三重結(jié)構(gòu)推進(jìn)：單元復(fù)習(xí)教學(xué)的路徑探索

摘要：文章以“一元二次方程復(fù)習(xí)課”為例，通過理論構(gòu)建，設(shè)置驅(qū)動性問題，引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建單元知識邏輯關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而形成知識的結(jié)構(gòu)化、方法的結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)化，依靠整體的、結(jié)構(gòu)化的思考方式和學(xué)習(xí)路徑，提高復(fù)習(xí)課教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維.

關(guān)鍵詞：知識結(jié)構(gòu)化;方法結(jié)構(gòu)化;經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)的主要功能是梳理單元知識，提煉思想方法，豐富活動經(jīng)驗(yàn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)：“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系.數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，既要注重知識的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)，又要注重教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化.”[1]縱觀目前的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)，通常習(xí)慣于知識梳理、例題講評、鞏固訓(xùn)練，導(dǎo)致課堂存在著“大容量、小問題，淺思考”的現(xiàn)象[2]，缺少深度學(xué)習(xí)和知識延伸，也難以體現(xiàn)知識的整體性.那么，在復(fù)習(xí)課中如何引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識、方法和經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)？如何設(shè)計(jì)連貫性的問題提升復(fù)習(xí)效率呢？下面以浙教版“一元二次方程的單元復(fù)習(xí)”為例進(jìn)行闡述.

1 理論構(gòu)建與設(shè)計(jì)思路

1.1 理論構(gòu)建

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身是一個(gè)結(jié)構(gòu)化的動態(tài)過程，這一過程的實(shí)現(xiàn)，有賴于學(xué)生對知識的主動納入與建構(gòu).結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指在對教材結(jié)構(gòu)整體認(rèn)識的基礎(chǔ)上，找出知識內(nèi)容中各個(gè)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系、層次關(guān)系，把所學(xué)的知識劃分為不同的部分或歸入某種更大的范疇，在頭腦中組織起來，形成知識組塊，進(jìn)而形成良好的知識結(jié)構(gòu).按照上述理解，單元復(fù)習(xí)課不應(yīng)只是知識點(diǎn)的各個(gè)擊破，還需要對單元內(nèi)容進(jìn)行全面分析，整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特征，深入理解單元內(nèi)容以及各單元之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，明晰知識的研究路徑和研究方法，在此基礎(chǔ)上主動建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu).

具體來說，單元復(fù)習(xí)教學(xué)功能的實(shí)現(xiàn)，需要在結(jié)構(gòu)化的視角下落實(shí)知識結(jié)構(gòu)化、方法結(jié)構(gòu)化和經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化.也就是說，教師幫助學(xué)生串聯(lián)零散的知識點(diǎn)，梳理知識體系，實(shí)現(xiàn)以大概念為核心的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化；發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維，形成以學(xué)習(xí)能力為核心的數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)化；不僅突出教學(xué)的整體性，又強(qiáng)調(diào)知識的關(guān)聯(lián)性，著力在知識融通、結(jié)構(gòu)循環(huán)、經(jīng)驗(yàn)積累、素養(yǎng)提升中實(shí)現(xiàn)進(jìn)階式成長，達(dá)成以知識的“連續(xù)—關(guān)聯(lián)—循環(huán)”為教學(xué)路徑的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化，使結(jié)構(gòu)化教學(xué)在方法結(jié)構(gòu)中連續(xù)，在思維結(jié)構(gòu)中關(guān)聯(lián)，在經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)中循環(huán)，從而促進(jìn)學(xué)生的意義建構(gòu)和素養(yǎng)提升.結(jié)構(gòu)化視角下單元復(fù)習(xí)教學(xué)構(gòu)建如圖1所示.

1.2 設(shè)計(jì)思路

“一元二次方程”是初中階段方程學(xué)習(xí)的重要章節(jié)，既是一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的延續(xù)和升華，也是二次函數(shù)和一元二次不等式的奠基石.在結(jié)構(gòu)化視角下審視本單元復(fù)習(xí)課，首先，需要對一元二次方程單元的諸多知識點(diǎn)進(jìn)行回顧和重組，讓學(xué)生感受知識間的密切聯(lián)系，將知識系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化；其次，需要對課本的例題和習(xí)題做一個(gè)系統(tǒng)的梳理和歸納，深刻理解問題的內(nèi)涵、衍生與聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變式和拓展，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決過程中對知識進(jìn)行橫向整理和縱向聯(lián)結(jié)，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)思想和方法的結(jié)構(gòu)化；最后，結(jié)合知識點(diǎn)梳理和問題解決，提煉本單元的研究思路和研究方法，總結(jié)出可以內(nèi)化的一般套路和經(jīng)驗(yàn)，形成經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)化.

2 單元復(fù)習(xí)的結(jié)構(gòu)化路徑

2.1 知識結(jié)構(gòu)化，把握單元主題知識

知識結(jié)構(gòu)化是指按照一定的線索將零散、單一的知識進(jìn)行歸類、整理，形成彼此間相互聯(lián)系的整體，構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡(luò)［3］.解構(gòu)學(xué)生已有的知識，使之被學(xué)生重新認(rèn)知和接受，并在新的認(rèn)知情境下進(jìn)行重組和再構(gòu)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的課堂教學(xué).

問題1對于方程x²－2x－3=0，你能得出哪些結(jié)論？

學(xué)生生成：一元二次方程；有兩個(gè)不同的根；可用配方法、公式法、因式分解法解方程，兩個(gè)根分別為3和-1.

教學(xué)評析：本環(huán)節(jié)從開放的具體問題引入，從一個(gè)簡單問題出發(fā)，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的本章知識，通過對一元二次方程定義，方程是否有解（根的判別式），如何解方程（一元二次方程的解法），方程的解之間的關(guān)系（根與系數(shù)的關(guān)系）等知識的有效串聯(lián)，厘清和梳理知識脈絡(luò)，整體建構(gòu)，概念聯(lián)結(jié)，形成“一元二次方程”的內(nèi)容材料結(jié)構(gòu)化，并繪制出概念和解法的知識框架圖（如圖2）.借助這一框架圖，滲透數(shù)學(xué)的思想方法，達(dá)成知識建構(gòu)這一首要目標(biāo)，形成整體認(rèn)知結(jié)構(gòu).

問題2對于關(guān)于x的方程（a－1）x²－2x+3=0，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，確定a的值或取值范圍.

學(xué)生生成：

（1）這是一個(gè)一元二次方程，求a的取值范圍.

（2）已知該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

（3）已知該方程有解，求a的取值范圍.

（4）已知該方程一個(gè)根為-1，求a的值.

（5）已知該方程兩個(gè)實(shí)根的和為-1，求a的值.

（6）已知方程有兩根為x₁，x₂，且x²₁+x²₂=10，求a的值.

…………

教學(xué)評析：在問題1的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了開放性的變式問題2，繼續(xù)研究含參的一元二次方程，問題指向根的判別式和韋達(dá)定理.三項(xiàng)式中某項(xiàng)的系數(shù)未知，如何思考呢？學(xué)生沿著一元二次方程知識框架圖進(jìn)行逆向思維，在生成之后，引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充和完善問題1中的知識框架圖（如圖3），將所復(fù)習(xí)的知識內(nèi)容納入到原知識體系中去，通過順向和逆向思考，使得知識從靜態(tài)走向動態(tài)，學(xué)生在此過程中不斷厘清知識的來龍去脈，完善知識體系，形成“堅(jiān)固”的知識“系”.

從問題1到問題2，筆者以題為抓手，以變式為載體，從常量到參量，甚至可以從一個(gè)變量到兩個(gè)到三個(gè)參量；從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，重構(gòu)知識網(wǎng)，為進(jìn)一步解決數(shù)學(xué)問題提供堅(jiān)實(shí)的知識儲備.通過循環(huán)內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)，打破教材原有結(jié)構(gòu)體系，在“變式+整合”的基礎(chǔ)上重構(gòu)知識網(wǎng)，復(fù)習(xí)課不再是“概念+練習(xí)”，也不是“試卷+講評”.

2.2 方法結(jié)構(gòu)化，整體關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)思想方法

方法結(jié)構(gòu)化是學(xué)生綜合運(yùn)用思想方法，將割裂化的方法動態(tài)關(guān)聯(lián)成體，通過歸類分組的方式將信息排序的一種立體化的分析方式，體現(xiàn)了一種從無序到有序的思考過程.方法的結(jié)構(gòu)化離不開問題的引領(lǐng)，在問題解決的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從整體的視角尋找解題的思路，通過比較、分析、思辨、整合，深入發(fā)掘問題的本質(zhì)，尋找有效的解決方案，完善思維的多元表征，領(lǐng)悟貫穿于問題中的數(shù)學(xué)思想和方法，通過知識點(diǎn)遷移和方法結(jié)構(gòu)化的引領(lǐng)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

問題3如圖4，利用一面墻（墻的長度不限），用20 m長的籬笆怎樣圍成一個(gè)長方形雞場？

（1）能圍成面積為50 m²的長方形場地嗎？面積為60 m2呢？

（2）能圍成的長方形的最大面積是多少？

（3）若墻對面加一個(gè)2 m寬的門，雞場的最大面積是多少？

（4）若墻長記為l，則l對圍成面積為50 m²的長方形場地有何影響？

學(xué)生生成：設(shè)長方形垂直于墻的一邊長為x m.

（1）若x（20-2x）=50，解得x₁=x₂=5.

若x（20-2x）=60，即-2x²+20x-60=0，則有Δ=b²-4ac=-80＜0，故不可能.

（2）該圍成長方形的面積為S，則S=x（20-2x）=-2x²+20x=-2（x-5）²+50.

當(dāng)S≤50時(shí)，方程才有解，長方形才存在，即能圍成的長方形最大面積為50 m².

（3）記能圍成長方形的面積為S，結(jié)合圖5、圖6，可得S=x（22-2x），方法同上.

（4）師生共同分析問題4與前面3個(gè)問題的區(qū)別和聯(lián)系，再討論墻長l對矩形長寬的影響，最后完成解題過程.

教學(xué)評析：本環(huán)節(jié)在同一情景下設(shè)置了四個(gè)問題，問題之間層層遞進(jìn)，由簡單到復(fù)雜，由一般到特殊.第（1）問中，學(xué)生經(jīng)歷列方程、解方程和用方程的完整過程，在此過程中，體會了數(shù)學(xué)抽象，以及符號化和模型化的思想方法.問題解決后類比一元一次方程及時(shí)提煉解決此類問題的一般“套路”，將知識的結(jié)構(gòu)化轉(zhuǎn)化為思想方法的結(jié)構(gòu)化，如圖7.第（2）問來源于浙教版八年級下冊教材第21頁復(fù)習(xí)題，對于何時(shí)最大，學(xué)生不免產(chǎn)生猜想，雞場為正方形的時(shí)候會不會最大？除了利用配方法求最大值，還可以用什么方法求面積的最值？在利用配方法解決問題之后，教師適時(shí)給出判別式法：由x（20-2x）=S，化簡得x²－10x+S/2=0，根據(jù)Δ=10²-4×S/2≥0，可得S≤50.第（3）問通過增加條件，改變方程，讓學(xué)生親歷知識形成的內(nèi)在聯(lián)系及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“觀察-理解-辨析-建構(gòu)”的認(rèn)知過程.

2.3 經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化，提升學(xué)科綜合素養(yǎng)

經(jīng)驗(yàn)是形成思想的肥沃土壤，零碎的經(jīng)驗(yàn)只有經(jīng)過系統(tǒng)的、理性的提煉，形成結(jié)構(gòu)化經(jīng)驗(yàn)，方能形成自己獨(dú)特的思想.單元整體復(fù)習(xí)教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了知識結(jié)構(gòu)化和方法結(jié)構(gòu)化的逐步進(jìn)階，這些“經(jīng)歷”沉淀為“經(jīng)驗(yàn)”，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生能夠積極地運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主建構(gòu).使得結(jié)構(gòu)化教學(xué)深度發(fā)生，始于知識，用于思維，得于經(jīng)驗(yàn)，止于素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生近階式成長.

（1）理論內(nèi)化，目標(biāo)連續(xù)

在單元復(fù)習(xí)課中，學(xué)生感受到知識和方法、知識和思維的對接，對本章知識點(diǎn)做統(tǒng)籌梳理，形成了整體化、結(jié)構(gòu)化的理論體系.問題1中，從方程的概念到解方程，將初中階段所學(xué)方程結(jié)構(gòu)化（如圖8），從單元整體拓展到整個(gè)初中方程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)大單元學(xué)習(xí)的整體性和一致性.問題3中，對實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行理論化處理，知識結(jié)構(gòu)化自然進(jìn)入良性環(huán)節(jié)，結(jié)合生活情景，提出相關(guān)實(shí)際問題，將知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)融入整體情景中.通過循序漸進(jìn)的四個(gè)小問，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目的“通性”是什么、“通法”是什么，即多題歸一，不同背景下的類似問題，均可用同一方法突破.關(guān)注通性通法教學(xué)，能實(shí)現(xiàn)教學(xué)的普適性.

（2）經(jīng)驗(yàn)循環(huán)，自主建構(gòu)

經(jīng)驗(yàn)的循環(huán)包括知識內(nèi)容的循環(huán)，方法認(rèn)知的循環(huán)，數(shù)學(xué)思維的循環(huán).循環(huán)的過程意味著螺旋遞進(jìn)，循環(huán)上升；凸顯了結(jié)構(gòu)的功能，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能帶走的經(jīng)驗(yàn)遷移能力.本節(jié)課以問題1的開放式提問為切入點(diǎn)，以方程為主線，師生一起經(jīng)歷了一元二次方程知識整體建構(gòu)的過程.在此過程中，學(xué)生不僅獲取了知識，更重要的是在體驗(yàn)中獲得了自主建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn).問題2，通過強(qiáng)化問題背景，增加含參變量，使得問題1中方程的知識網(wǎng)反復(fù)循環(huán)，提高認(rèn)知，從而增加自主建構(gòu)；問題3中，求最大面積，教師組織學(xué)生針對前期整理提出合理化建議，不僅能利用配方法解決，還可以用判別式法求最值，在反思和分享的過程中，讓學(xué)生圍繞“配方”“最值”等關(guān)鍵詞進(jìn)行描述.將基本問題的解決方法由普適性推向自主建構(gòu).這一過程，將學(xué)生原本零散的活動經(jīng)驗(yàn)通過反思和交流，在其頭腦中得以成型，并有效遷移到新的認(rèn)知活動中去，既顯化了學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生認(rèn)知深處的經(jīng)驗(yàn)從模糊變得清晰，以便更好地調(diào)用，也幫助學(xué)生完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

新課標(biāo)重視以學(xué)科一般觀念為核心，使課程內(nèi)容知識結(jié)構(gòu)化、方法體系化、思維深入化、經(jīng)驗(yàn)連續(xù)化，單元整體復(fù)習(xí)課，正是體現(xiàn)了這一特征.通過單元整體視角的備課和思路，進(jìn)行了合理的選擇，以及有效的整合、創(chuàng)新和改編，實(shí)現(xiàn)開發(fā)和實(shí)踐.結(jié)構(gòu)化教學(xué)，強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)性和延續(xù)性、素養(yǎng)的循環(huán)性，使得初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課在內(nèi)容上連續(xù)、思考中關(guān)聯(lián)，在經(jīng)驗(yàn)中延續(xù)，形成立體的知識結(jié)構(gòu)體系，使單元整體教學(xué)實(shí)現(xiàn)真正意義上的落地.

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