基于單元整體教學 促成學生深度學習

［摘 要］ 數學知識是一個充滿聯系的有機整體，教學中要重視引導學生從整體視角思考和解決問題，以此肅清知識的來龍去脈，建構完善的知識體系. 在實際教學中，教師切勿將知識割裂開來進行教授，應從整體視角出發，有意識地進行教材重構，以此凸顯知識間的內在聯系，幫助學生有效地構造認知，發展學生數學素養.

［關鍵詞］ 整體視角；教材重構；數學素養

單元整體教學要從整體上考慮教學設計，基于學生認知基礎和學習特點設計合理規劃，凸顯知識之間的關系和結構，優化學生認知結構，提高學生遷移能力和數學素養. 不過，在唯分論的影響下，大多數學生更多地關注解題方法，忽視了知識背后的邏輯關系，使得學習過程中出現了照搬照抄和模仿套用，影響了自身思維能力的發展. 在實際教學中，教師應從整體視角出發，引導學生追溯問題的本源，幫助學生理解知識的來龍去脈，以此培養理性思維，建構數學知識體系，發展綜合學力. 筆者以“借助圖形運動思想添輔助線”一課教學為例，教學中基于單元整體視角設計探究活動，引導學生探尋幾何證明添線方法的本質，有效提高學生分析和解決問題的能力.

教材重構，整體把握單元知識的內涵

教材是數學家精心編寫的，是課堂教學活動的重要依據，其在教學中的重要性是不言而喻的. 不過強調教材的重要性并不意味著教師可以照本宣科，要知道，不同的班級、不同的學生，其認知水平和理解能力都有所不同，若教學中教師只中規中矩、按部就班地進行知識點的傳輸，將不利于學生學習興趣的培養和數學素養的培育. 基于此，教師應認真研究教材，認真研究學生，把握單元知識的內涵，結合教學實際進行教材重構，從而使教學內容和教學活動更適合學生的發展水平，有效推動學生知識網絡的建構，促進深度學習的達成.

經歷過程，提升學生學習品質

及素養

1. 一題多解，發散思維

例1 如圖1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的角平分線，線段AB、AC、BD之間存在怎樣的數量關系？

例1給出后，教師讓學生獨立思考，并鼓勵學生嘗試應用不同的解題思路解決問題. 在互動交流環節，教師巧妙地設計問題，以期借助問題引發思考，促成深度學習.

師：誰來說一說，你是怎么想的？

生1：看到“AD是∠BAC的角平分線”這一條件，我想到了翻折，這樣在AC上截取AE=AB，易證△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，又∠B=2∠C，所以∠C=∠EDC，則DE=CE，又DE=BD，所以AC=AE+EC=AB+BD.

師：非常好，生1從“角平分線”這一關鍵條件出發，通過翻折添加輔助線，并運用轉化思想方法解決了問題. 你能具體說一說，你這樣做的依據嗎？

生1：因為角是軸對稱圖形，而它的對稱軸恰好為角平行線所在的直線，所以我就想到利用軸對稱的性質來構造全等三角形，進而得到了如上證明過程.

師：很好. 你們還有其他解決方案嗎？

生2：看到“∠B=2∠C”，我想到了兩倍角關系，延長AB，在AB延長線上截取BF=BD，所以∠F=∠BDF，易證△ACD≌△AFD，所以AC=AF，同樣可得AC=AB+BD.

師：也是個不錯的思路，從兩倍角這一關鍵條件出發，得到了不同的思路. 在構造倍角關系的過程中，作∠B的平分線不是更直接嗎？

生2：若直接作∠B的平分線，確實可以得到角的倍角關系，但是這樣好像很難與邊建立聯系，難以有效地解決問題.

師：很好，可見在解題時我們要整體把握，結合多個條件綜合考慮，這樣才能成功地找到解題的突破口.

師：你還能找到其他解題思路嗎？

生3：觀察圖1，并結合“大角對大邊”這一性質不難發現，AC>AB，于是得到猜想：AC=AB+BD，然后利用截長補短的方法加以證明.

師：你們認可生3的思路嗎？（學生點頭表示贊成，教師預留時間讓學生利用生3的思路證明）

師：生3從結論入手，通過直觀觀察和邏輯推理得到結論. 從以上過程不難看出，在解決幾何問題時，既可以從條件出發，又可以從結論入手，這樣通過不同角度思考可以得到多種解答過程. 在探究例1時，學生結合角的對稱性想到了翻折，通過添加輔助線構造基本圖形順利地解決了問題. 對于以上過程，你能用精簡的語言進一步加以概括嗎？

教師預留時間讓學生歸納總結，從而得到解決此類問題的一般思路，即：條件/結論—圖形運動—添加輔助線—構造基本圖形.

設計意圖 例1難度不大，題設信息也是學生容易理解的，但是該題內容豐富，具有一定的探究性. 教學中，教師將探究的主動權交給學生，引導學生從不同角度出發，探尋不同的解題過程，讓學生體會解題方法的多樣性. 同時，教師引導學生對解題過程進行歸納總結，從而形成解決此類問題的一般思路.

2. 深入探究，挖掘本質

師：若其他條件不變，將“∠B=2∠C”改為“∠B=∠C”，此時點D在何位置？說說你的理由.

生4：因為“∠B=∠C”，所以△ABC為等腰三角形，又“AD是∠BAC的平分線”，根據等腰三角形“三線合一”定理可以判斷點D為BC邊的中點.

師：很好，現在我們一起來看一下例2，看看解決該題可以從哪幾個角度入手呢？（教師PPT展示例2）

例2 如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且點D恰好為BC邊的中點，問△ABC是什么三角形？

題目給出后，教師并未急于呈現答案，而是預留時間讓學生自主尋找解題的答案. 教師巡視，學生獨立求解. 從學生反饋來看，很多學生通過添加輔助線找到了解題方案.

師：我看很多學生添加了輔助線，誰來說一說你為什么要這樣添加，你添加輔助線的依據是什么？

生5：添加輔助線的目的是構造全等三角形，根據已知“D為BC邊的中點”，則AD是△ABC的中線，看到這一條件我想到了倍長中線，于是延長AD，并在AD延長線上截取DE=AD，然后連接EC，證明△ABD≌△ECD，所以有∠BAD=∠E. 又∠BAD=∠CAD，所以∠E=∠CAD. 所以AC=EC. 又EC=AB，所以AB=AC. 所以△ABC是等腰三角形.

師：很好，從“中點”這一條件出發，想到了倍長中線. 順著生5的思路想一想，實際上圖形是做了什么運動呢？（學生思考片刻）

學生齊聲答：旋轉.

師：這樣借助圖形的旋轉運動，我們構造了等腰三角形這一基本圖形，順利地解決了問題. 那么為什么看到中點會想到旋轉運動呢？（學生不語）

師：回顧例1的解題過程，當時我們看到角平分線想到了角的軸對稱性，于是利用圖形的翻折解決了問題，那么線段具有怎樣的性質呢？

學生竊竊私語，有的學生說是軸對稱，有的學生說是中心對稱.

師：我已經聽到很多學生給出了正確答案，沒錯，這里面所利用的就是中心對稱這一性質來研究的. 那么中點是什么呢？

學生齊聲答：對稱中心.

師：很好，這樣利用線段的中心對稱性來構造△ACE為等腰三角形，實現了問題的轉化，順利地解決了問題. 剛剛我們利用倍長中線構造等腰三角形，將∠BAD進行換位. 你還能用其他方法來構造嗎？

生6：也可以通過作平行線的方式來構造等腰三角形. 過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E.

教師預留時間讓學生按照生6的思路構造，通過證明全等同樣證明了結論.

師：作平行線相當于圖形做什么運動呢？（學生邊操作邊思考）

學生齊聲答：平移.

師：很好，這樣借助圖形平移同樣可以構造基本圖形.

師：回顧以上解題過程，我們分別用哪些圖形運動來構造基本圖形？

生7：翻折、旋轉、平移.

設計意圖 在例1的基礎上將問題進一步推廣，讓學生進一步運用圖形運動思想來構造基本圖形，讓學生領悟添加輔助線方法的本質，幫助學生形成深刻的理解，逐漸建構學生完善的知識機構，從而為知識的靈活應用打下堅實的基礎.

3. 適度練習，拓展提升

例3 如圖3，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，D、E為邊BC上的任意兩點，且∠DAE=45°，求證：線段BD，DE，EC為邊構成的三角形為直角三角形.

解析：本題所考查的是運用圖形旋轉構造基本圖形，運用全等來解決問題. 將△ABD繞點A旋轉，使得AC與AB重合，得到△ACF≌△ABD，連接EF. 根據已有經驗易證∠ECF=90°，△DAE≌△FAE. 在Rt△ECF中，EF 2=CF 2+CE 2，而DE=EF，BD=CF，所以DE 2=CE2+BD2.

例4 如圖4，已知五邊形ABCDE的五條邊相等，且∠ABC=2∠EBD，求證：∠EBD=30°.

解析：該題同樣考查的是通過圖形的旋轉來構造基本圖形，將△ABE以B為旋轉中心，順時針旋轉∠ABC，使得AB與BC重合，得到△BCE′，連接DE′. 通過證明△EBD≌△E′BD，易得△CDE′為正三角形，所以∠DCE′=60°. 又BC=CD=CE′，則∠E′BD=∠DCE′=30°，即∠EBD=30°.

設計意圖 應用是鞏固知識的重要手段，是提升學生學習興趣，培養學生解題技能的重要途徑，其在數學教學中是必不可少的. 在以上環節，教師引導學生借助具體操作體會利用圖形運動添加輔助線的應用價值，培養學生數學應用意識，提高學生解題能力.

拓展延伸，借助單元活動促進深度學習

從以上教學活動可以看出，構造全等三角形是解題的關鍵，為了幫助學生更快地形成解題思路，教師還應以“三角形全等問題”為主題設計有效的教學活動，讓學生通過多角度探究獲得深刻地理解，促成深度學習. 例如，教師結合教學實際設計如下主題活動.

1. 活動目標

（1）通過經歷數學語言的轉譯過程，提高學生數學語言運用能力；

（2）經歷證明全等的過程，提高學生演繹推理能力.

2. 活動步驟

步驟1：全等證明

（1）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD，A′D′分別為BC，B′C′上的中線，且AD=A′D′，問△ABC與△A′B′C′是否全等呢？若全等，請寫出證明過程；若不全等，請說明理由.

（2）在△ABC和△A′B′C′中，若∠B=∠B′，∠C=∠C′，AD，A′D′分別為∠A和∠A′的平分線，問△ABC與△A′B′C′是否全等呢？若全等，請寫出證明過程；若不全等，請說明理由.

（3）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD，A′D′分別為BC，B′C′上的高線，問△ABC與△A′B′C′是否全等呢？若全等，請寫出證明過程；若不全等，請說明理由.

設計說明：該設計具有一定的開放性，更能考查學生的基礎知識掌握情況，有利于培養學生思維的靈活性，發展學生的思辨能力，提高學生的邏輯推理素養.

步驟2：類比創新

與以上題目相類比，你能自己設計一些新題嗎？請寫出題目，并嘗試證明.

該環節教師將探究的主動權交給學生，讓學生對給出三角形中邊、角及特殊線段中三組對應關系進行自由組合，這樣既可以豐富練習內容，提高學生的探究欲，還可以加深對三角形全等問題的理解，從而為合理構造打下堅實的基礎.

教學中，教師要有意識地引導學生將相似或相關內容相類比，這樣可以有效溝通知識間的內在聯系，通過對區別與聯系的深度辨析揭示問題的本質，以此促成深度學習. 另外，通過有效地溝通，可以使零散的、碎片化的知識變得系統化，有利于提高學生知識遷移能力，有利于提高學生的數學應用水平.

結束語

在課堂教學中，教師不要局限于單一知識的講授和單一問題的解決，應從整體視角出發，通過綜合性問題的解決強化知識間的內在聯系，加強單元教學的連貫性. 教學中，教師要打破章節的束縛，有機整合教學內容，將一些相關或相似的內容有效地連接起來，通過對教材的深耕最大限度發揮教材的育人功能，提升教學品質. 例如，以上教學中，通過對教材內容的重組，將圖形運動、三角形全等、幾何證明方法等內容有效地聯系在一起，讓學生學會從整體視角看問題，促進知識的深化和能力的提升.

教師在授課過程中，要以培養學生“學科素養”為方向，根據學生的學習狀態和自身的教學水平合理設計教學活動，引領學生經歷知識形成、發展及應用等全過程，以此促進知識的深化，提高學生數學應用水平. 在以上設計中，教師從學生認知特點和認知水平出發，通過逐層探究讓學生掌握借助圖形運動思想來添加輔助線，體會“構造”在解題中的價值，讓學生學會用整體視角來思考問題，培養思維的靈活性、變通性，讓學生的思維變得有序化.

另外，在課堂教學中，教師要提供時間和機會讓學生去發現、去創造，以此激發學生潛能，促成有深度的學習. 從以上教學環節可以看出，教師沒有直接將答案呈現給學生，而是將解題主動權交給學生，鼓勵學生從不同角度探尋解題方法. 例如，在探索例1、例2的過程中，教師預留充足的時間讓學生思考與交流，鼓勵學生從不同角度分析，引導學生借助翻折、旋轉、平移等圖形運動來添加輔助線，有效地拓寬了學生的視野，促進了學生數學素養的提升.

總之，數學知識是一個整體，教師在設計教學活動時要學會從整體視角出發，以此有效溝通知識間的內在聯系，打破學生思維的局限性，為學生提供更廣闊的探究空間，逐漸完善學生的知識結構，發展學生數學素養.