一道新教材習題的解法研究及思考

摘 要：在新教材背景下，以一道課后題為例，透過多重解法引發用向量研究平面幾何問題的基本思想方法，體會向量的工具性作用，體會其思想在變式中思維的擴展及高考為最終目標的核心指向.

關鍵詞：新教材；求角；向量

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0002-04

《普通高中數學課程標準（2017年版）》[1]指出，在必修課程與選擇性必修課程中，要突出幾何直觀與代數運算之間的融合.通過“形”與“數”結合，聚焦于學生數學學科核心素養養成.向量成為重要的核心內容，向量幾何思想方法成為研究幾何問題的基本思想方法.向量集“數”與“形”于一身，培養用向量研究平面幾何問題的思想非常重要，下面我們以一道新教材課后題為例進行研究.

1 題目呈現

題目 （新人教A版必修二第53頁課后習題12題）如圖1，在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，求∠MPN的余弦值[2].

本題選自人教A版必修二第六章6.4節課本53頁課后習題第12題.這道題蘊含的數學思想方法有數形結合思想、化歸與轉化思想、向量幾何思想等，同時體現了數學運算、直觀想象、邏輯推理的數學核心素養.

解答此題時，首先教會學生分析題目，找到“著手點”，即已知量表示未知量，具體可以從以下三方面分析設問，引發學生思考：（1）題目的已知條件有哪些？引導學生一一列出；（2）所求角的余弦值與已知條件的關系是什么？（學會轉化）；（3）求角的方法有哪些？啟發學生從向量數量積定義運算、構造余弦定理.通過以上的連續發問、層層遞進形式，提煉出本題的核心思想：平面幾何求角的通性通法即向量代數化，或者構造三角形.

2 解答題目

分析1 等價轉化為向量夾角∠MPN→〈AM，BN〉.

解法1 （通性通法）如圖2，設AB=c，AC=b，則b與c的夾角為60°.

又設AΜ，BΝ分別是BC，AC邊上中線，

所以AM=12（b+c），BN=AN-AB=12b-c=12（b-2c）.

于是|AM|2=［12（b+c）］2=14（b2+c2+2b·c）=394.

所以|AM|=392.

同理|BN|=212.

又AM·BN=12（b+c）·12（b-2c）=3，

所以cos∠MPN=AM·BN|AM||BN|=49191.

評析 學生只能從所求∠MPN本身出發，試尋求〈PM，PN〉的值，這與已知AB，AC的關系不直接，即要利用平面向量基本定理，運用已知量表示的基底AB，AC來表示PM，PN，但弊端是比較麻煩且難度系數較大.另外，學生可能會注意到向量共線條件∠MPN→〈PM，PN〉→〈AM，BN〉，這種解法對向量代數運算能力要求較高，運算易出錯.所以在教學中需注意重通法，即要注重學生理解概念、基本定理本質，強化重視數學運算、直觀想象、邏輯推理素養的培養與加強轉化思想的培養.

分析2 運用坐標法，直接求出對應向量坐標——幾何問題代數化.

解法2 以A為坐標原點，AC所在直線為x軸，垂直AC的直線為y軸，建立直角坐標系，如圖3.因為∠BAC=60°，AB=2，AC=5，

所以B（1，3），C（5，0）.圖3 坐標法示意圖

又因為點M，N分別為邊BC，AC中點，

由中點坐標公式得N（52，0），M（3，32）.

設P（x，y），因為點A，P，M和點B，P，N三點共線，

所以設AP=λAM，NP=μNB，

解得P（2，33）.

所以cos∠MPN=AM·BN|AM||BN|=49191.

評析 一般采用坐標法比較簡單，求出點的坐標，只需套用數量積求夾角公式即可，但此題未出現“直角”不易想到建坐標系.點A，B，C及M，N坐標易求出，點P坐標是困難點.在教學中可以引導學生建系基本原則：盡量將三角形的邊、點放在坐標軸，有特殊角30°，45°，60°的三角形也可建系.求點P坐標時注重通性通法（三點共線向量求解），如遇特殊線交點（如中線、垂線等）可利用自身性質特征或公式求解，注意基本公式要熟練，數學運算能力要過關.

分析3" 構造三角形， 運用初中所學平面幾何知識構造相似，利用余弦定理求夾角余弦值.

解法3 連接MN，如圖4.

因為∠BAC=60°，AB=2，AC=5，

在ΔABC中，由余弦定理，得

BC=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=19.

又因為M，N分別為BC，AC中點，

故ΔMPN∽ΔAPB.

所以MPPA=NPPB=12.

則BM=MC=12BC=192，

AN=NC=12AC=52.

由余弦定理，得

BN=AB2+AN2-2AB·ANcos∠BAN=212.

因為AB∥MN，

所以∠ANM=120°.

從而AM=AN2+MN2-2AN·MNcos∠ANM=392，

BP=23BN=213，

AP=23AM=393，

cos∠MPN=cos∠BPA=AP2+BP2-AB22AP·BP=49191.

評析 學生在已有初中幾何知識的基礎上，易想到連輔助線構三角形中位線，要解ΔMPN，必須求出三邊證相似.從而先利用已知條件解決邊BC，思路清晰，容易下手.但在兩次使用余弦定理中數值較大，運算易出錯.所以在日常教學中要注重基礎知識、基本技能，凸顯運算能力，注意書寫表達過程.

3 拓展延伸

3.1 改變邊上點的位置

變式1 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上點M，N滿足BM=2MC，AN=2NC，且AM，BN交于點P，求∠MPN的余弦值.

變式2 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上點M，N滿足BM=λMC，

AN=λNC，且AM，BN交于點P，求∠MPN的余弦值.

變式3 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上的高線AM，BN交于點P，求∠MPN的余弦值.

變式4 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC邊上的中線AM和AC邊上的高線交于點P，求∠MPN的余弦值.

3.2 改變角

變式5 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=45°，BC，AC邊上兩條中線AM，BN相交于點P，求∠MPN的余弦值.

變式6 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=θ，BC，AC邊上兩條中線AM，BN相交于點P，求∠MPN的余弦值的取值范圍.

變式7 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=θ，BC，AC邊上點M，N滿足BM=2MC，AN=2NC，且AM，BN交于點P，求∠MPN的余弦值的取值范圍.3.3 條件結論交換位置

變式8 在ΔABC中，已知AB=2，AC=4，BC，AC邊上兩條中線AM，BN相交于點P，cos∠MPN=77，求∠BAC的余弦值.

以上通過對數據的分析處理——變條件中邊角、位置以及深度思維考慮條件結論互換（逆命題角度），利用化歸轉化的數學思想很好地鞏固加強基本方法、基本概念、通性通法，強化學生邏輯推理能力、數學運算能力，形成體系學習的學習理念.

4 鏈接高考

題1 （2018年天津卷第8題）在如圖5的平面圖形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM=2MA，CN=2NA，則BC·OM的值為（" ）.

A.-15" B.-9" C.-6" D.0

題2 （2017年新課程全國Ⅱ卷第12題） 已知ΔABC是邊長為2的等邊三角形，P是平面ABC內一點，則PA·（PB+PC）的最小值是（" ）.

A.-2" B.-32" C.-43" D.-1

題3 （2020年新高考Ⅰ卷第7題） 已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內一點，則AP·AB的取值范圍是（" ）.

A.（-2，6）""" B.（-6，2）

C.（-2，4）D.（-4，6）

題4 （2018年江蘇卷第12題）如圖6，在ΔABC中，D是BC中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O，若AB·AC=6AO·EC，則ABAC的值是.

通過對以上高考題的研究分析，揭示了書本習題與高考的關聯.在研究課本習題及拓展高考題過程中，平面向量的問題中都蘊含化歸轉化的數學思想及解決問題的基本方法、基本概念，強調通性通法，均需強化學生的邏輯推理能力、數學運算能力，形成目標體系性學習的學習理念.

5 結束語

本題具有很好的研究價值，考查平面幾何向量法、“代數化”的通性通法，也很好地考查了學生的能力.新教材加大了平面向量的內容，以教材習題為導向研究高考.而“一題一課”對母題進行了適當變式拓展，形成微專題形式引導學生深度思維.所以在平面向量學習過程中，要特別關注學生能否形成由具體到抽象的思維品質，讓學生注重對數學本質的理解和思想方法的把握；要特別關注

能否提升學生的數學運算的核心素養；要特別關注轉化與化歸思想的滲透，學生能否選擇合適的基底表示其他向量或將研究的向量用基底表示，從而將問題簡化或者將向量坐標化，體會向量運用中不同數學對象的相互轉化關系.引導學生借助向量表征相關幾何元素，從而轉化成向量運算解決問題，讓學生體會用向量方法解決幾何問題的基本思路.把幾何問題轉化成運算問題，確定運算對象和運算方法，從而實現幾何問題轉化成代數問題，通過向量運算解決問題，深化了對向量運算的認識，發展了學生的數學運算素養，促進了數學思維發展，形成規范化思考問題品質.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書（A）版：數學（必修第二冊）[M].北京：人民教育出版社，2019.

［責任編輯：李 璟］