基本不等式的10種題型解法分析

基本不等式可以作為不等式論的基本定理，它成為 支撐其他許多非常重要結果的基石，同時也是解決許多最值問題的有力工具。近幾年高考題中也經常出現利用基本不等式解題的題目，富有趣味性和挑戰性，為國家選拔人才起了一定的作用。在生活實踐中，為了解決一些最優問題，經常會用到基本不等式，從而簡化程序，達到選擇最佳方案解決問題。下面我們來介紹十種常見的解題方法：

01、直接法

【分析】：設a＞0，bgt;0，則a，b的算術平均數為a＋b2，幾何平均數為ab，基本不等式可敘述為：a＋b2 ab，即兩個正數的算術平均數不小于幾何平均數。

例題1、若a、b都是整數，則 的最小值為。

[解析]原式= ，當且僅當 時，即b=2a時，取“=”

02、配湊法

【分析】：加上一個數或減去一個數使和（積）為定值，然后利用基本不等式求解；

1、通過湊項、拆項、變系數等方式湊成和為定值或積為定值的形式；

2、注意驗證取得的條件。

例2、設0lt;xlt;32，則函數y＝4x（3－2x）的最大值為（ ）

A.94B．4" C.92D．9

[解析] y＝4x（3－2x）＝2·2x·（3－2x）≤2·（2x＋3－2x2）2＝92.

當且僅當2x＝3－2x，即x＝34時取等號，∴當x＝34時，ymax＝92.

03、乘“1”法

【分析】：乘“1”法是指湊出1，利用乘“1”后值不變的性質，通過變形后達到運用不等式的條件，即積為定值。

主要解決形如“x+y=t，求 得最值”問題，先將 轉化為 ，再利用基本不等式求最值。

例3、已知agt;0，bgt;0，且a＋b＝2，則2a＋12b的最小值是（ ）

A．1" B．2" C.94D.92

[解析]： 因為agt;0，bgt;0，且a＋b＝2，所以a＋b2＝1，

所以2a＋12b＝12（a＋b）（2a＋12b）＝12（2ba＋a2b＋52）

≥12×（2＋52）＝94，當且僅當a＝43，b＝23時，等號成立．

04、其他代換

【分析】：通過“1”的代換，把求解的目標化為可以利用基本不等式來求最值的式子，達到解題目的。

例4、已知實數xgt;0，ygt;0，且滿足x+y=1，則" "的最小值為

[解析]： = =2+ ≥2+2 =2+2 ，當且僅當 時，即x= y=2- 時，取“=”

05、同除法

【分析】：兩邊同除以一個式子，再利用乘“1”法通過變形后達到運用基本不等式來解題。

例5、已知agt;0，bgt;0，且a＋2b＝3ab，則ab的最小值

[解析]：左右兩邊同除以ab，得

所以

當且僅當 ， 即 時，取“=”

06、和積互消

【分析】：和利用一次基本不等式，從而出現平方，再利用一元二次不等式達到解題目的。

例6：已知x、y都是正數，且滿足x+2y+xy=30，則xy的最大值為

[解析]：因為 ，所以 ，

令 則

即 ，因為tgt;0，所以 所以

當xy=18時，又x=2y，所以x=6，y=3

因此當x=6，y=3時，xy取最大值18.

07、構造分母

【分析】：根據所求式子的結構特點，利用待定系數法把已知用所求式子的分母表示，在進行字母代換來簡化，再利用基本不等式解題。

例7、已知正實數x、y滿足4x+3y=4，則 的最小值為

[解析]：由4x+3y=4得2（2x+1）+（3y+2）=8

令a=2x+1，b=3y+2，可得2a+b=8

原式

=

當且僅當 時，取“=”

08、分離分子型

【分析】：根據分子及分母的特點，對分子進行變形，從而出現積為定值，最后利用基本不等式解題。

例8、若4xgt;ygt;0，則 的最小值為

[解析]：原式

當且僅當3y=4x時取“=”

09、消元法

【分析】：當所求最值的代數式中的變量計較多事，通常利用已知條件消除部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”，再利用基本不等式解題。

例9、若正數x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最

小值是____________．

[解析]： 因為正數x，y滿足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1－x26x.由xgt;0，ygt;0，即xgt;0，1－x26xgt;0，解得0lt;xlt;1.所以x＋2y＝x＋1－x23x＝2x3＋13x≥22x3·13x＝223，當且僅當2x3＝13x，即x＝22，y＝212時取等號．故x＋2y的最小值為223.

10、同乘方程型

【分析】：根據已知條件兩邊同乘以所求的式子，轉化為一元二次不等式求解。

例10、已知為xy正數，且 ，則 的最大值為

[解析]： ，同乘 得：

所以

又

上式可化為

解得