一道幾何壓軸題的溯源與拓展

2023年武漢市九年級四月調(diào)考第23題源于教材習(xí)題的改編與拓展，突出基本方法和思維能力的考查，解法發(fā)散，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形變換中的變與不變，展現(xiàn)數(shù)學(xué)類比思想的魅力.中考備考只有深入分析真題，挖掘試題數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能把握命題的方向.

1 試題呈現(xiàn)

2 解法探究

本題為幾何壓軸題，題型結(jié)構(gòu)科學(xué)合理，圍繞初中核心知識考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與運算能力.本題由淺入深設(shè)置問題，區(qū)分度強，讓不同的學(xué)生體會到不同的解題感受，有很強的綜合度.

3 追本溯源

該試題源于人教版數(shù)學(xué)教科書八年級下冊第68頁第8題，如下：

如圖6所示，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，且DE=CF.要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？

不難發(fā)現(xiàn)，上述調(diào)考試題第（1）問來源于教材，基本上是原題，考查了正方形的基本性質(zhì)和三角形全等的簡單證明.此題的考查是風(fēng)向標(biāo)，提醒老師們平時教學(xué)要重視教材，落實雙基.

上述調(diào)考試題的第（2）問來源于該競賽試題，考查了正方形的基本性質(zhì)和三角形相似的證明.此問承接第（1）問，由CF垂直BE可以得到一組母子形相似（或者斜A相似），進而得到一組線段相似比，再通過相等的邊的變換，結(jié)合條件用三點定位法找準(zhǔn)相似的目標(biāo)三角形，從而完成等角的證明.

第（2）問的難點是通過等線段，將相似比進行傳遞，雖然難度上升，但如果利用化歸思想，從結(jié)論出發(fā)，不難找到要證明的相似三角形.教師教學(xué)時，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生逆向思考.

第（2）問還可以從對角互補得到F，G，B，A四點共圓，再結(jié)合可證四邊形FHBA為矩形，從F，G，H，B，A五點共圓的角度進行思考，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的靈活多變.

4 創(chuàng)新拓展

遷移拓展中求DF的長考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)類比思想和遷移能力.圖2將圖1中的正方形演變成了菱形，弱化條件“90°的角”，只保留了四邊相等的條件，屬于從特殊到一般的演變過程.有了圖1的經(jīng)驗，我們可以類比第（2）問的方法，由等角條件找到母子形相似的三角形，再結(jié)合“等線段”條件，將線段的相似比進行等量代換得到一組新的相似三角形，從而利用相似比列方程解決問題.

遷移拓展中求cos∠ADC的值充分體現(xiàn)了試卷的選拔功能，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力有較高的要求，試題入口寬，解題方法呈現(xiàn)多樣性.

上述調(diào)考試題充分體現(xiàn)了幾何綜合題的常用方法——“分解組合法”.笛卡兒說過：“將你所考慮的每一個問題，按照可以和需要，分成若干個部分，使它們更易于求解.”笛卡兒所說的就是分解法.用分解法劃歸待處理的問題，還必須利用組合將每個小問題疊加或合并，這樣才能完全實現(xiàn)化歸過程［1］.

以遷移拓展的解答加以說明.

根據(jù)問題條件和解題目標(biāo)，可以將圖2分解為四個基本圖形，如圖8～11：

在圖形的分解、條件或結(jié)論的組合中完成了解題目標(biāo)，幾何解題教學(xué)中應(yīng)該重視基本圖形的教學(xué)，幫助學(xué)生識別基本圖形，提煉基本圖形，并學(xué)會運用基本圖形.

參考文獻：

［1］[ZK（]桂文通.一道根植于課本的中考幾何題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（22）：58-60.