思維可視化視角下的一次函數圖象運動教學實踐與思考

摘要：結合一次函數圖象運動的教學實踐，在“思維可視化”的視角下，從“活用教材，啟發學生思維；操作留痕，呈現思維軌跡；任務驅動，激發思維碰撞；融數于形，促進思維內化；系統建構，統一研究脈絡；多維表達，鞏固思維成果”六個方面闡述思維可視化的具體應用體現及教學思考.

關鍵詞：思維可視化；一次函數；圖象運動

2022年底，筆者受邀參與“一次函數圖象運動”磨課活動，經過充分的研討，反復打磨，以及賽后反思，筆者感到一次函數圖象運動的教學容易陷入記口訣“上加下減、左加右減”的應試訓練.本文中將在“思維可視化”的視角下，談一談“函數圖象運動”教學的實踐與思考.

1 教學片段實錄

環節1復習引入

展示蘇科版八上教材第152頁內容，回顧一次函數圖象的上下平移運動與函數表達式的變化.

師：說一說函數y＝2x，y＝2x＋3，y＝2x－3的圖象之間是怎樣的位置關系？它們之間如何轉化？

生1：三條直線互相平行，將直線y=2x向上或向下平移3個單位長度即可得到其他兩條直線.

（課件展示，直線上加密取點，點的上下平移，形成新的圖象.課件中用紅綠兩色的加密箭頭，直觀呈現點移動前后的對應關系.）

師：你能給出更一般的結論嗎？

生2：正比例函數y＝kx的圖象，若向上平移n（n＞0）個單位長度，則得到y＝kx＋n；若向下平移n（n＞0）個單位長度，則得到y＝kx－n.（教師板書配圖1.）

師：如何利用y＝－2x的圖象得y＝－2x＋4和y＝－2x－4的圖象？你有不同的方法嗎？

生3：分別上下平移4個單位長度即可.

生4：向右平移2個單位長度得y＝－2x＋4，向左平移2個單位長度得y＝－2x－4.（借助直角坐標系的網格底紋直接回答.）

師：函數圖象的運動，不僅僅是上下平行移動，還有更多豐富的變化.運動前后，它的表達式會有怎樣的改變呢？讓我們帶著思考進入今天的探索！

環節2數學探索

活動一：將y＝kx的圖象分別向左、向右平移2個單位長度，畫出平移后的圖象，并寫出相應的函數表達式.

（學生利用網格紙，自主畫圖，嘗試探索，很快發現“圖象易得，表達式難求”，進入小組交流階段，發現要回到“點的平移”，繼續自主探索.）

生5：y＝kx的圖象必過點（0，0），向左平移2個單位長度后，必過點（－2，0），由于平移使得k值不變，用待定系數法，即可求得平移后的表達式，向右平移也是同樣操作.

（其他學生根據提示，再次嘗試作答.待充分探索后，教師再請學生口述作答，并板書圖2.）

師：觀察對比，你有更一般的猜想并給出證明嗎？

生6：正比例函數y＝kx的圖象，若向右平移m個單位長度，則得到y＝k（x－m）；若向左平移m個單位長度，則得到y＝k（x＋m）.

生6：證明過程不必重寫了，把板書中的“2”換成“m”即可?。ㄆ渌麑W生驚嘆鼓掌！教師板書配圖3.）

活動二：將y＝2x＋4的圖象分別沿x軸、y軸翻折，畫出翻折后的圖象，并寫出相應的函數表達式.

（基于活動一的學習體驗，學生抓住“點的翻折”展開自主研究.）

生7：在y＝2x＋4的圖象上任取兩點，將這兩個點沿著x軸、y軸翻折，得到對應點，再用待定系數法，即可求得新函數的表達式.

師：結合兩次活動體驗，思考如何研究“函數圖象的運動與函數表達式的變化”？核心是什么？

生8：就是找準“點”運動前后，坐標是什么！

生9：函數圖象的運動，本質上是“點”的運動！

（板書配圖4.）

（學生繼續從“點”入手，自主探索和計算.）

生10：函數y＝kx＋b圖象若沿x軸翻折，則得y＝－kx－b；若沿y軸翻折，則得到y＝－kx＋b.

生11：從結論來看，若沿x軸翻折，則k和b都要取相反數；若沿y軸翻折，則b不變，k取相反數！（板書配圖5.）

環節3小結思考

師：回顧感悟，今天研究了哪些圖形的運動？請嘗試用一句話總結本節課的內容.今后還可以研究怎樣的圖形運動？

生12：只要抓住點的坐標變化，就能找到新的函數表達式.今后還可以用這樣的方法研究函數圖象的旋轉?。ò鍟鋱D6.）

環節4思維拓展

一次函數y＝3x＋6的圖象經歷怎樣的圖形變換可以得到y＝3x－6的圖象？

教師鼓勵一題多解.學生觀察和思考后發現，除了上下左右平移，也可以繞點旋轉或沿著某條直線翻折！

2 筆者的思考

（1）“思維可視化”是什么？

思維可視化（Thinking visualization）是指以圖示或圖示組合的方式將原本不可見的思維路徑、結構、方法及策略呈現出來，使其清晰可見的過程.通俗地講，就是把大腦中的思維“畫”出來的過程[1].

思維可視化在“函數圖象運動”教學中的運用，即體現為合理運用一系列圖示、實物、模型等手段，實現對“圖象運動”原理的探究、證明、應用等內容的教學，將思考方法、路徑、過程清晰呈現出來，有助于更好地培養學生的數學核心素養.

（2）如何用“思維可視化”指導“一次函數圖象運動”教學？

①活用教材，啟發學生思維

教師利用教材中的例子，回顧一次函數圖象上下平移的知識.通過課件，呈現大量加密的綠色和紅色箭頭，將圖形的運動，細化分解為許多點的運動，非常形象直觀.學生立刻就明白了“點”的同時同態運動，帶來整個函數圖象的運動.這一組箭頭，就是在進行“可視化”操作.包括后續研究左右平移，這樣的紅綠箭頭再次通過課件呈現，兩種運動模式對照，展開類比研究和探索.

②操作留痕，呈現思維軌跡

數學思維伴隨著課堂的動態生成而不斷發散，這些過程只憑嘴巴說、腦袋記是有限的，需要學生將推導流程記錄下來，留下思維的軌跡.

第一次板書，y＝kx的圖象向左、向右分別平移2個單位長度.板書的過程簡潔明了，非常清爽，便于理解.這就是“操作留痕”，思維的軌跡清晰明了（如圖2）.基于此，再引導學生進行更一般的探索.學生脫口而出“不用重寫，把題目中的2換成字母即可！”局部擦除板書，用彩色筆進行第二次標注，醒目流暢“可視化”！

③任務驅動，激發思維碰撞

任務驅動型教學法即鼓勵學生圍繞一個任務主線進行學習探索，在此過程中充分發揮主體作用，調動主觀能動性[2].

本節課，教師設計了兩個板塊的探索，并分解成若干個層次的任務驅動.由特殊到一般，由具體到抽象.每一步的轉化與推進都基于學生的獨立思考，鼓勵學生展示解說和評議補充.在此過程中，思維得到了鍛煉，思維的火花也更加精彩！

④融數于形，促進思維內化

教學中注意“融數于形”，可以很好地幫助學生理解數學概念、探索規律，使學生的思維在“數”與“形”之間自由穿梭，在直觀中促進知識的內化.

認知整體觀單元建構的價值，制定合理目標，為核心素養的落地奠定基礎

整體觀下的單元建構不是單純的知識點傳輸和技能訓練，而是教師基于學科素養，思考怎樣描繪基于一定目標和主題而展開探究活動、敘事活動，目的是創造優質的教學.有利于學生初步形成完整的知識鏈條，感受數學知識之間的邏輯美.通過整體設計，制定合理的教學目標，實現學生不但知道知識從哪里來、到哪里去，而且還能明白怎樣去的路徑.

在“二次函數的圖象和性質”起始教學中，就是以二次函數y=ax2為研究基礎，讓學生思考其他形式二次函數的研究思路、可能的圖象及性質，這個過程遵循了“從特殊到一般，從簡單到復雜”的研究方法.這樣充分凸顯前后知識的聯系，讓學生在預設與生成中發現不同形式二次函數圖象的聯系與區別，當學生說出自己的想法時，是對整節課或者函數研究過程、路徑、方法及數學思想的歸納與再建構.授之以魚不如授之以漁，學生掌握了研究路徑和方法，以后碰到其他函數的研究就會輕車熟路.

加強整體觀下單元建構的教學創作，注重問題設計，為核心素養的提升搭建平臺

整體觀下單元建構的教學設計強調的是一個整體，要求教師要有大觀念，大目標，大框架，在整體單元目標的引領下，精心創設一個比較廣闊的、真實的問題情境，實施主題化探究，合理設計問題串，彰顯知識內部的邏輯關系，通過追問，激發學生探究的欲望，點燃學習的熱情和動力，實現探究問題網絡的主動建構.

本節課的教學精心設計了簡單、開放的問題串貫穿于整個課堂教學中，且每個問題出現之后，均安排了學生進行獨立思考，在思考過程中，筆者鼓勵學生采用圖象法、描點法、表格法等多種探究方式，將“數”與“形”結合起來對二次函數的圖象與性質進行了探索，發展學生的思維，提升學生的學科素養.

遵循整體觀單元建構的教學原則，引導問題反思，為核心素養的培育注入基因

“整體建構—課時設計”的教學追求是數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性.在進行整體單元建構設計時，需要教師對單元內容中數學知識的地位、作用、價值要有清晰的認知，通過引導學生不斷自我反思，不斷內化認知，自我建構，形成該模塊知識生長鏈，同時經過反思探究的過程、方法，也可以為后續學習提供可操作的探究范式，為核心素養的培育植入骨架，注入基因.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］鐘啟泉.基于核心素養的課程發展：挑戰與課題[J].全球教育展望，2016，45（1）：3-25.

［4］章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.

［5］崔允漷.新時代 新課程 新教學[J].教育發展研究，2020，40（18）：3.