顯然當x=2時，PH取得最大值2，此時PF為.

教學評析 上述第（2）問為核心之問，主要考查“化斜為直”求線段最值，即構建一般線段PF與平行于y軸的線段PH之間的長度關系，后續(xù)利用解析式來求最值. 整個過程中，需要引導學生關注兩點：一是如何構建線段關系，可借助相似模型、全等模型；二是線段關系構建后如何求最值，可結合解析式，也可關注特殊點.

一題多變，最值探究

教學探究中，建議圍繞具體問題，采用一題多變的形式，指導學生逐步探究，即問題主體框架不變，對問題進行條件設定，改變其結構形式，講解破解方法. 下面針對母題，進行最值問題多變探究.

1. 幾何模型構造

問題：如圖3所示，若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA=OA，過D作DE⊥x軸于點E，設△ADE的內心為I，試求BI的最小值.

教學指導：本題目中設定了動點D，并構建了△ADE，引出點I，求BI的最小值，實則問題為雙動點線段最值. 其中D為主動點，I為從動點. 教學中需要引導學生明晰解題的關鍵，即確定動點I的軌跡.

指導時從基本條件入手，分析其中的線段、角度關系，整合條件. 分析易得△ADI≌△AOI（SAS），∠AID=∠AIO=135°，其中OA為定線段.

根據“定弦定角”隱圓模型，可確定點I在以OA為弦，所含的圓周角為135°的圓弧上. 可設該圓的圓心為F，連接FO，FA，∠OFA=90°，如圖3虛線所示. 從而可得r=AO=2，則BI≥BF-r=2-2，即BI的最小值為2-2.

教學評析 上述問題構建主要考查“隱圓”模型構建，整個過程分為兩個階段：第一階段，探尋動點I的軌跡；第二階段，利用“兩點之間，線段最短”確定最值情形. 其中軌跡圓或圓弧的確定是解題的關鍵，教學中需要引導學生總結隱圓確定的方法，如定弦定角、定點定長、四點共圓、對角互補等.

2. 二次函數模型構建

問題：如圖4所示，拋物線的對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，M是線段DE上的動點，N（n，0）為x軸上一點，且BM⊥NM.

（1）求n的變化范圍；

（2）當n取最大值時，過點0

，的直線l經過點N. 此時將直線l向上平移t個單位長度，使線段l與拋物線有兩個交點，求t的取值范圍.

教學指導：本題引入了動點M，設定了垂直關系，探究點N橫坐標的最值. 需要引導學生關注點N與點M的關系，整個問題解決的關鍵是構建點N坐標的函數模型. 在拋物線問題中，則需要結合幾何特性.

（1）點N與點M存在關聯，引導學生從點M的坐標入手，再結合幾何特性逐步推導. 設點M的坐標為（1，m），再關注圖形中的直角三角形MNE，利用勾股定理構造出關于n的函數模型，即NM 2+BM 2=BN 2，代入線段長有（n-1）2+m2+1+（4-m）2=n2+42，整理可得n=m2-4m+1=（m-2）2-3，再結合位置關系有0≤m≤4.5，則-3≤n≤3.25.

（2）該問是關于點坐標最值的平移問題，引導學生分兩步分析：第一步，分析平移后直線的位置情形；第二步通過交點情形來確定t的取值.

當n取最大值時，點N的坐標為

，0，結合點0

，可確定直線l的解析式為y=-2x+. 設其平移后的解析式為y=-2x++t.

分析可知向上平移點N落到拋物線上時，剛好有兩個交點，此時點N的坐標為

，

，則t=；繼續(xù)向上平移，只有一個交點時，-2x++t=-x2+x+4，-x2+3x--t=0，由Δ=0可得t=2.

綜上可知，≤t<2.

教學評析 上述問題主要考查二次函數模型的構建，問題涉及求取值范圍，實際上也可以理解為求最值. 與拋物線和直線位置相關的取值范圍問題，實則為分析交點位置的臨界點，教學中需要引導學生理解該問題的本質. 二次函數模型構建，通常有兩種方式：一是利用特殊幾何性質，如勾股定理；二是點、線、面的代數特征，與相交相關.

3. 加權線段構建

問題：如圖5所示，若y軸上有一動點M，求AM+BM的最小值及點M的坐標.

教學指導：本題目中設定動點，求解AM+BM的最小值及點M的坐標，可以理解為加權線段最值問題，解題的關鍵是處理BM，將其轉化為常規(guī)的線段.

分析問題條件，顯然為胡不歸模型問題. 指導學生作MH⊥BC，垂足為H，結合條件可轉化為AM+BM=AM+MH≥AG，只需求解AG的長即可.

對于AG長計算，則有多種方法，教學中可以重點指導：一是采用等面積法，即AG==，再結合相似即可求出點M的坐標；二是利用三角函數知識，有tan∠BCO=2?=2?=，再結合三角函數可求點M坐標. AM+BM的最小值為，點M的坐標為（0，2）.

教學評析 加權線段最值問題較為特殊，需要轉化加權線段，再求最值. 上述利用了胡不歸模型來直接轉化，后續(xù)確定最值情形，整合為單一線段. 該類問題的教學，需要側重思路講解，引導學生掌握基本轉化策略，再深入講解破題細節(jié).

教學實踐，學習建議

上述圍繞一道拋物線最值問題展開變形探究，以常見的最值考查形式為基礎構建，著重教學思路的分析和解題方法技巧的指導. 下面結合教學實踐，提出幾點建議.

1. 專題教學，變式拓展

初中數學問題多樣，采用傳統的“題海戰(zhàn)術”無法顯著提升學生的解題能力，而應側重專題教學探究. 圍繞一道問題，開展題型、解法探究. 專題探究需要注意兩點：一是精選母題，以常見的題型為基礎，條件簡易，圖形簡單，便于后續(xù)拓展構建；二是全面整合問題類型，明確后續(xù)變式拓展方向，確保一題多變全覆蓋.

2. 思路引導，技巧講解

變式拓展探究中，建議分環(huán)節(jié)開展，分析問題，引導思路，講解方法. 問題構建后，不要急于指導學生解題，而應分為三個環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)一，指導學生分析問題結構，把握問題特征；環(huán)節(jié)二，整合條件信息，引導學生明晰解題思路；環(huán)節(jié)三，推理過程講解，重點指導解題方法. 通過解題三環(huán)節(jié)教學，讓學生理解問題本質，掌握題型特點，總結方法技巧.

3. 思想滲透，素養(yǎng)提升

上述二次函數最值專題教學中，滲透了眾多的數學思想，整個解題過程在思想方法指導下來解題構建，這些數學思想是解題的關鍵所在，教學中需要重點講解. 以數形結合為例，教學中指導學生感悟方法內涵，整合條件，理解圖像，借助圖像來挖掘隱含信息，即“由數示形”與“以形釋數”結合構建. 化歸轉化教學中，指導學生明晰“等價”的基準，在此基礎上講解常見的轉化技巧.

寫在最后

一題可破萬題山，開展變式指導可使學生從根本上掌握類型題的解法. 實際教學中，要精選問題素材，圍繞考點合理變形，引導學生掌握分析方法，總結解題經驗. 教學過程合理滲透思想方法，提升學生的數學素養(yǎng).