整體觀下章節(jié)起始課建構(gòu)教學設(shè)計的實踐及思考

摘要：在認真梳理數(shù)學整體觀已有研究的基礎(chǔ)上，嘗試以“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為研究對象，基于數(shù)學整體觀進行章節(jié)起始課建構(gòu)教學設(shè)計.從注重數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)、注重知識的“生長點”與“延伸點”、注重知識的結(jié)構(gòu)和體系幾方面，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，增強學生學習的預見性和主動性，教師可在章起始課通過實施單元建構(gòu)，實現(xiàn)統(tǒng)領(lǐng)全章，疏通知識體系脈絡.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；章節(jié)起始課；數(shù)學整體觀

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》聚焦于課程內(nèi)容、核心素養(yǎng)的培育、教材編寫、教育評價等方面多次出現(xiàn)“整體性”［1］.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出重視單元整體教學設(shè)計，改變過于注重以課時為單位的教學設(shè)計，推進單元整體教學設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，學習內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián).單元整體教學設(shè)計要整體分析數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)和學生認知規(guī)律，合理整合教學內(nèi)容，分析“主題一單元一課時”的數(shù)學知識和核心養(yǎng)主要表現(xiàn)，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環(huán)節(jié)中，整體設(shè)計，分步實施，促進學生對數(shù)學教學內(nèi)容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)[2].鐘啟泉教授認為：抓住了單元設(shè)計，就抓住了撬動整個課堂轉(zhuǎn)型的一個支點[3].章建躍教授提出數(shù)學教師要樹立數(shù)學教育的整體觀，即在課堂教學中把數(shù)學知識、數(shù)學思維、數(shù)學方法和理性精神作為一個水乳交融、密不可分的整體，使學生在數(shù)學知識的學習過程中學會數(shù)學思維，掌握數(shù)學方法，培養(yǎng)理性精神［4］.崔允漷先生提出了課堂教學設(shè)計要把分散的知識概念組成結(jié)構(gòu)化的大觀念、大主題、大任務、大項目的問題解決學習策略［5］.

筆者認為，教師應審讀課程標準，以教材為基礎(chǔ)，加強數(shù)學內(nèi)部、不同學科、數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系，把數(shù)學知識的學習置身大背景之中，對其中“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容進行分析、重組、整合，并形成相對完整的教學單元，以優(yōu)化教學效果.這里的單元主題可以是大觀念、大任務、大項目，也可以是教材中已經(jīng)分割好的“教學單元”，還可以是教材中幾個主體相同或關(guān)聯(lián)性強的小單元組成的“教學單元”.因此，指向整體性的數(shù)學教學要關(guān)注數(shù)學知識的整體性、教學過程的整體性和學生認知結(jié)構(gòu)的整體性，關(guān)注教學內(nèi)容的本質(zhì)及蘊含的思想.從而，促進教師理解數(shù)學、理解學生、理解教學，實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的落地生根.

2 基于數(shù)學整體觀的單元建構(gòu)實踐與分析

教師是單元建構(gòu)內(nèi)容的決定者、組織者、實踐者.一般地，組織單元教學內(nèi)容可以采取以下三種形式：以重要的數(shù)學概念或核心數(shù)學知識為主線組織的主題類單元；以數(shù)學思想方法為主線組織的方法類單元；以核心素養(yǎng)、基本能力為主線的素養(yǎng)類單元.

下面筆者以“二次函數(shù)圖象與性質(zhì)”教學設(shè)計來分析“主題類單元”建構(gòu)的實施與評價.

2.1 （教學思路）學情分析

“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學緊跟二次函數(shù)概念之后，在此之前，學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)等基本初等函數(shù)，掌握了函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究方法，具備了一定的函數(shù)思想，這為二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究奠定了基礎(chǔ).因此，本節(jié)課教學從拋物線的開口方向、對稱性、頂點坐標、增減性、最高（低）點（最值）等方面，采取“類比遷移”的方式，幫助學生整體建構(gòu)“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的研究路徑（如圖1），實現(xiàn)從“已知”到“新知”的構(gòu)建.

2.2 教學目標

（1）通過列表、描點、連線，學會繪制二次函數(shù)y=ax2的圖象，理解y=ax²與y=ax²+k，y=a（x-h）²，y=a（x-h）²+k，y=ax²+bx+c之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

（2）通過類比，能夠把一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的探究方法與經(jīng)驗遷移到二次函數(shù)中，建構(gòu)研究函數(shù)的一般路徑.

（3）經(jīng)歷猜測、質(zhì)疑、分析和思考的過程，在交流的過程中感受“類比”“從特殊到一般”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想，發(fā)展一般觀念.

2.3 教學重難點

（1）二次函數(shù)y=ax²的圖象與性質(zhì)；

（2）探索二次函數(shù)y=ax²與y=ax²+k，y=a（x-h）²，y=a（x-h）²+k，y=ax²+bx+c相互轉(zhuǎn)化的平移規(guī)律.

2.4 教學過程

2.4.1 活動一：溫故知新，揭示課題

一個矩形分別滿足：

（1）長為x，寬為2，面積為y；

（2）長為y，寬為x，面積為2；

（3）長為x，寬為x，面積為y.

那么y與x的函數(shù)表達式為_______.

教學分析：學生由S矩形面積=長×寬很快得到三個函數(shù)表達式（1）y=2x，（2）y=2/x，（3）y=x2，并迅速判斷這三個函數(shù)分別為正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).這時老師提出“正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，其圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.那么對于二次函數(shù)y=ax2，可以從哪些方面進行研究呢？”由此引發(fā)學生思考.在學生的回憶、交流、對話、追問中建構(gòu)研究函數(shù)的一般路徑，引發(fā)學生探究二次函數(shù)的欲望.

教學說明：通過一個情境三個函數(shù)搭建研究框架，形成整體認識，了解函數(shù)研究的“基本套路”，滲透基本研究方法.類比一次函數(shù)和反比例函數(shù)的研究思路，讓學生猜想二次函數(shù)的研究路徑和內(nèi)容.旨在通過研究方法的遷移，促使學生自己建構(gòu)出二次函數(shù)研究方向，將整個單元的研究內(nèi)容串聯(lián)起來，形成完整的研究框架.

2.4.2 活動二：動手實踐，探索新知

探究二次函數(shù)y=ax²的圖象及性質(zhì)

問題1根據(jù)二次函數(shù)表達式y(tǒng)=x²，你能描述它的圖象有何特征嗎？

教學分析：用類比手法，以問題串形式，從最特殊、最簡單的“y=x²”開始研究.二次函數(shù)y=x2的圖象如何？先引導學生由“數(shù)”想“形”，從函數(shù)y=x2表達式的“關(guān)系特征”出發(fā)，想象圖象可能具有的“表象特征”，想象出圖象大致“樣子”，再畫圖驗證，體現(xiàn)由抽象到具體的研究策略.

問題2結(jié)合學過的畫圖步驟，嘗試在直角坐標系中畫出二次函數(shù)y=x²的圖象.

教學分析：在學生回憶起畫圖象步驟的基礎(chǔ)上引導學生思考列表時取值的合理性，對畫圖有問題的學生給予適當?shù)闹笇?在畫圖過程中，提醒學生描點連線的整體性和連續(xù)性.然后教師通過幾何畫板，逐步加密“點”，引導學生對用平滑曲線畫圖（如圖2）的直觀理解.

教學說明：類比已知學習新知，在學生作圖過程中，教師根據(jù)學生作圖中暴露的問題，特別是圖象為什么是“平滑”的曲線，給予引導，讓學生掌握作函數(shù)圖象的要領(lǐng).

問題3你能想象出y=-x²圖象的大致形狀嗎？它與y=x2圖象有何關(guān)系？

教學分析：如圖3，仍然先引導學生由“數(shù)”想“形”，從函數(shù)y=-x²表達式的“關(guān)系特征”出發(fā)，想象圖象可能具有的“表象特征”，想象出圖象大致“樣子”，再畫圖驗證，體現(xiàn)由抽象到具體的研究策略.通過對比觀察，由學生歸納出兩個圖象的異同點.①共同點是兩個圖象都是“拋物線”；兩個圖象都是軸對稱圖形，且都關(guān)于y軸對稱；兩個圖象的頂點都是（0，0）.②不同點是y=x2的圖象開口朝上，y=-x²的圖象開口朝下.

教學說明：通過將系數(shù)1變?yōu)椤?1”，引導學生思考“數(shù)”的變化對“形”的影響，培養(yǎng)學生以數(shù)想形的意識，再畫圖驗證猜想的合理性，培養(yǎng)學生的數(shù)學眼光.

問題4當a=2，a=－2，a=1/2，a=－1/2時，分別在同一直角坐標系中分別作出y=ax²的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象指出它們的相同點和異同點.

教學分析：四人小組每人分別畫出其中一個函數(shù)圖象，然后進行分類，歸納總結(jié)出y=ax²的圖象的頂點、對稱軸、開口方向、函數(shù)增減性、函數(shù)最值、函數(shù)圖象開口大小等特征.

教學說明：從特殊到一般，重點研究y=ax²的圖象和性質(zhì)，把y=ax2這個特殊的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究透了，一般的二次函數(shù)圖象特征和函數(shù)性質(zhì)也就水到渠成.

2.4.3 活動三：由特殊到一般，類比探究

探究二次函數(shù)y=ax²+k，y=a（x－h(huán)）²，y=a（x－h(huán)）²+k的圖象與性質(zhì)..

問題5能否根據(jù)y=x2的圖象，想象y=x²+1的圖象？它與y=x²的圖象又有何關(guān)系？

教學分析：在問題5中，根據(jù)學生想象的圖象可能具有的關(guān)系，引導學生由表1“坐標數(shù)值變化”，再結(jié)合“描點的過程”，很快發(fā)現(xiàn)對應的點和拋物線平移變化的關(guān)系，而且能說出平移的方向和單位.在此基礎(chǔ)上，得到函數(shù)y=ax²+k和y=ax²的圖象之間的位置關(guān)系后，引導學生從“數(shù)”和“形”的角度觀察探究，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想.

問題6類比探究二次函數(shù)y=（x－1）²與y=x²圖象的關(guān)系.

教學分析：學生有了函數(shù)y=x²+1的研究經(jīng)驗，由表2“坐標數(shù)值變化”，再結(jié)合“描點的過程”，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=（x－1）²和y=x²圖象的位置關(guān)系.但如何從“數(shù)”的特征和“形”的變化的角度來解釋呢？當函數(shù)值相等時，y=（x－1）²和y=x²自變量的值相差1，從圖象上看（如圖4），y=（x－1）²圖象上的對應點都在y=x²圖象的基礎(chǔ)上向右平移1個單位長度，這樣學生便豁然開朗，得到函數(shù)y=a（x－h(huán)）²和y=ax²的圖象之間的位置關(guān)系.

問題7不畫圖，你能猜想歸納y=a（x－h(huán)）²+k的圖象和y=a（x－h(huán)）²的圖象的關(guān)系嗎？

教學分析：有了前面環(huán)節(jié)探究的鋪墊，學生通過思考和探索發(fā)現(xiàn)了函數(shù)y=a（x－h(huán)）²+k是由y=a（x－h(huán)）²的圖象上下平移得到的，最后引導學生歸納總結(jié)，得到二次函數(shù)y=ax²+k，y=a（x－h(huán)）²，y=a（x－h(huán)）²+k的圖象都是由y=ax2的圖象沿著x軸左右平移和沿著y軸上下平移得到的，它們除了頂點坐標和對稱軸不一樣，其余性質(zhì)仍然都是相同的.

教學說明：在整體觀的引領(lǐng)下，讓學生經(jīng)歷概念的抽象概括過程，進行二次函數(shù)圖象分類分析，尋找、歸納共同本質(zhì)屬性.運用類比方法，由特殊到一般，引領(lǐng)學生依次探究y=ax²，y=ax²+k，y=a（x－h(huán)）²，y=a（x－h(huán)）²+k幾個函數(shù)的圖象和性質(zhì)，整體構(gòu)建二次函數(shù)圖象，充分體現(xiàn)章節(jié)起始課的作用.

2.4.4 活動四：探究二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與性質(zhì)

問題8如何研究二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與性質(zhì)呢？

教學示范：引導學生將y=a（x－h(huán)）²+k整理為y=ax²+bx+c的形式，再利用逆向思維，反過來將y=ax²+bx+c通過配方化為y=a（x－h(huán)）²+k的形式，讓學生領(lǐng)悟到這兩種類型的函數(shù)僅僅是表達形式不同，而且圖象形狀相同，都是拋物線，都可以通過y=ax²的圖象平移而得到（如圖5）.

教學說明：通過函數(shù)y=a（x－h(huán)）²+k與y=ax²圖象平移關(guān)系的過渡，再到二次函數(shù)y=ax²+bx+c可以通過配方化成y=a（x－h(huán)）²+k的形式，于是y=ax²+bx+c的圖象同樣可以由y=ax²的圖象平移得到.通過開放性、對比性的小結(jié)，促進學生進行有深度、有價值的思考，形成結(jié)構(gòu)性的知識鏈，引導學生領(lǐng)悟單元整體學習的策略.

2.4.5 課堂整理，歸納總結(jié)

通過本節(jié)課的學習，談談看：主要研究了什么？研究思路是什么？研究方法是什么？

教學分析：學生自主總結(jié)，每人繪制一份思維導圖，然后相互交流補充，最后由教師進行總結(jié).

教學說明：讓學生制作思維導圖是為了促使學生全面梳理課堂知識，通過聯(lián)想和發(fā)散將知識完整化，能讓學生清楚各個二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及平移規(guī)律，便于學生理解記憶.老師順勢指出——今后要逐步地、系統(tǒng)地學習二次函數(shù)這幾種形式，研究這幾種形式之間有內(nèi)在關(guān)系.我們在學習時，不但要看到特殊個體，還要想到整體.這樣就把知識系統(tǒng)化、整體化、結(jié)構(gòu)化，讓我們不僅看到樹木，還要想到森林，達到一覽眾山小的境界.特別地，三個函數(shù)y=2x，y=2x，y=x2中由于2所處的位置不同，它所表達的數(shù)學涵義也不一樣.最后，你能否改變2的位置再構(gòu)造一個新的函數(shù)呢？教師引導得出y=2x為指數(shù)函數(shù)，這個函數(shù)將在高中學習，其研究路徑和初中學習的函數(shù)研究路徑完全一樣.

3 整體觀下單元建構(gòu)課的實踐體會與反思

整體觀下的單元建構(gòu)是在整體思維指導下，從提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，對相關(guān)教材內(nèi)容進行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，以突出教學內(nèi)容的主線及知識間的關(guān)聯(lián)性，給學生以清晰的結(jié)構(gòu)化認知.

3.1 認知整體觀單元建構(gòu)的價值，制定合理目標，為核心素養(yǎng)的落地奠定基礎(chǔ)整體觀下的單元建構(gòu)不是單純的知識點傳輸和技能訓練，而是教師基于學科素養(yǎng)，思考怎樣描繪基于一定目標和主題而展開探究活動、敘事活動，目的是創(chuàng)造優(yōu)質(zhì)的教學.有利于學生初步形成完整的知識鏈條，感受數(shù)學知識之間的邏輯美.通過整體設(shè)計，制定合理的教學目標，實現(xiàn)學生不但知道知識從哪里來、到哪里去，而且還能明白怎樣去的路徑.

在“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”起始教學中，就是以二次函數(shù)y=ax2為研究基礎(chǔ)，讓學生思考其他形式二次函數(shù)的研究思路、可能的圖象及性質(zhì)，這個過程遵循了“從特殊到一般，從簡單到復雜”的研究方法.這樣充分凸顯前后知識的聯(lián)系，讓學生在預設(shè)與生成中發(fā)現(xiàn)不同形式二次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別，當學生說出自己的想法時，是對整節(jié)課或者函數(shù)研究過程、路徑、方法及數(shù)學思想的歸納與再建構(gòu).授之以魚不如授之以漁，學生掌握了研究路徑和方法，以后碰到其他函數(shù)的研究就會輕車熟路.

3.2 加強整體觀下單元建構(gòu)的教學創(chuàng)作，注重問題設(shè)計，為核心素養(yǎng)的提升搭建平臺整體觀下單元建構(gòu)的教學設(shè)計強調(diào)的是一個整體，要求教師要有大觀念，大目標，大框架，在整體單元目標的引領(lǐng)下，精心創(chuàng)設(shè)一個比較廣闊的、真實的問題情境，實施主題化探究，合理設(shè)計問題串，彰顯知識內(nèi)部的邏輯關(guān)系，通過追問，激發(fā)學生探究的欲望，點燃學習的熱情和動力，實現(xiàn)探究問題網(wǎng)絡的主動建構(gòu).

本節(jié)課的教學精心設(shè)計了簡單、開放的問題串貫穿于整個課堂教學中，且每個問題出現(xiàn)之后，均安排了學生進行獨立思考，在思考過程中，筆者鼓勵學生采用圖象法、描點法、表格法等多種探究方式，將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來對二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探索，發(fā)展學生的思維，提升學生的學科素養(yǎng).

3.3 遵循整體觀單元建構(gòu)的教學原則，引導問題反思，為核心素養(yǎng)的培育注入基因“整體建構(gòu)—課時設(shè)計”的教學追求是數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性.在進行整體單元建構(gòu)設(shè)計時，需要教師對單元內(nèi)容中數(shù)學知識的地位、作用、價值要有清晰的認知，通過引導學生不斷自我反思，不斷內(nèi)化認知，自我建構(gòu)，形成該模塊知識生長鏈，同時經(jīng)過反思探究的過程、方法，也可以為后續(xù)學習提供可操作的探究范式，為核心素養(yǎng)的培育植入骨架，注入基因.

參考文獻：

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［2］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

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［4］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.

［5］崔允漷.新時代 新課程 新教學[J].教育發(fā)展研究，2020，40（18）：3.