APOS理論指導下的初中數學概念教學

［摘 要］ 概念教學是數學教學的重中之重，概念教學的質量直接關系著學生數學思維能力的發展和學生學習能力的提升. 研究者以“實數”概念教學為例，將APOS理論與實數概念教學相結合，通過經歷“活動—過程—對象—圖式”四個階段呈現概念的形成、展示與深化過程，在建構與完善概念的過程中提升概念教學品質，發展學生數學思維能力.

［關鍵詞］ 數學概念教學；教學品質；思維能力

在傳統數學概念教學中，教師容易忽視概念的形成和發展過程，使得學生對概念的本質把握不清，影響學生數學應用能力的提升和數學思維能力的發展. 為了打破這一局面，基于APOS理論的概念教學應運而生. 基于APOS理論的概念教學倡導自主探究學習，以期通過自主探究喚醒已有知識和新知聯系，逐步完善學生知識結構，提升學生分析和解決問題的能力.

APOS理論概述

APOS理論將數學概念教學分為四個階段，分別為：活動、過程、對象、圖式. 所謂“活動”，指的是借助教學情境直觀感知概念的過程；所謂“過程”，指的是通過自主探究，提煉概念共同特征的過程；所謂“對象”，即抽象概念本質屬性，形成概念的過程；所謂“圖式”，指的是溝通新知與舊知的聯系，建構數學知識體系的過程. 這樣通過經歷以上四個階段的建構，可以讓學生對概念形成更深刻、更系統的理解，促進學生思維能力的發展與提升.

教學案例

在“實數”概念教學中，教師結合APOS理論四個階段的特征，引導學生經歷概念抽象的全過程，實現APOS理論與實數教學的有效融合，培養學生勤于思考、樂于探究的學習品質，提升概念教學質量.

1. 活動階段

該階段教師結合教學實際創設有效的教學情境，以此化抽象為直觀，讓學生更好地走近新知，提升學生參與課堂的積極性. 在本課教學中，教師結合教學內容引導學生“動手做”，讓學生在做的過程中感受新知.

課前準備：兩張面積為1的正方形卡紙（要求：兩張卡紙顏色不同）；剪刀.

問題1 將兩張卡紙拼在一起，可以拼成什么圖形，圖形的面積是多少？請寫出關于面積的等式.

學生回答：可以拼成一個長方形，其面積為2，令兩張卡紙的面積分別為S，S，則長方形的面積為S+S=2.

追問1：若將兩個正方形拼成一個大的正方形，可以怎么拼（可以裁剪）.

師生活動：在教師的啟發和指導下，學生沿正方形的對角線將正方形卡紙平均分成兩份，得到四個面積相等的等腰三角形，從而拼出如圖1所示的正方形.

追問2：如圖1所示的正方形面積是多少？邊長是多少？

學生回答：正方形面積是2；邊長是.

追問3：到底有多大呢？

師生活動：教師引導學生利用計算器計算.

追問4：根據計算結果，你認為是一個怎樣的數呢？

學生回答：它是一個無限不循環的小數.

問題2 請利用計算器將如下各數轉化為小數：，-，，.

追問5：這些數是什么數？轉化為小數后呢？

學生回答：以上各數都是有理數，轉化后有的是有限小數，有的是無限循環小數.

教學說明：從學生已有的學習經驗出發，引導學生通過動手操作獲得無理數的直觀感. 教學中教師沒有直接給出無理數的概念，而是引導學生借助計算器計算的大小，發現它是一個無限不循環小數，在此基礎上，教師引導學生與有理數相類比，發現無理數均可以轉化為有限小數和無限循環小數，由此引發認知沖突，學生自然會形成這樣的困惑“到底是一個怎樣的數？”這樣通過經歷如上探究活動，使學生的情感態度發現轉變，即由“要我學”向“我要學”轉變.

問題3 我們把，等這樣無限不循環小數稱之為無理數. 說說無理數有何特征？

學生回答：無限不循環小數.

問題4 無理數與有理數有何區別與聯系？

師生活動：教師引導學生從性質、結構、范圍等方面進行比較，進一步理解無理數.

教學說明：通過問題1和問題2的探究，學生對無理數已經建立了初步感知，而借助問題3和問題4的探究可以進一步加強學生對無理數概念的理解. 另外，在此過程中引導學生與有理數概念相類比，通過區別進一步加深對無理數概念的理解，通過聯系自然引出實數的概念.

2. 過程階段

該階段是學生對活動階段的深度思考過程，通過對現有問題的反復思考與實踐探究，提煉概念的共同特征. 該階段教師不妨以學生的已有認知為出發點，設計由淺入深，環環相扣的問題，引導學生通過問題的解決知曉實數概念的特征，提高學生數學概括能力.

問題5 你是否能夠在數軸上表示無理數呢？

結合已有的有理數學習經驗，學生認為無理數也能在數軸上表示出來，不過該如何表示，學生感覺一片茫然. 為了解決這一問題，教師設計了這樣一個實驗活動，首先畫一個數軸，在數軸上找到“2”，記為點A，過點A作數軸的垂線，并在垂線上截取AB=1，連接OB，以點O為圓心，OB長為半徑作圓，圓O與數軸的正、負半軸分別交于點C和點D，問點C和點D表示的數是什么？

學生根據以上過程分別得到點C和點D，并根據勾股定理知曉點C表示的數為，點D表示的數為 -.

追問1：點C到原點和點D到原點的距離分別是多少？

學生回答：.

問題6 根據以上結果，你有什么發現？

師生活動：教師預留時間讓學生回顧問題5的探究過程，并對探究結果進行總結歸納，形成結論：無理數也能在數軸上表示，無理數有絕對值和相反數.

教學說明：該環節教師引導學生與有理數相類比，通過由表及里，由淺入深的逐層探究引導學生參與概念的生成過程，提煉概念的共同特征，發展學生數學抽象素養. 該環節教師充分利用學生的茫然與困惑，通過動手操作幫助學生將新知與舊知搭建互通的橋梁，引導學生通過實際操作知曉無理數也可以在數軸上表示，在此基礎上進一步推廣，得出結論：數學上的點與實數是一一對應的.

3. 對象階段

該環節教師要預留足夠的時間讓學生進行反思、交流，明晰概念的本質屬性和非本質屬性，發展學生數學抽象能力及思辨能力. 在具體設計中，教師可以結合教學實際設計多樣化的操作活動，引導學生進行思考辨析，以此讓學生深刻地理解知識，促進知識的內化.

問題7 請按照要求將表1的內容補充完整. （教師PPT出示表1）

師生活動：教師讓學生獨立完成表格的填寫，然后展示學生的結果.

問題8 結合表1所填內容，你有何發現？

師生活動：教師讓學生以小組為單位展開討論. 該問題為開放性問題，其答案并不唯一，有的學生提出無理數和有理數的相反數是一樣的，若無理數為正數，那么它的相反數就是負數，反之依然成立；有的學生提出無理數和有理數的絕對值也是一樣的.

教學說明：數學概念的形成是一個過程，而學生對概念的理解同樣需要一個過程. 在實際教學中，學生雖然已經經歷了實數概念的形成過程，但是若想讓學生理解和掌握概念依然需要一個過程，因此教師有必要創造機會讓學生進行深入的探究，以此進一步加強對概念的理解. 該環節，教師充分借助表格直觀的優勢，引導學生在類比歸納中逐步掌握實數的本質特征，從而讓學生真正理解和掌握概念，為概念的靈活運用打下堅實的基礎.

4. 圖式階段

周知，概念具有高度的抽象性和概括性，學生在圖式階段很難做到一步到位，因此圖式階段可以理解為一個不斷完善、不斷發展的過程. 如在本課教學中，在活動階段，學生頭腦里儲存的是實數可以分為有理數和無理數；在過程階段和對象階段，通過對第一階段的發展，學生知曉無理數是一個無限不循環小數，其與有理數相同，有正負之分，也有絕對值. 這樣通過一步步探索，一步步細化，使學生對實數概念的理解更加詳盡，逐步形成更復雜、完整的圖式.

問題9 你能用圖形來表達本課所學內容嗎？

師生活動：教師提供時間讓學生對以上階段的探究結果進行歸納總結，形成個體完善的認知.

追問1：請將圖2和圖3的內容補充完整，并簡述一下自己的理解與發現.

問題10 求實數a的絕對值.

a=a（a>0），

0（a=0），

___（a<0）.

教學說明：通過生生和師生互動交流的方式構建和完善知識網絡圖，體會各部分知識之間的區別與聯系，幫助學生形成清晰的知識脈絡圖. 在此過程中，教師要扮演好課堂組織者和指導者的角色，在學生遇到障礙或出現遺漏時進行及時的指導和補充，以此幫助學生形成完整的圖式.

5. 鞏固練習

通過前面四個階段的學習，學生對本課內容已經形成了清晰的知識脈絡，接下來教師有必要通過練習幫助學生進一步鞏固知識，以此增強學生解題信心.

練習1：請按照要求將下列各數填寫到括號內.

，3.1415926，，-8，，，

無理數（ ）；

有理數（ ）.

練習2：求下列各式中的x值.

（1）x=；（2）x=；（3）x=0；（4）x=；（5）x-3=1.

該階段教師以生為主，讓學生獨立完成求解，以此讓教師更好地了解學生、了解教學，以便教師結合學生的實際反饋調整教學預案，優化教學策略，提高教學水平和教學質量.

教學說明：針對本課學習內容，教師設計針對性練習，這樣一方面可以檢測本課教學效果，另一方面可以借助練習幫助學生鞏固知識，提高學生應用知識解決問題的能力.

6. 課堂小結

該環節教師預留時間讓學生對所學內容進行歸納總結，并提供機會讓學生提出自己的所想、所惑，以此進一步優化學生的認知結構，逐步將知識內化為能力.

教學說明：個體差異是客觀存在的，不同的認知水平對新知的理解程度也會有所不同，因此在課堂小結環節，教師既要提供時間讓學生獨立歸納反思，又要創造空間讓學生互動交流，以此讓不同思維碰撞出火花，拓寬學生的視野，升華學生的認知.

教學思考

1. 循序漸進，逐步建構

數學概念教學關注概念形成、發展及應用的全過程，其為概念教學提供了新方向. 在四個階段的教學中，教師分別從學生最近發展區出發，創設符合學生認知規律的問題情境，讓學生在問題的解決中逐漸認識、理解、掌握和應用概念，逐步提高學生的認知水平和思維能力. 例如，在本課教學中，在活動階段，教學結合學生的認知特征與概念內容特征創設情境，讓學生通過動手做獲得對無理數的直觀感知，從而建立對實數的初步認識；在活動階段和對象階段，教師結合教學內容精心創設問題鏈，讓學生在問題的引領下體會有理數與無理數之間的區別與聯系，進而通過遷移讓學生明白無理數和有理數一樣，也有相反數和絕對值；在圖式階段，教師啟發學生進行新舊對比，逐步將新知識納入原有認知體系中，自然完成對本課所學知識的整體建構. 在整個概念教學中，沒有機械的灌輸，也沒有生拉硬拽，而是通過創設符合學生認知規律的探究活動引導學生進行實數概念的自主建構，有效溝通新舊知識的聯系，抽象概念的本質屬性，以此讓學生掌握研究概念的方法，提升學生數學素養.

2. 自主探究，逐步完善

課堂教學的主體是學生，只有學生參與的課堂才是有價值的、有意義的，因此在課堂教學中，教師應適當地學會放手，讓學生體會數學發現的樂趣，感悟數學魅力，樹立正確的情感態度和價值觀. 教師作為課堂教學的主導者，應結合教學內容創設符合學生認知發展規律的探究活動，讓學生在探究中逐漸理解概念，逐步完善個體認知體系. 例如，在實數概念教學中，教師沒有直接將概念拋給學生，而是借助有效的問題串引導學生經歷概念形成過程，讓學生理解引入新數的重要性和必要性，讓學生學會用發展的眼光看待數學學習. 相信經歷以上探究過程后，學生勢必還會有這樣的疑惑，是否存在實數以外的數呢？這樣不僅為后面虛數的學習埋下伏筆，而且可以讓學生體會知識的建構是一個逐步完善的過程，以此幫助學生樹立正確的學習觀，提升學習品質.

總之，在數學概念教學中，教師應以發展學生為目標，倡導獨立思考與合作探究，讓學生在探究中理解概念本質并建構概念知識體系，落實數學核心素養.