一般觀念引領(lǐng)下的初中“線段”教學(xué)建議

［摘 要］ 一般觀念在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有方向標(biāo)的作用，以其為綱，能夠教會(huì)學(xué)生如何用相似的方法學(xué)習(xí)同質(zhì)內(nèi)容. 文章立足一般觀念，提煉圖形性質(zhì)學(xué)習(xí)的一般框架，并以人教版（2011年版）七上的“線段”教學(xué)為例，探討如何在具體教學(xué)中滲透一般觀念，引領(lǐng)學(xué)生感悟知識(shí)的來龍去脈，培養(yǎng)其遷移能力和應(yīng)用意識(shí).

［關(guān)鍵詞］ 一般觀念；圖形性質(zhì)；線段教學(xué)

引言

伴隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）的頒布，知識(shí)的結(jié)構(gòu)性和整體性再次引發(fā)熱議. 課標(biāo)指導(dǎo)我們?cè)诮虒W(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系［1］. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性和整體性早已不再局限于教學(xué)內(nèi)容本身，一般觀念引領(lǐng)下的教學(xué)框架和研究方法也開始得到越來越多人的討論和關(guān)注.

數(shù)學(xué)一般觀念是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么等問題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論［2］. 數(shù)學(xué)一般觀念可以揭示學(xué)科本質(zhì)，用其統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，能起到“綱舉目張”的效果，能幫助學(xué)生把知識(shí)理解為連貫的整體，是落實(shí)整體性教學(xué)和深度學(xué)習(xí)的重要途徑.

“一般觀念”融入初中圖形性質(zhì)

教學(xué)的意義

對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，融入一般觀念的圖形性質(zhì)教學(xué)，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系. 從一般觀念的角度分析，圖形與幾何的研究手段基本是“通過尺規(guī)作圖和圖形變換建立幾何直觀—通過演繹推理構(gòu)建幾何邏輯結(jié)構(gòu)—初步量化表達(dá)”. 這些內(nèi)容比較抽象，在具體課堂教學(xué)中的操作性不強(qiáng). 立足一般觀念提煉出數(shù)學(xué)研究的一般框架，可以有效解決這個(gè)問題，能幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)同質(zhì)內(nèi)容的一般思路和研究方法.

對(duì)教師發(fā)展而言，一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠有效促進(jìn)教師專業(yè)成長(zhǎng). 一般觀念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的頂層思想觀念，以圖形性質(zhì)教學(xué)為例，站位一般觀念的課堂能夠向?qū)W生傳達(dá)這樣一種理念——不同的幾何圖形只是學(xué)習(xí)載體，圖形性質(zhì)的學(xué)習(xí)本質(zhì)上是在研究構(gòu)成圖形的基本元素或者相關(guān)元素之間的位置關(guān)系與大小數(shù)量關(guān)系. 因此，教師本身必須明確不同領(lǐng)域和不同學(xué)習(xí)主題的核心思想和觀念，對(duì)課標(biāo)有更加透徹的理解，從整體性和一致性的角度統(tǒng)籌把握教學(xué)節(jié)奏，以學(xué)促教，提升自身的專業(yè)素養(yǎng).

對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)而言，一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)課堂，能夠有效達(dá)成深度學(xué)習(xí). 以圖形性質(zhì)學(xué)習(xí)為例，傳統(tǒng)的幾何教學(xué)更注重學(xué)生幾何研究經(jīng)驗(yàn)的積累和相關(guān)技能訓(xùn)練. 在這樣的課堂中，學(xué)生或許能明白“如何解題”，但是對(duì)于幾何學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和一般性方法缺乏系統(tǒng)的認(rèn)識(shí). 一般觀念引領(lǐng)下的幾何課堂，學(xué)生能夠從研究?jī)?nèi)容、研究思路和研究方法等方面研究學(xué)習(xí)對(duì)象，梳理學(xué)習(xí)圖形性質(zhì)的一般框架和思路，構(gòu)建完整的知識(shí)體系.

定題“線段”的緣由

在下文中，筆者將以人教版（2011年版）七年級(jí)上冊(cè)第四章“幾何圖形初步”中的“線段”為例，探討一般觀念引領(lǐng)下圖形性質(zhì)教學(xué)的實(shí)施策略. 之所以以“線段”為題，主要是基于以下兩個(gè)原因.

第一，大部分學(xué)生，甚至包括一些老師，都忽視了“線段”的重要性. 學(xué)生在小學(xué)階段積累了“線段”的部分學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，大家容易對(duì)初中“線段”的學(xué)習(xí)產(chǎn)生這樣的誤解：“線段”的學(xué)習(xí)只是在小學(xué)已有基礎(chǔ)上，增添了表示方法、尺規(guī)作圖等內(nèi)容，淺顯易懂，學(xué)生不需要花費(fèi)太多精力，只要通過技能訓(xùn)練，就能達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).

第二，“線段”這部分內(nèi)容設(shè)置在人教版（2011年版）七年級(jí)上冊(cè)“幾何圖形初步”這個(gè)章節(jié)，不僅是學(xué)生在初中階段第一次正式接觸幾何學(xué)習(xí)，也是圖形性質(zhì)教學(xué)的開端. 如果教師能夠站位一般觀念，引導(dǎo)學(xué)生從“構(gòu)成元素”的角度思考和理解“線段”的不同學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，就把握住了一個(gè)很好的契機(jī)，能幫助學(xué)生構(gòu)建對(duì)后續(xù)幾何學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化研究框架.

一般觀念引領(lǐng)下，“線段”教學(xué)

的實(shí)施建議

（一）立足一般觀念，提煉圖形性質(zhì)教學(xué)的一般框架

圖形性質(zhì)學(xué)習(xí)的一般框架可以從研究?jī)?nèi)容、研究思路和研究方法三個(gè)角度進(jìn)行梳理，如圖1所示.

（二）“線段”主要環(huán)節(jié)的教學(xué)建議

1. 線段的定義及表示法

問題1 線段的定義：直線上兩點(diǎn)及兩點(diǎn)間的部分.

追問：如果從“構(gòu)成元素”的角度分析，線段定義可以提煉出幾個(gè)元素？

問題2 線段的表示方法：用一個(gè)小寫字母或者兩個(gè)大寫字母表示，如圖2所示.

追問1：結(jié)合定義中提煉的“元素”，嘗試說明線段命名的依據(jù).

追問2：你能仿照線段的命名方式，從“構(gòu)成元素”的角度給射線命名嗎？

設(shè)計(jì)意圖 圖形性質(zhì)本質(zhì)上是在研究構(gòu)成圖形的基本元素或者相關(guān)元素之間的位置關(guān)系與大小數(shù)量關(guān)系. 教師應(yīng)該借著“定義”，跟學(xué)生明確線段的兩個(gè)構(gòu)成要素：直線和點(diǎn)，再通過“用兩個(gè)大寫字母表示線段”來強(qiáng)化基本要素的重要性. 因?yàn)橛脙蓚€(gè)大寫字母表示線段就是回歸到了“點(diǎn)”這個(gè)要素上. 這樣的解讀方式能夠在學(xué)生心中埋下一顆名為“基本元素”的種子，為后續(xù)的教學(xué)做好鋪墊.

2. 尺規(guī)作圖

問題 如何借助沒有刻度的直尺和圓規(guī)構(gòu)造一條線段等于已知線段？

作圖步驟：

（1）畫一條射線；

（2）在射線上截取一條線段等于已知線段.

追問：在定義學(xué)習(xí)中，我們強(qiáng)調(diào)了構(gòu)成元素的重要性，你能嘗試從這個(gè)角度分析作圖步驟與構(gòu)成元素的關(guān)聯(lián)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 在尺規(guī)作圖教學(xué)中，作圖技能的訓(xùn)練往往是教師關(guān)注的重點(diǎn). 但是站位一般觀念，簡(jiǎn)單的技能固化并不能體現(xiàn)學(xué)習(xí)本質(zhì)，教師應(yīng)該從構(gòu)成要素的角度來解讀作圖步驟：線段指的是直線上兩點(diǎn)及兩點(diǎn)間的部分，那么先畫一條射線相當(dāng)于構(gòu)造了一個(gè)點(diǎn)和一條線，再用圓規(guī)截取則能定位出另外一個(gè)點(diǎn). 這樣的剖析過程能夠幫助學(xué)生從構(gòu)成元素的角度領(lǐng)悟“為何這樣的操作就能構(gòu)造出一條線段等于已知線段”.

3. 線段的大小比較

問題 你能用哪幾種方法比較線段a，b，c的長(zhǎng)短？如圖3所示.

歸納：如表1.

追問：仔細(xì)觀察“圖形語言”，有了前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你能找到線段構(gòu)成元素與大小比較的關(guān)聯(lián)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 在進(jìn)行這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地思考這樣一個(gè)關(guān)聯(lián)：“點(diǎn)的位置關(guān)系”反映了“線段間的數(shù)量關(guān)系”. 最后的追問不僅再次回歸到了線段的構(gòu)成要素——“點(diǎn)”，還幫助學(xué)生將“線段大小比較”這個(gè)問題，從直觀的圖形感受上升到理性的邏輯結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了他們的推理能力和抽象能力.

4. 線段和差

問題1 如圖4所示，已知線段a，b，求作一條線段，使它等于a +b.

作圖步驟：

（1）畫一條射線；

（2）在射線上依次截取AB=a，BC=b，則有AC=a +b，如圖5所示.

追問1：若a=1，b=2，馬上可以得到a +b=3，為什么在尺規(guī)作圖的過程中卻要“先畫一條射線”？

追問2：能不能先畫一條線段AB等于a，再拼一條線段BC等于b，用拼接的方式（點(diǎn)B重合）得到AC呢？

設(shè)計(jì)意圖 解決上述兩個(gè)追問的關(guān)鍵就在題目的要求“求作一條線段”. “為什么要先畫一條射線”這個(gè)問題是本環(huán)節(jié)的重難點(diǎn). 倘若只從數(shù)量的角度考慮，線段的長(zhǎng)度是可以直接相加減的，學(xué)生在三角形周長(zhǎng)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn). 但是如果要用一條新的線段來表示兩條線段的和（差），簡(jiǎn)單的拼接并不能達(dá)成這個(gè)目的.

從形的角度來看，線段是直線上兩點(diǎn)及兩點(diǎn)間的部分，用拼接的方式?jīng)]辦法保證兩條線段共線，可見線段和（差）的作圖必須有一個(gè)前提，那就是A，B，C三點(diǎn)共線. 所以“先畫一條射線”能夠保證構(gòu)成元素中的“線”，“依次截取”才能得到另一個(gè)元素“點(diǎn)”. 可見，用一般觀念來指導(dǎo)教學(xué)，不僅可以有效突破教學(xué)的重難點(diǎn)，還能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)本質(zhì)的理解.

問題2 如圖6所示，線段AB可以表示成哪兩條線段的差？

追問：AB=AC-BC和AB=AD-BD這兩種表示方法分別抓取的是哪幾個(gè)點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖 這個(gè)追問有一個(gè)非常重要的引導(dǎo)價(jià)值：在復(fù)雜圖形中，我們需要關(guān)注什么？學(xué)生通過思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，無論是哪一種方案，最后抓取的點(diǎn)只有3個(gè)，進(jìn)而提煉出線段和差的基本圖形，如圖7所示. 借助這個(gè)問題的思考，依托構(gòu)成圖形的基本元素提煉基本圖形結(jié)構(gòu)，不僅能夠讓學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)起到策略性的指導(dǎo)作用，還能再次強(qiáng)化圖形性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容，發(fā)展學(xué)生的一般觀念.

5. 線段等分點(diǎn)

問題1 如圖8所示，如果讓圖7中的點(diǎn)C動(dòng)起來，有沒有哪個(gè)點(diǎn)C的位置值得你特別關(guān)注？為什么？

線段中點(diǎn)：若點(diǎn)C把線段AB分成相等的兩條線段AC和CB，點(diǎn)C叫線段AB的中點(diǎn)，如圖9所示.

設(shè)計(jì)意圖 線段等分點(diǎn)的教學(xué)承載著幾何學(xué)習(xí)中濃墨重彩的一筆——點(diǎn)的位置的特殊化能夠帶來圖形的特殊化. 這個(gè)現(xiàn)象如果從一般觀念的角度來看，就很好理解. “點(diǎn)”作為構(gòu)成圖形的基本要素，它的位置一旦特殊，勢(shì)必會(huì)帶來圖形的特殊化. 因此，在教學(xué)中教師要讓學(xué)生充分體驗(yàn)點(diǎn)C的位置變化過程，讓學(xué)生直觀感悟線段等分點(diǎn)的特殊，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

問題2 判斷“若線段AB=BC，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)”這句話是否正確，并說明理由.

設(shè)計(jì)意圖 線段的構(gòu)成基本要素是“點(diǎn)”和“線”. 除了強(qiáng)調(diào)“點(diǎn)”，怎么體現(xiàn)“線”的重要性呢？設(shè)置一個(gè)數(shù)學(xué)情境讓學(xué)生去辨析，是非常有效的手段. 學(xué)生在構(gòu)圖的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，要讓點(diǎn)B成為AC的中點(diǎn)，必須滿足線段AB和BC共線，進(jìn)而意識(shí)到“線”的重要性. “共線”更是后續(xù)輔助線添加的重要因素.

思考與啟示

數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展有其內(nèi)在邏輯基礎(chǔ)，不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容有很多共性的部分. 對(duì)幾何圖形而言，我們主要研究的是圖形構(gòu)成要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系（位置關(guān)系、大小關(guān)系等）. 倘若我們能站位一般觀念，積極地去思考如何在不同幾何內(nèi)容的教學(xué)中滲透和提煉共性的研究路徑，教會(huì)學(xué)生研究幾何圖形的一般思路和基本方法，學(xué)生就能逐漸意識(shí)到：不同的幾何圖形只是載體，它們的研究?jī)?nèi)容、思路和方法都有共通之處. 這樣不僅能幫助學(xué)生整體把握知識(shí)，更能有效地完成知識(shí)遷移，還能培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識(shí)，落實(shí)核心素養(yǎng)，達(dá)成深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］章建躍. 學(xué)會(huì)提問（之五）［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2022（3）：64+66.