深刻理解難題關鍵步驟，精心預設專題拓展課

作業講評、解題教學是教師日常工作.對于有些較難題的作業講評如果在課前缺少深度備課，往往只是“答案告知式”講授，則解題教學的效益不高.如何帶領學生從絕對值的概念出發，鋪墊設問、變式拓展，幫助學生掌握這類問題的解題方法，是值得研究的一個解題教學課題.

1 從一道較難絕對值習題講評的聽課說起

開學之初，筆者參加學校教導處組織的聽青年教師隨堂課活動，其中一位剛剛走上工作崗位的教師的教學內容是講評七年級絕對值相關作業，有一道較難習題如下：

題目對于任何有理數x，|x－3|＋|x－6|的最小值是_________.

教師在課前認真批閱了學生作業，知曉大多數學生都不會解答該題.于是該教師給出了如下講解.

師：我們可以分類討論有理數x的大小，然后再“打開”絕對值符號進行分析.比如當xlt;3時，原式＝3－x＋6－x＝9－2x，這時可以發現，找不到這個式子的最小值；繼續討論，當3≤x≤6時，原式＝x－3＋6－x＝3，這里得到的3是一個確定值；還有一種情況，當xgt;6時，原式＝x－3＋x－6＝2x－9，這里也找不到該式子的最小值.綜上可見，當3≤x≤6時，原式的最小值是3.講解之后，教師追問學生是否理解，眾生點頭（表示會了），教師也就放心了，繼續講評后續作業.

聽課隨感：對于剛入校一周的七年級學生來說，這道較難的絕對值問題超過了教材新授課的訓練要求，但是在學生課外選練的一些教輔資料中這類習題又很常見.面對這樣的“作業現實”，教師以“告知解法”的方式進行了單向講授，學生雖然在聽后“積極配合點頭”，但是對這類問題是否達到了深刻理解呢？有沒有更直觀形象、深入淺出的教學設計呢？以下給出筆者圍繞這一道較難題（或者是這一類問題）的解題教學再設計.

2 絕對值拓展課教學微設計

教學環節（一）從絕對值的定義出發

問題1借助數軸，請同學們回顧|a|是如何定義的？

預設：如圖1，設點A表示數a，則點A到原點O的距離AO的長為|a|，我們也可以把|a|看成是|a－0|或|0－a|；類似地，若點B對表示數b，則點B到原點O的距離BO的長為|b|，同樣可以把|b|看成是|b－0|或|b－0|.可以發現，在絕對值的定義中，原點是一個重要的“基準”，它是“固定點”.

教學環節（二）換個視角看“基準”

問題2如圖2，數軸上點A，B分別表示數5和－3，將點B看成一個“基準”，點A到“基準”B的距離是多少？

預設：容易看出點A到“基準”B的距離是8.類似地，可以列式|5－（－3）|或|－3－5|，借助數軸直觀發現這兩個絕對值的式子化簡結果為8.接著給出以下變式問題.

變式1如圖3，數軸上點A，B分別表示數a和－2，將點B看成一個“基準”，點A到“基準”B的距離是多少（用含a的絕對值的式子表示）？

預設：|a－（－2）|或|a＋2|或|－2－a|，鼓勵學生寫出不同的式子，并引導學生觀察、理解這三個式子的一致性.

變式2數軸上點A，B分別表示數a，b，寫出線段AB的長（用含a的絕對值的式子表示）.

預設：|a－b|或|b－a|，可告知學生這是數軸上兩點之間的距離公式.

變式3若|a－（－5）|＝6，求a的值（借助數軸示意求解）.

預設：在前序鋪墊問題之后，學生不難求出符合要求的a的兩個解為1或－11.教師可安排學生上臺在數軸上直觀演示這兩個解是如何發現的，加深對兩點之間距離公式的理解.進一步，教師可以出示用文字語言表示的“等價問題”（已知數軸上兩點之間的距離為6，若其中一個點表示的數為－5，求另一個點表示的數）.

變式4若|x＋3|＝5，求x的值（借助數軸示意求解）.

預設：如果學生感覺困難，可以提示“變式3”的一個等價“簡化問題”（若|a＋5|＝6，求a的值）.這樣就容易想到將|x＋3|＝5變形為|x－（－3）|＝5，問題就轉化為“變式3”的同類問題，繼而借助數軸得出x的兩個解為2或－8.

教學環節（三）拓展提升，探求最值

問題3數軸上點A，B分別表示數1，6，線段AB上有一動點M表示數m.分析|m－1|＋|m－6|是否為一個確定的值？并說明理由.

預設：如果學生感覺有困難，可建議學生利用數軸直觀分析，將兩個絕對值之和轉化為兩條線段之和，就可發現它們的和為定值5.為進一步提出變式拓展問題提供必要的鋪墊.

拓展1若|m－2|＋|m－5|＝3，寫出滿足條件的所有整數m的值.

拓展2對于任意有理數a，|a－3|＋|a－8|是否存在最小值？如果有，求出該最小值；如果不存在，說明理由.

預設：“拓展1”的求解關鍵是想清m的取值范圍為2≤m≤5，即可找全符合條件的整數m的值有2，3，4，5.“拓展2”，需要分類討論，當alt;3時，去掉絕對值符號，原式＝3－a＋8－a＝－2a＋11，結合a的取值范圍，此時不存在最小值；當3≤a≤8時，原式＝a－3＋8－a＝5；當agt;8時，原式＝a－3＋a－8＝2a－11，不存在最小值.綜上，當3≤m≤8時，原式的最小值為5.

教學環節（四）課堂小結，布置作業

小結問題1：本課從絕對值的概念出發，變式、拓展出一些較難題，給你留下較深印象的是哪一道題？你積累了哪些解題經驗？可結合具體的題例說說.

小結問題2：在解決本課中一些較難絕對值問題時，體現了分類討論、數形結合的思想方法，舉例說說你對這些思想方法是如何理解的.

布置作業：

（1）數軸上表示3的點A到另一點P的距離為5，則點P表示的數為______.

（2）若|a＋3|＝6，借助數軸分析a的值.

（3）對于任意有理數x，|x＋3|＋|x－6|是否存在最小值？如果有，求出該最小值；如果不存在，說明理由.

設計意圖：這3道作業分別對應本課所學內容，且3道習題之間也形成了鋪墊式問題，漸次生長并增加難度.

3 關于專題拓展課教學實踐與初步思考

3.1 教師對專題課教學內容要有深刻理解

專題拓展課的教學內容往往超過了教材上例習題的難度，源自本地中考或地區學業質量監測的試題或本地名校的期中（期末）試題，教師在課前要對這類拓展問題開展深度研究，學校備課組或教研組也應該利用集體備課對這類拓展問題進行集中研討，包括這類拓展問題的“一題多解”“多解歸一”“結構揭示”等，并開展同類問題或等價問題的鏈接.這一系列的課前準備是對專題拓展課教學內容的深刻理解，有助于研發高質量的專題拓展課教學課例.

3.2 專題拓展課要重視鋪墊式問題的預設

專題拓展課往往聚焦的是較難題的教學指導，這類較難問題如果直接出示，安排學生攻堅克難，常常成為少數優秀學生的風采展示，而更多中等或后進學生則是“聽眾”或“觀眾”的角色.筆者以為，教師在備課時要重視預設課中較難題的鋪墊式問題.具體來說，為了帶領學生解決某一道或一類較難問題，可以將這類問題的關鍵步驟、難點步驟進行分解，然后分別設計成鋪墊式問題或引例，讓學生在這些鋪墊式問題或引例的求解后，能自主發現較難題的解題思路、關鍵步驟.文[1]中指出：“教師在備課時應根據課型、教學內容、學生情況等因素對課堂留白進行預設.”可見，有時還需要結合學情、相機安排鋪墊式問題的密集程度，做到鋪墊暗示與留白挑戰相得益彰.

3.3 專題拓展課回顧小結后要有作業跟進

涂榮豹教授在文[2]中認為：“解題學習中某些解題策略可以通過經驗式概括而獲得，共同特征是解決這類問題的具有一般意義的規律.”專題拓展課的最后環節要重視引導學生進行解后回顧，根據專題課教學內容的特點，預設具體的課堂小結問題，讓學生在小結問題的驅動下回顧梳理，積累解題經驗、感悟數學思想方法.小結之后，教師除了要安排學生整理課上所學內容的解題筆記，還要進行作業設計，所布置作業要精準對應課上所學題型，切實幫助學生鞏固訓練.

參考文獻：

[1]蔡甜甜，劉國祥，寧連華.數學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思[J].數學教育學報，2018，27（6）：29-32.

[2]涂榮豹，陳嫣.數學學習中的概括[J].數學教育學報，2004（1）：17-22.