課程標準下的中考尺規作圖試題的落實分析及教學啟示

摘要：從課程標準視角下分析中考數學尺規作圖試題的落實情況是改進教學的重要方式.文章以三道真題為研究對象，對試題落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》在初中階段的尺規作圖要求進行分析，得出三點教學展望.

關鍵詞：中考數學；課程標準；尺規作圖；教學展望

1 課程標準呈現

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在初中階段的尺規作圖部分強調通過尺規作圖等直觀操作方法，促使學生理解平面圖形的性質與關系；在經歷尺規作圖的過程中，增強動手能力，能夠想象出作圖操作形成的圖形，從而理解尺規作圖的基本原理與方法，促進空間觀念和想象力的發展［1］.

這一表述對中考數學試題的命制具有重要意義.首先，它要求試題設計更加注重學生的實踐操作能力，鼓勵考生通過實際作圖來理解和應用幾何知識，這將提升試題的綜合性和應用性.其次，這種強調動手能力和空間想象力的方向，有助于考查學生的深度思維能力，促進學生在解題過程中運用多種方法解決問題，從而培養創新意識和實際解決問題的能力.

2 真題分析

2.1 菱形的構造與全等三角形的證明

（2024年江蘇省連云港市第20題）如圖1，AB與CD相交于點E，EC=ED，AC∥BD.

（1）求證：△AEC≌△BED；

（2）用無刻度的直尺和圓規作圖：求作菱形DMCN，使得點M在AC上，點N在BD上.（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母.）

（1）證明：因為AC∥BD，所以

∠A=∠B，∠C=∠D.

在△AEC和△BED中，因為∠A=∠B，∠C=∠D，EC=ED，所以

△AEC≌△BED（AAS）.

（2）解：如圖2所示，菱形DMCN即為所求.

因為MN是CD的垂直平分線，所以MD=MC，DN=CN.由（1）的結論可知，∠A=∠B，AE=BE.又∠AEM=∠BEN，則△AEM≌△BEN，所以ME=NE.又CD⊥MN，所以CD是MN的垂直平分線，則DM=DN，CM=CN.所以DM=DN=CN=CM，即四邊形DMCN是菱形.

課標落實分析：該試題充分體現了《義務教育數學課程標準（2022年版）》在初中階段尺規作圖部分的要求.首先，在證明部分，考生需要通過平行線的性質和三角形全等的判定，掌握幾何圖形間的關系，進而理解平面圖形的性質.這與課程標準強調的“通過尺規作圖等直觀操作方法，促使學生理解平面圖形的性質與關系”相契合.考生在做題過程中，不僅需要利用平行線所產生的角的性質，還需結合已知的線段關系進行綜合推理，培養了他們的邏輯思維能力和空間想象能力.[JP]

其次，試題的作圖部分要求學生使用無刻度直尺和圓規來構建菱形DMCN，這直接對應了課程標準中提到的“在經歷尺規作圖的過程中，增強動手能力”.在作圖過程中，考生需應用垂直平分線的作法，準確定位點M和N，體現了操作的細致性與準確性.這不僅加深了學生對平面幾何圖形構造的理解，還鍛煉了他們的實際操作能力，促進了空間觀念的發展.

最后，該試題的設置鼓勵學生在動手實踐中想象作圖過程所形成的圖形，進一步深化了對尺規作圖基本原理與方法的理解.這一過程培養了學生的創新意識，使他們能夠靈活運用幾何知識解決實際問題.因此，該試題不僅考查了學生的理論知識，更強調了實踐操作的重要性，切實落實了課程標準的相關要求.

2.2 面積等分與中點作圖的實踐

（2024年寧夏第19題）如圖3，在△ABC中，D是邊BC的中點，以AB為直徑的⊙O經過點D，點P是邊AC上一點（不與點A，C重合）.請僅用無刻度直尺按要求作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.

（1）過點A作一條直線，將△ABC分成面積相等的兩部分；

（2）在邊AB上找一點P′，使得BP′=CP.

解析：（1）如圖4，連接AD.由點D是邊BC的中點和可得直線AD滿足條件.

（2）連接BP，交AD于點E，連接CE并延長交AB于點P′.利用圓周角定理可得到∠ADB=90°，則△ABC為等腰三角形，然后利用對稱性可得到點P′滿足條件.

課標落實分析：首先，題目要求過點A作一條直線，使得△ABC被分成的兩個三角形的面積相等.這個要求促使學生運用幾何知識，結合D是邊BC中點理解三角形的面積關系.這一過程不僅考查了學生對幾何圖形性質的理解，還培養了他們在實際作圖中的邏輯思維能力，符合課程標準中“理解平面圖形的性質與關系”的要求.其次，在第二小題中，要求在邊AB上找一點P′，使得BP′=CP，這一任務強調了作圖的細致性和準確性，學生必須通過合理的連接與延長線段來定位點P′，這不僅需要他們掌握圓周角定理，還需要他們熟悉線段平分的概念和操作.通過此作圖，學生在動手操作的過程中逐步增強了空間想象力和動手能力，符合課程標準中“在經歷尺規作圖的過程中，增強動手能力”的要求.此外，這道試題的設置還鼓勵學生將復雜作圖分解為多個簡單步驟，逐步解決問題.這種能力的培養是課程標準所強調的綜合素質提升的重要組成部分.通過這種方式，學生能夠在實際操作中體會到幾何的邏輯與美感，增強對圖形之間關系的理解.

2.3 矩形的構造與性質驗證

（2024年廣東省廣州市第19題）如圖5，Rt△ABC中，∠ABC=90°.

（1）尺規作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，連接AD，CD.求證：四邊形ABCD是矩形.

解析：（1）如圖6，作線段AC的垂直平分線交AC于點O，連接BO，線段BO即為所求.

（2）證明：由O是AC的中點，得AO=CO.因為將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，所以BO=DO，所以四邊形ABCD是平行四邊形.又∠ABC=90°，所以四邊形ABCD是矩形.

課標落實分析：在第（1）小題中，要求學生作出Rt△ABC中AC邊的中線BO，學生需要運用垂直平分線的知識，將幾何概念轉化為可視化的圖形，促進空間觀念的培養.通過這種實踐，學生不僅提升了動手能力，還加深了對中線特性及其在三角形中的應用的理解.在第（2）小題中，鼓勵學生運用平行四邊形的性質和矩形的判定定理，結合已知條件進行邏輯推理.特別是通過證明AO=CO和BO=DO，學生能夠明白矩形的對稱性及直角的定義，從而增強對圖形性質的直觀理解.

3 教學啟示

3.1 增強空間觀念與圖形理解

在實際教學中，教師應設計更多基于尺規作圖的任務，讓學生在動手操作中探索和發現幾何圖形的特征.通過將抽象的幾何概念具體化，學生能更好地掌握平行線、對稱性、角度關系等基本幾何知識，為后續學習打下堅實基礎.

3.2 促進動手能力與合作學習

在實際教學中，教師可以組織小組合作活動，讓學生共同探討和完成作圖任務.通過合作學習，學生可以相互借鑒和學習，提高作圖的準確性和效率.同時，教師可以引導學生討論各自的作圖思路，鼓勵他們提出不同的解決方案，從而激發他們的創造性思維和問題解決能力.

3.3 強化幾何性質與定理應用

在教學中，教師應注重將這些幾何定理與尺規作圖結合起來，通過實例講解其在作圖過程中的實際應用.同時，教師應鼓勵學生在作圖過程中自主探索和驗證這些幾何性質，在實踐中深刻理解定理的內涵與外延，從而培養數學思維能力與邏輯推理能力.

參考文獻：

[1]周煉.“新課標”下尺規作圖的命題變革與教學展望——以2022年江蘇省中考為例[J].中學數學雜志，2023（2）：28-32.