核心素養背景下問題引領數學教學的研究

［摘 要］ 問題作為數學的心臟，在課堂中具有舉足輕重的作用. 核心素養背景下的復習教學，該如何應用問題啟發學生的思維，發展學生的數學能力呢？研究者以“全等三角形”的復習教學為例，分別從“并列式問題回顧舊知，引出新知”“遞進式問題梳理方法，拓展策略”“探索式問題提升能力，激活思維”三方面展開教學與分析，并談幾點思考.

［關鍵詞］ 問題；全等三角形；復習

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對義務教育階段學生需要掌握的核心素養做了新的闡釋. 問題作為數學的心臟，對教學具有導向作用. 如何以問題為基礎，通過不同形式問題的設置啟發學生的數學思維，發展學生的核心素養呢？這是筆者近年來一直在探索的話題，在此以“全等三角形”的復習教學為例，具體談談問題導學提升復習成效的主要措施.

教學簡錄

1. 并列式問題回顧舊知，引出新知

如圖1，已知△ABC與△FDE全等.

問題1 觀察圖1，可初步獲得哪些結論？

生1：結合題設條件可知AB=FD，BC=DE，AC=FE.

師：很好！根據題設條件與圖示除了知道幾組相等的線段之外，還可獲得什么結論？

生2：還可以從角去分析，如∠ACB=∠FED等.

生3：還可以從平行的角度發現AC∥FE.

生4：我還發現AF=BD.

師：非常好！你們是以什么為依據分別獲得以上結論的？

生4：從全等三角形相對應的邊、角均相等的定理而得.

（板書：全等三角形的性質）

設計意圖 此問意在引發學生對舊知（全等三角形的性質）的回顧，學生通過對問題1的分析，從已有的認知體系中提取了全等三角形的性質，為接下來進一步深入復習奠定基礎. 同時，低起點的問題有效激活了學生的思維，讓全體學生都積極地參與到課堂中來，使得每個認知水平層次的學生都從簡單問題中獲取了學習信心，為整個復習奠定了良好的基礎.

問題2 我們該如何發現全等三角形對應的邊與角呢？

生5：從題設條件△ABC≌△FDE可以發現兩個全等三角形所對應的邊和角，如AC邊與FE邊相對應.

師：不錯，從數學符號語言出發可以探尋到全等三角形所對應的邊，還有其他不同的探尋方法嗎？

生6：也可以通過對三角形的平移，獲得相應的邊、角相等.

師：以上兩種方法均能發現全等三角形相對應的邊和角，我們在解決實際問題時，可結合題設條件靈活變通，從便捷的角度發現邊、角對應相等的條件或結論.

（板書：找對應——方法點）

問題3 關于AF=BD，AC∥FE的結論，是否也能應用以上兩種方法直接獲得？

生7：不行，這兩個結論需要經過轉化才能獲得，如AF=BD需結合全等三角形的性質，先獲得AB=FD將這兩條線段分別減掉公共線段BF，可得AF=BD.

師：不錯，這位同學將直接的量，即相等的邊AB=FD轉化成間接的量線段AF=BD，充分體現了數學學科中轉化思想的靈活性.

設計意圖 此問意在幫助學生提煉常見的數學思想——轉化思想，為后續解題奠定基礎. 當然，這也是發展數學核心素養的體現.

效能分析 復習需遵循由淺入深的過程，學生在之前對全等三角形的性質已經有所了解，但由于間隔了一段時間有所遺忘. 教師借助一組并列式的問題引導學生重構知識，讓學生在自然的狀態下勾起對舊知的回顧，而后通過直接量與間接量的轉化，有效提煉了轉化思想與技能. 整體來說，這種并列式的問題從對知識與技能的梳理、整合與重組方面啟發了學生的思維，激活了學生的認知，為幫助學生構建完整的知識網絡奠定了基礎.

2. 遞進式問題梳理方法，拓展策略

問題4 如圖1，已知△ABC與△FDE，若想確定這兩個三角形為全等的關系，需添加幾個條件？依據是什么？

生8：需添加三個條件，依據為SAS，ASA，SSS，AAS.

師：所添加的條件中，有一組什么條件是必備的？

生9：“一組對應邊相等”的條件必不可少.

設計意圖 此為判定三角形全等條件的梳理過程，引發學生對全等三角形的判定定理（SAS，ASA，SSS，AAS）產生回顧，尤其關注到不論用哪種方法判定兩個三角形全等，少不了一組對應邊相等的支持.

問題5 如圖1，若想判定Rt△ABC與Rt△FDE為全等的關系，需添加幾個條件？為什么？

生10：僅需添加兩個條件，雖然圖形沒有發生改變，但題設條件中出現了“直角三角形”的條件，可知這兩個三角形中，有一對對應的角相等.

師：很好！雖然還是同一幅圖，但題設條件發生了改變，那么對問題的分析同樣要從新的角度去思考，如此來看，題設條件信息對結論具有決定性作用. 在已有條件的基礎上，給題目添加了BC=DE這個條件，想要確定△ABC≌△FDE，還需增加什么條件？

生11：可增加AB=FD.

師：說說為什么增加了AB=FD這個條件后就能確定△ABC≌△FDE？

生11：通過題設條件來分析，已知“BC=DE”“∠ABC=∠FDE=90°”，即存在一組對應邊與對應角相等，結合三角形全等“SAS”的判定法，添加AB=FD即可.

師：本題除了添加這個條件之外，還存在其他方法嗎？

生12：還可以從“ASA”的角度出發，添加∠C=∠E；從“AAS”的角度出發，添加條件∠A=∠EFD；從“HL”的角度出發，添加條件AC=FE.

生13：還可以添加AC∥FE或AF=BD.

師：很好！誰來說說AC∥FE或AF=BD的理由.

生14：根據AB=FD，可知添加AF=BD亦可；根據∠A=∠EFD，可知添加AC∥FE亦可.

設計意圖 將AF=BD轉為AB=FD，可得△ABC≌△FDE；根據AC∥FE，可得∠A=∠EFD，可確定△ABC≌△FDE. 這兩種情況都體現了數學轉化思想的應用，即將間接的量轉化成直接的量.

問題6 如圖2，已知Rt△ABC與Rt△FDC中的BC=DC，若想確定△ABC≌△FDC，需添加幾個條件？

生15：僅需添加一個條件即可.

生16：我認為不需要添加任何條件，結合“ASA”判定法，根據∠CDF=∠CBA（直角），∠C=∠C，BC=DC，就能獲得△ABC≌△FDC.

師：很好！顯然∠C為題中的隱含條件，除此之外，圖形中常見的隱含條件還有哪些？

生17：如公共角、公共邊、對頂角等，都可作為隱含條件使用.

效能分析 全等三角形的新知授課時，不少學生就存在一些易錯點. 此環節，教師將三角形的條件進行了微調，即以直角三角形作為條件呈現，意在引發學生關注文本中的隱含信息，而后添加條件BC=DC，將認知性問題逐漸推向方法性問題，學生結合條件自主確定全等三角形的判定方法，進一步強化了轉化思想的應用. 隨著圖形的變化，又將問題轉化成策略性問題，引發學生關注隱含信息而提升解題策略. 這一系列遞進式問題的引導，將知識、方法與策略有機地融合在一起，讓學生自主發現自身的不足，有效完善了學生的思維，提升了解題能力.

3. 探索式問題提升能力，激活思維

如圖3，在△CBE和△ACF中，∠CEB=∠AFC=90°，∠BCA=90°，AC=BC.

問題7 分析線段AF，BE，EF之間存在什么數量關系？理由是什么？

生18：EF+AF=BE，我用尺子分別測量了這三條線段的長度，發現AF=1.4 cm，BE=2 cm，EF=0.6 cm.

師：這不乏為一種好的方法，該結論是否正確呢？請大家求證.

生19：想要求證該結論，只要證明△BCE≌△CAF即可.

師：本題已有的條件為AC=BC以及∠CEB=∠AFC，如何確定這兩個三角形是全等的呢？

生20：根據∠BCA=90°，可知∠BCF+∠FCA=90°. 因為∠BEC=90°，所以∠BCF+∠EBC=90°. 所以∠FCA=∠EBC. 根據“AAS”，可得△BCE≌△CAF. 從而得到EF+AF=BE.

問題8 如圖4，△ACF與△CBE中有CA=CB，∠BEC=∠CFA=∠α，請添加一個與∠α，∠BCA相關的條件，讓AF+EF=BE成立.

生21：初步猜想∠BCA+∠α=180°，理由是我用量角器分別測得∠BCA與∠α的度數，發現這兩個角相加的值為180°.

師：不錯，還有其他方法嗎？

生22：根據圖3中∠ACB=90°與∠BEC=∠AFC=90°的條件，猜想∠BCA和∠α之間存在兩種關系，即兩個角相等或相加的值為180°. 本題顯然∠BCA與∠α并不相等，那我猜想∠α+∠BCA=180°.

師：很好，應用數形結合思想進行猜想，這是一種常見的猜想方法. 關于這個猜想如何證明呢？

生22：僅需證得△BCE≌△CAF即可.

問題9 如圖5所示，在△ACF和△CBE中，已知AC=BC，∠CEB=∠AFC=∠α，∠α=∠BCA，猜想線段AF，BE，EF之間存在什么樣的數量關系.

生23：EF=AF+BE.

師：縱觀圖3、圖4、圖5，我們發現圖形在不斷地發生改變，其中什么一直沒有變化？

生24：每一幅圖中都存在兩個三角形全等.

師：很好！我們在解決實際問題時，就要學會從問題中發現其本質，像這一類題目就需要從全等三角形的角度去分析與思考.

效能分析 學生的思維能力與探索能力隨著問題的深入而提升. 此環節，第一個問題的設計，意在引發學生梳理全等三角形定理應用的基本流程，鼓勵學生要勇于猜想；在此基礎上，通過對圖形的變化引出圖4，讓學生學會結合條件實施猜想與驗證；隨著圖5的展現，學生的思維也從探索層面逐漸上升到了思維層面. 問題前后類比有效提升了學生的問題意識與解題能力，學生在探索中不僅學會了從不同角度與層次分析、解決問題，還進一步完善了思維品質，為發展數學核心素養加大了籌碼.

幾點思考

1. 以問完成學與構

問題是引領復習教學的基礎，也是學生在課堂中思考的方向. 本節課從全等三角形的定義、性質、判定等知識出發，借助問題建立知識結構、技能方法與數學思想等. 如第一個教學環節，學生就在問題的引領下通過對舊知的回顧，初步建構了全等三角形的知識結構網絡，而后隨著問題的啟發，學生不僅探尋出證明全等三角形性質的基本方法，還構建了發現全等三角形性質的基本技能.

教學的第二個環節，隨著問題的解決，學生自主建構了一幅判定兩個三角形為全等關系的方法結構；第三個教學環節，隨著圖形的變化，促使學生進一步提煉數學思想，為后續解決更復雜的綜合性問題奠定基礎. 問題是促使學生自主建構，形成良好知識技能與方法的紐帶，是促使學生積極思維的基礎，對培養學力、提升學生的思考能力，順利達成學與構的目標并進一步挖掘潛能具有重要意義.

2. 以問體現明暗線

明、暗兩條線往往是構成復習課的基礎. 本節課，明線是附著于問題之上的知識與技能；暗線為貫穿于問題中的思想方法. 由全等三角形的“性質—判定—應用”，逐層深入、絲絲入扣，明暗線始終貫穿問題，暗線依附于明線，而明線又服務于暗線，兩條線互相纏繞、相得益彰.

本節課的兩條線均以學生的實際認知水平為出發點，通過問題串聯，具有一定的探究性. 教師將學習的主動權交給學生，促使學生在個體獨立思考與合作交流中不斷提升思維，提煉思想方法，發展核心素養.

3. 以問展示引和評

新課標強調數學課堂離不開教師適時的引導與即時的評價. 捕捉學生在解題過程中釋放出來的信息，可給予學生合理的評價與引導，這是對學生思維的肯定，又是提升學生思維能力的基礎. 課堂中，教師對學生的回答不斷以“很好”“不錯”等詞語進行肯定，有效激發了學生的學習信心. 學生在充滿人文關懷的課堂中，不斷提升自己的問題意識與思維能力.

總之，在以問題為導向的課堂中，處處彰顯了“以生為本”的理念. 然而，本節課還存在一些不足之處，如課堂涉及的知識僅限于全等三角形，其實復習教學應該將學生已經學過的知識綜合在一起，更能提升學生的思維能力. 比如勾股定理則可有機地融入本節課的問題中，以促使學生進一步構建完整的知識結構，提升解決綜合性問題的能力.