做好初高中銜接 邁好高中數學第一步

摘要：學生在高中和初中階段思維能力和綜合運算的素質有明顯的差別，高中教材的部分內容是在初中教材的基礎上進一步深入與延伸，在運算的教學中，由于運算量明顯較初中增大許多，所以高中教材進一步注重運算技巧與運算的功底的訓練。教師應該更加注重運算與思維的培養，把握學情，以生為本，狠抓綜合運算，思維的訓練。

關鍵詞：初高中銜接；運算；思維

由于二次函數，不等式，方程這些知識點貫穿高中學習的始終，高中幾乎大部分題目最終的問題不是解決二次函數，要么是解不等式，或者就是解方程的問題，而這些知識點都在初中有所涉及，但是初中學習中，對這些知識點的要求遠遠達不到高中學習的要求，而高中課本對這部分內容較少，所以初中剛上高一的很多學生在這些知識的運算中頭疼不已。因此，恰如其分地利用學生已有的知識經驗，再通過高中的學習獲得進一步提高、熟練，思維上有進一步的突破，這才正是初高中數學銜接課的價值。現就如何上好初高中銜接課內，從而如何創造高中高效課堂做一歸納整理。

1，在初中多項式的乘法運算中，同學們已學習了，乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項式的運算簡便．由于在高中學習中還會遇到更復雜的多項式乘法運算，因此拓展乘法公式的內容，補充三個數和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的運算中，同學們已學過被開方數是實數的根式運算，而在高中數學學習中，經常會接觸到被開方數是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此基于同樣的原因，還要補充“繁分式”等有關內容．

一、乘法公式

【公式1】

注意：多項式乘法的結果一般是按某個字母的降冪或升冪排列

【公式2】 （立方和公式）

【公式3】 （立方差公式）

請同學注意立方和、立方差公式的區別與聯系。

【例1】已知 ，求 的值．

解：

原式=

注意：本題是根據條件式與求值式的聯系，用整體代換的方法計算，簡化了計算．請注意整體代換法．本題的解法，體現了“正難則反”的解題策略。

【例2】已知 ，求" 的值．

解：

原式=

①

②，把②代入①得原式=

注意：注意字母的整體代換技巧的應用

二：有理化因式和分母有理化

有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個代數式叫做有理化因式。如 與 ； 與 互為有理化因式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

【例3】設 ，求 的值．

解：

原式=

注意：有關代數式的求值問題：（1）先化簡后求值；（2）當直接代入運算較復雜時，可根據結論的結構特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量．

【例4】化簡

解：原式=

注意：（1） 分式的乘除運算一般化為乘法進行，當分子、分母為多項式時，應先因式分解再進行約分化簡；（2） 分式的計算結果應是最簡分式或整式．

三：方程根與系數的關系

現行初中數學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數的關系，在高中教材中的二次函數、不等式及解析幾何等章節有著許多應用．

（1）一元二次方程的根的判斷式

一元二次方程 ，用配方法將其變形為：

（1） 當 時，右端是正數．因此，方程有兩個不相等的實數根：

（2） 當 時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實數根：

（3） 當 時，右端是負數．因此，方程沒有實數根．

由于可以用 的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把 叫做一元二次方程 的根的判別式，表示為：

（2）根與系數的關系：如果一元二次方程 的兩個根為 ，那么：

注意：一元二次方程根與系數的關系由十六世紀的法國數學家韋達發現，所以通常把此定理稱為”韋達定理”．上述定理成立的前提是

四：二元二次方程組

在初中同學已經學習了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組．而高中學習圓錐曲線時，需要熟練應用解二元二次方程組．

【例5】解方程組

分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點，可以把 、 看成是方程 的兩根，則更容易求解．

解：根據一元二次方程的根與系數的關系，把 、 看成是方程 的兩根，解方程得： ．

∴ 原方程組的解是： ．

注意：（1） 對于這種對稱性的方程組 ，利用一元二次方程的根與系數的關系構造方程時，未知數要換成異于 、 的字母，如 ．

對稱形方程組的解也應是對稱的，即有解 ，則必有解

五：二次函數的最值問題

二次函數 是初中函數的主要內容，也是高中學習的重要基礎．在初中階段大家已經知道：二次函數在自變量 取任意實數時的最值情況（當 時，函數在 處取得最小值 ，無最大值；當 時，函數在 處取得最大值 ，無最小值．

【例6】當 時，求函數 的最大值和最小值．

分析：作出函數在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點和最低點，由此得到函數的最大值、最小值及函數取到最值時相應自變量 的值．

解：作出函數的圖象．當 時， ，當 時， ．

注意：二次函數在自變量 的給定范圍內，對應的圖象是拋物線上的一段．那么最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值．

參考文獻：

[1] 趙鋒 做好初小銜接，打造高效課堂[J].中學數學教學參考（中旬）2019（7）：28-31

[2] 習題教案：初升高數學銜接班（上），（下）