例析中考數學概率試題易錯點

摘要：對試題易錯題進行分析是提高教學質量的重要方式和手段.文章以中考數學概率試題為研究對象，通過典型試題分類、易錯點分析，得出該類試題常見的三種錯誤，并給出教學應對方法，以期提高學生的解題能力及信心.

關鍵詞：中考數學；概率試題；易錯點分析

分析中考數學概率試題的易錯點，不僅有助于教師識別學生在解題過程中的常見誤區，還能為針對性教學提供依據［1］.這一過程可以幫助學生深入理解概率的基本概念和計算方法，從而增強他們的邏輯思維能力和細致分析問題的能力.通過系統梳理和糾正錯誤，學生能夠建立扎實的數學基礎，提高解題的準確性與信心.

1 忽視幾何概率的區域比例關系

（2024年江蘇省蘇州市中考數學試題第11題）如圖1，正八邊形轉盤被分成八個面積相等的三角形，任意轉動這個轉盤一次，當轉盤停止轉動時，指針落在陰影部分的概率是________.

分析：本題考查幾何概率，首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件（A），然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率.

解析：因為轉盤被分成八個面積相等的三角形，其中陰影部分占3份，所以指針落在陰影區域的概率為3/8.故答案為3/8.

易錯點剖析：在解答這道概率題時，學生常常在兩個層面出現錯誤.首先，許多學生對幾何概率的基本概念理解不夠透徹，導致在計算陰影區域的面積時不準確.有些學生可能會誤認為只需簡單數數陰影區域的部分，而忽略了需要將其與整個轉盤的總面積進行比較，因而得出的概率是錯誤的.其次，在解答過程中，部分學生可能因粗心而在書寫概率時出現計算錯誤，比如將3/8誤寫為1/8或5/8，這種錯誤往往是由于化簡分數時出錯或混淆了陰影部分與其他部分的面積.

教學應對：針對上述錯誤，教師可以采取針對性措施進行改進.首先，在課堂教學中，可以通過實例演示幾何概型的概念，強調陰影區域與整個圖形面積的關系.利用可視化工具，如繪制轉盤圖，幫助學生直觀理解陰影部分所占整體的比例.在此基礎上，可以針對性地設計一些課堂練習，讓學生計算不同圖形的面積和相應的概率，鞏固對幾何概型的理解.其次，教師應定期進行錯題分析，鼓勵學生互相討論常見錯誤，以增強他們的注意力和細心程度.同時，通過增加難度適中的練習題，逐步提高學生的計算能力，幫助他們熟練掌握概率的計算方法，這些措施也有助于提升學生在解決類似概率問題中的準確性和自信心.

2 混淆概率計算與結果組合

（2024年江蘇省常州市中考數學試題第22題）在3張相同的小紙條上分別寫有“石頭”“剪子”“布”.將這3張小紙條做成3支簽，放在不透明的盒子中攪勻.

（1）從盒子中任意抽出1支簽，抽到“石頭”的概率是___________；

（2）甲、乙兩人通過抽簽分勝負，規定：“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”.甲先從盒子中任意抽出1支簽（不放回），乙再從余下的2支簽中任意抽出1支簽，求甲取勝的概率.

分析：本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法及概率公式是解答本題的關鍵.

解析：（1）由題意知，從盒中任抽1支簽，共有3種等可能的結果，其中抽到“石頭”的結果有1種，所以抽到“石頭”的概率是1/3.

（2）兩人的抽簽結果如表1所示.

由表1可知，共有6種等可能的結果，其中甲取勝的結果有（石頭，剪子），（剪子，布），（布，石頭），共3種，所以甲取勝的概率為3/6=1/2.

易錯點剖析：其一，許多學生在第（1）問中計算抽到“石頭”的概率時，雖然能夠正確列出所有結果，但有的學生可能因粗心或對概率概念的理解不足，而得出不正確的概率值，如錯誤地將其認為是23.這屬于計算失誤.其二，對于第（2）問，部分學生在列出可能結果時，可能會遺漏某些組合，或者誤解抽簽順序的影響.例如，他們可能沒有考慮甲抽到“石頭”后，乙的選擇范圍會減少，從而導致勝負情況的判斷錯誤，最終計算出不正確的取勝概率.

教學應對：針對這些錯誤，教師可以采取有效的教學措施.首先，在課堂上，教師應重視概率的基本概念，通過簡單的示例和圖示幫助學生理解抽簽的獨立性和結果的等可能性.在講解時，可以引導學生討論每次抽簽的可能性，并進行練習，增強他們的理解與記憶.對于第（2）問，教師應強調列表法和樹狀圖法的應用，提供清晰的步驟示范，幫助學生準確地列出所有可能的組合，并明確每種情況的勝負關系.同時，教師應鼓勵學生在練習后進行錯題分析，集體討論常見的錯誤，并讓學生互相檢查彼此的答案，以提高細心程度和分析能力.

3 忽視抽取方式及結果組合

（2024年江蘇省鎮江市中考數學試題第22題）3張相同的卡片上分別寫有中國二十四節氣中的“小滿”“芒種”“夏至”的字樣，將卡片的背面朝上.

（1）洗勻后，從中任意抽取1張卡片，抽到寫有“小滿”的卡片的概率等于_____；

（2）洗勻后，從中任意抽取2張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽到1張寫有“芒種”，1張寫有“夏至”的卡片的概率.

分析：此題考查的是用樹狀圖法求概率.用樹狀圖法可以不重復、不遺漏地列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為“概率=所求情況數與總情況數之比”.

解析：（1）因為3張相同的卡片上分別寫有中國二十四節氣中的“小滿”“芒種”“夏至”的字樣，所以在洗勻后從中任意抽取1張卡片，抽到寫有“小滿”的卡片的概率為1/3.

填故答案：13.

（2）把寫有“小滿”“芒種”“夏至”的3張卡片分別記為A，B，C，畫樹狀圖如圖2所示.

從中任抽2張，共有6種等可能的結果，其中抽到1張寫有“芒種”，1張寫有“夏至”的卡片的結果有2種，所以抽到1張寫有“芒種”，1張寫有“夏至”的卡片的概率為2/6=1/3.

易錯點剖析：第一，在第（1）問中，盡管大部分學生能夠正確計算抽到“小滿”的概率為1/3，但有些學生可能會誤解題意，認為由于有3張卡片，因此概率應為2/3，這反映出他們混淆了概率的基本概念.第二，對于第（2）問，學生在使用樹狀圖或列表法時，常常忽略了抽取順序的重要性.一些學生可能未能準確列出所有可能的組合，導致結果不完整.例如，他們可能會遺漏某些情況下的組合，或錯誤地認為組合可以重復.第三，部分學生在計算概率時可能會犯低級錯誤，比如在統計成功情況時混淆抽取順序，導致最終的概率計算不正確.

教學應對：針對這些錯誤，教師可以采取有效的教學措施.首先，在課堂上，教師應重視概率基本概念的講解，特別是強調不同抽取方式（放回與不放回）的差異，通過示例幫助學生理解如何計算基本概率.可以設計一些簡單的試驗，讓學生親自抽取卡片，觀察并記錄每種情況，增強他們的直觀理解.在講解第（2）問時，教師應重點講解樹狀圖的構建步驟，示范如何逐步列出所有可能的抽取結果，并明確每種情況下的勝負關系.為了確保學生掌握這部分內容，可以讓學生在小組內互相討論并共同繪制樹狀圖，通過這種互動式學習提高他們的主動性和參與感.此外，教師還應定期進行錯題分析，鼓勵學生總結錯誤原因，并通過針對性練習鞏固學生對概率計算的理解與應用.

參考文獻：

[1]孫湘鈴.核心素養視角下的中考“統計與概率”試題研究：以2019—2023年重慶卷為例[D].重慶：重慶三峽學院，2024.