融知于境 二次建構

［摘 要］ 文章用生活情境統攝二次根式整章復習，明確二次根式研究內容以及研究路徑，構建二次根式章節知識框架. 從算術平方根到二次根式，由整式加減運算到二次根式加減運算，由分式化簡到二次根式乘除，通過類比遷移打通數與式之間的聯系，由點帶面，深化學生對“數式通性”的理解，從宏觀角度構建數與式部分的知識體系.

［關鍵詞］ 數式通性；結構化；整體觀；二次根式

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在教學建議條目二整體把握教學內容中指出：在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系. 數學知識的結構化落實于教學實踐，要注重教學內容的結構化. 對于復習課而言，邢成云團隊提出的“整體化教學”在文章《“整體統攝·快慢相諧”的整體化教學》中是這樣定位的：復習課是對整章內容進行再次整體認知，加固并重構已有的知識結構，多角度形成對本章“終端”的認知［1］. 下面以人教版八年級下冊“二次根式”為例，談一下如何在復習課中落實數學知識的結構化.

厘定教學內容

本單元章起始課已從宏觀和微觀的角度分析了本章的主要內容，并進行了宏觀規劃，將本章分為7個課時，本節課屬于第6課時統攝復習課. 統攝復習課是以大單元教學設計為根基，以結構化教學方式為手段，強化知識之間的內在關聯，形成知識脈絡體系，促進學生深度學習，從而提升學生的學習力. “數”與“式”是初中代數的兩大內容，教材編排是以交叉螺旋上升的方式呈現的. 二次根式是學生學習了有理數、實數，整式、分式之后的一章，屬于“數與式”部分的最后一章，學生已積累了一定的學習經驗，通過類比、遷移運用等學習策略，形成了數與式學習的基本套路，對數式通性有了較為深刻的認識. 基于統攝復習課的定位以及學生已有認知經驗，可確定本復習課基本內容為：借助情境復習二次根式的定義、性質、運算以及應用等基礎知識，其重點在于加固二次根式章節的知識結構，厘清“數與式”部分的知識脈絡，形成“數式一致性”的整體觀，進一步體會數式通性，促進學生數學核心素養的形成，為后續學習勾股定理、一元二次方程等知識奠定基礎.

確定教學目標

基于《課標（2022年版）》分析和學生已有認知經驗，以及復習課的功能定位，可確定本節課的教學目標為：

（1）通過創設生活情境，再次經歷從數（數的算術平方根）到式（二次根式）的知識生長過程，厘清其本質聯系，鞏固二次根式的定義、有意義的條件、性質、運算以及應用等知識. 通過支架問題，建構二次根式的知識框架，體會類比、從特殊到一般的數學思想.

（2）經歷建構二次根式知識結構過程，完善“數與式”部分的知識框架，進一步明確“數與式”研究的路徑和研究方法，理解數式通性，鞏固研究“數與式”的基本經驗，發展抽象能力.

教學過程設計

1. 以境為繩，串聯貫通

情境1 為加強勞動教育，讓教育返璞歸真，某學校七年級六班在班主任的帶領下開墾了96 m2的試驗田作為本班的勞動基地.

（1）若試驗田為正方形，那么試驗田的每條邊長為______m.

（2）為便于管理，現對試驗田進行分割，每塊小試驗田的長為大試驗田的長，寬為 m，那每塊小試驗田的面積為多少平方米？小試驗田的長是寬的多少倍？

（3）（2）中小試驗田的周長為多少米？長比寬長多少米？

數學思考 （1）在問題（1）中，你是怎樣求試驗田的邊長的？若把96換成字母，邊長又怎樣表示呢？你能說出數的算術平方根與二次根式之間的關系嗎？二次根式的性質有哪些？什么是最簡二次根式？

（2）問題（2）體現了二次根式的哪些內容？相對應的法則是什么？這部分內容你是怎樣開展研究的？

（3）根據問題（3），請說出如何進行二次根式加減運算，它與整式加減運算之間有什么區別與聯系？

功能分析 以實際問題情境引入，讓學生再次體會二次根式在生活中的應用. 通過三個支架問題的設置，貫穿二次根式的定義、性質、運算以及應用等知識，引領學生進一步體會二次根式與數的算術平方根、整式、分式之間的關系，厘清知識發展脈絡，建構“數與式”部分的知識框架，深化學生對數式通性的理解. 對于“數學思考（1）”，根據算術平方根的意義得x2=96，則x=，進而得，學生再次體會了從數到式的自然過渡（用式的眼光看待），同時體現了從特殊到一般的數學思想，感受由數到式的生長與發展. 通過追問二次根式的性質有哪些，進一步明確了二次根式的定義與三個性質的內在聯系. 另外，在求解正方形邊長時，若學生把化簡為4，教師可順勢復習最簡二次根式的概念；若學生沒有化簡，教師就通過追問把這一概念調出來. 對于“數學思考（2）”，把二次根式的乘除運算擺出來，在追問運算依據的基礎上喚起二次根式乘除運算法則，繼而在“怎樣開展研究的”的追問中突出乘除運算法則之間的聯系以及二次根式與分式運算的同構關系. “數學思考（3）”的設置是為了引導學生復習二次根式的加減運算，進一步體會它與整式加減之間的關系. 二次根式的加減是在化簡之后合并同類二次根式，實際上相當于合并同類項，從中能體會式與式之間的關聯，同時類比分式研究能進一步明確二次根式的研究路徑和研究內容（如圖1所示）.

2. 乘勝追擊，加固結構

情境2 （1）在情境1中，我們體會到了二次根式與數的算術平方根、整式、分式之間的關系，回憶曾經學過的數（有理數、實數），學過的代數式（整式、分式、二次根式），你能說出這些“數與式”之間的關系嗎？

（2）根據它們之間的關系，嘗試建構“數與式”部分的知識框圖.

功能分析 基于本章是“數與式”部分的最后一章，所以本節課不但肩負著本章知識的復習，同時肩負著數與式整個板塊的知識建構，需將分散在各個年級不同冊中的相關知識之間的縱向聯系勾勒出來，使這種隱形的大單元浮出水面，讓學生見木見林，發揮復習課的價值，體現數學知識的整體性，發展學生“數式一致性”的整體觀，促進學生數學素養的形成. 問題（1）引導學生回憶從數到式的研究歷程，由整數到整式，分數到分式，從無理數到二次根式，加強知識之間的縱向聯系，體會數式通性，以及運用的類比、轉化、抽象、從特殊到一般的數學思想策略. 皮亞杰在《結構主義》中提出“結構就是圖式體系”的論斷，認為新知學習是新、舊圖式體系相互作用的過程. 因此在新知的教學中，教師要把零碎的知識有效結成網、組成圖式體系，讓知識模塊化［2］. 因此設置問題（2），引導學生把本章知識融入可視化的知識結構圖中，形成“數與式”模塊的知識網（如圖2所示），厘清“數與式”部分知識的發展脈絡，體會知識的生長過程. 教師有套路地教，學生有方向地學.

3. 以題為擎，深化認知

（1）如果ab>0，a+b<0，那么下列各式正確的是（ ）

A.=

B.×=1

C.×=a

D.

2 =-ab

（2）實數a，b在數軸上的對應點如圖3所示，則化簡+-a的結果是（ ）

A. 2a B. 2b C. -2b D. -2a

（3）計算：

①-+×；

②÷+（3-）.

（4）閱讀下面的材料：

=

=

=

=-.

以上這種化簡的方法叫分母有理化.觀察上面的解答過程，回答下列問題：

①求的值，并直接寫出=____________；

②利用上面提供的解法，化簡：++++…+；

③化簡：+++…+.

功能分析 為進一步深化認知，補白在上一環節復習時練習不夠深入的問題，針對本章主要內容，設置了4道題，第（1）題主要考查二次根式的乘除運算法則，第（2）題則綜合考查二次根式的性質，第（3）題考查二次根式的加減乘除混合運算，第（4）題通過閱讀材料設置新情境——分母有理化，現學現用，遷移到二次根式的化簡與運算中，讓學生體會轉化的思想. 4道題由淺入深，由易到難，層層遞進，讓不同層次學生的數學素養都能得以提升.

4. 類比遷移，聚焦整體

（1）通過復習你對二次根式有哪些新的認識？獲得了怎樣的學習經驗？

（2）你是怎樣研究二次根式的？運用到了哪些數學思想方法？

（3）請進一步完善“數與式”知識的框架圖.

功能分析 通過支架問題引領學生對本節課學習內容進行回顧總結，加固“數與式”學習的路徑與策略，知識框架的完善使學生形成對知識理解的可視化（如圖4所示），實現知其然—知其所以然—何由以知其所以然的轉變，最終達到綱舉目張的整體效果.

教學設計整體立意

1. 融知現實情境，厘定研究路徑

本節課以學生熟悉的生活情境引入，設置了幾個問題，依次引導學生對二次根式的定義，性質以及加、減、乘、除運算進行復習. 每個問題針對不同的知識點，以點帶面地進行整章知識的復習與鞏固，幫助學生進行二次根式知識脈絡的梳理，厘清二次根式的研究路徑，體會由數到式的自然遷移. 本環節在處理上沒有穿插具體的鞏固練習，目的是為了保持知識系統的完整性，以利于知識的整體建構.

2. 基于數式通性，類比促成結構

“數與式”從整體性上看，“式”繼承了“數”的運算法則與運算律；從思想方法上看，“式”是“數”的進一步抽象，是“數”的一般化，在式的運算中，數的運算本質不變. 關聯數式通性，從“數”向“式”自然遷移，將“數”與“式”從認知上進行統一，有助于學生養成良好的思維習慣［3］. 本節課正是基于“數與式”之間的這種聯系展開復習的，通過嵌入二次根式知識的情境創設，使學生在知識不斷同化與順應中完成二次根式的復習與鞏固，通過支架問題的設置，由二次根式自然遷移到“數與式”大知識體系中，引導學生在宏觀上對“數與式”進行整體的二次建構，深化數式通性，實現思維的高通路遷移.

3. 基于系統思維，落實首尾呼應

數學本然是整體的，自然需要整體地教. 小結課是《課標（2022年版）》所倡導的也是邢成云“整體化教學”團隊所定位的“整—分—整”教學鏈條上的第二個整［1］，是在系統思維指導下，踐行橫向上從碎片到體系、縱向上從孤立到聯結的規整與升華，是對章起始課之整體建構的進一步結構化、系統化，是幫助學生實現認知結構的再“生長”，從而落實好“生書熟講”與“熟書生溫”的首尾呼應.

參考文獻：

［1］邢成云. “整體統攝·快慢相諧”的整體化教學［J］. 中國教師，2021（10）：38-41.

［2］劉世雄. 胸中有丘壑，方能繪山河——基于整體性和結構化的“二次根式”教學思考［J］. 數理天地（初中版），2023（7）：54-56.

［3］應佳成. 用好數式通性，從“數”向“式”自然過渡［J］. 中國數學教育，2020（23）：8-12.