注重基礎 凸顯素養 發展能力

摘要：中考數學壓軸題能夠體現出學生數學思維發展水平的差異，有助于選拔性考核的實際需要.新課標提出培養學生的“三會”，凸顯學生數學核心素養.2023年成都中考數學第26題從教材出發，滲透從特殊到一般的研究方法，引導學生從相對熟悉的基礎型內容入手，不斷向思維的深處延伸.

關鍵詞：教材；素養；成都中考數學

圖形與幾何是初中數學的重要研究板塊，其中圖形性質、變換、坐標相互交織，從合情推理到演繹歸納推理的轉化，體現出對學生空間觀念、推理能力的考查.

1 試題呈現

2 試題解法

2.1 第（1）問解法

說明：法1和法2立足于基本圖形變換，通過構造常規輔助線得到旋轉型全等三角形，從而轉化已知線段，將線段AE，BF向BC轉化，進而得出結論.法3從圓的角度入手，結合托勒密定理將目標線段聯系在一起，通過簡單的代數運算可得結論.

2.2 第（2）問解法

2.3 第（3）問解法

說明：法1和法2均立足于旋轉相似，通過觀察點E運動到特殊情況時相應點M的位置，發現點M運動的規律，進而猜測點M的運動軌跡為直線型.借助演繹推理印證點M的運動軌跡確實為直線型，再求解運動路徑長.法3從代數方法入手，通過建立平面直角坐標系，借助大量的含參運算得到點M運動軌跡的參數方程，同樣可以得到點M的運動軌跡為直線型的結論，進而結合點E運動的特殊位置得到相應點M的端點坐標，從而依據兩點間距離公式求解.法3相較法1、法2而言，思維難度不高但運算難度較大，學生在考試規定時間內得到正確的參數坐標有一定困難.

3 試題評價

章建躍博士提出了“三個理解”，即理解數學，理解學生，理解教學.從這三個方面對試題進行分析可以更好地看到試題本身的學科背景、育人功能以及教學評價.

3.1 聚焦數學實質

數學是研究數量關系和空間形式的科學.通過對圖形和圖形關系的抽象，得到了數學的研究對象及其關系［1］.正如克萊因1872年在“愛爾蘭根綱領”中所提到的：幾何學研究幾何對象在變換群下保持幾何不變性質.從本題來看，從第（1）問到第（3）問均立足于變換，考慮以點D為旋轉中心，點E生成點F的過程即為一個相似變換.換一種說法，考慮到△EDF在變換過程中保持形狀不變（即角度固定，邊與邊的比值不變），點E的運動軌跡與點F的運動軌跡保持相似關系.基于變換的思想，本題的解法具有普遍意義，在三個問題中體現了解法的普適性.本題的數學實質即無論點D怎樣改變，點E生成點F的相似變換本質不變.改變點D的位置（引入參數n）更增加了試題本身的計算難度.從知識來看，從旋轉全等到旋轉相似的改變也都是相似變換中的比值變化而已.

3.2 凸顯思維過程

初中學生從點、線、面，角、三角形、多邊形和圓等不斷學習圖形與幾何范圍內的知識.從演繹證明、運動變化、量化分析研究圖形之間的基本性質和相互關系.范希爾理論中將幾何思維劃分為五個水平：直觀、分析、非形式的演繹、形式的演繹、嚴謹［2］.初中學生在學習過程中經過觀察、發現、探索、猜想、實驗、驗證、證明等不斷探尋數學內涵.本題三個問題起點低，落點高.從思想方法來看，本題注重考查學生從特殊到一般的思維過程.學生能夠比較直觀分析出問題（1）中的特殊條件，通過簡單的分析可以解決問題（1）.學生在面對問題（2）的過程中，既要觀察解決問題（1）的思考過程，更要猜想出變化規律，可以通過選定特殊位置觀察變化規律，也可以借助合情推理猜想得出結論，進而選擇方法進行嚴格的論證.在解決問題的過程中，學生需要經過獨立思考，將問題進行必要的轉化.從解決問題（1）（2）積累的活動經驗中總結、歸納思維方式，并提煉出解決問題（3）的解題策略.

3.3 提升關鍵能力

從教學實踐角度看本題的命制過程，可以發現其中思維含量特別豐富.如從問題（1）到問題（2）的轉換要求學生的思維能夠從特殊到一般.在教學中應增強學生自主探究的環節，切記不能以所謂的“必殺技”或者是“刷題”的方式取代學生的獨立探究過程.結合幾何圖形的特征，抽象歸納出內在的結構體系.在推理教學中，不斷培養學生重事實（公理、定理、真命題等）、合乎邏輯的思維品質.通過教學引導學生形成實事求是的科學觀念.問題（3）中的法3相對而言運算量較大，但運算能力是學生能夠用數學思維思考現實世界的關鍵能力，更是初中生后續學習過程中需要重點養成的能力.運算能力有助于學生客觀、理性地看待思維過程，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度.在教學中，對學生運算能力的培養需要堅持不懈.

4 教學思考

4.1 創設直觀豐富的幾何素材

初中學生的幾何直觀建立在具體形象的幾何圖形上，從中分析圖形的性質.如在“圖形的旋轉”引入過程中，準備風車、鐘表、摩天輪等

日常生活中常見物體運動的場景（如圖12）.通過創設這些案例引發學生直觀感知、觀察具體物體抽象出相應的幾何圖形，進而根據圖形的變化規律提煉出旋轉的概念以及旋轉的相關性質.

4.2 運用信息技術進行動態展示

在幾何教學過程中，通過運用幾何畫板、GGB等軟件對數學問題的變化情況進行動態演示.學生通過觀察圖形的變化過程，發現圖形所具有的內在特征，提出數學猜想，進而結合所學知識證明猜想的正確性.如對于問題（3）而言，

通過幾何畫板進行動態演示，追蹤點M的運動軌跡，如圖13.學生觀察點M的軌跡可以猜測點M的軌跡為直線型，進而借助演繹推理嚴格論證猜想的正確性.

4.3 凸顯解題過程的通性通法

數學教學離不開解題教學，學會用數學的眼光觀察現實世界，即提升抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新意識.解題過程是學生用數學的思維思考現實世界的表達方式，發展學生運算能力、推理能力，促使學生理解數學基本方法、結論，最終形成理性認識.通性通法注重數學方法的內在本質，即拋開表面干擾因素，能夠深層次看清問題的實質.借助一題多解、多題一解、多解歸一的教學形式激發學生用數學的語言表達現實世界的能力，形成理性客觀的數學品質.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之三：幾何直觀[J].中國數學教育，2022（Z3）：3-9.