深究其惑 探究其解

摘 要：根據2021年全國新高考Ⅰ卷21題廣東省考生的評卷情況，對試題進行多角度分析后，給出了三種不同的解法.在教學過程中，注重開發學生的思維，鼓勵學生通過一題多解來不斷加深并拓展知識，有效擺脫思維定式的制約，倡導在解題中發現本質，開拓思維.

關鍵詞：開拓思維；探究問題；解題教學；數學核心素養

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0069-03

2021年全國新高考數學Ⅰ卷突出數學本質，重視理性思維，堅持素養導向、能力為重的命題原則，穩步推進改革，科學把握必備知識和關鍵能力的關系，以及數學題型的開放性和數學思維的開放性，穩中求新，對深化中學數學教學改革發揮了積極的導向作用.在數學教學中，學生經常困惑于找不到突破口，如何選擇變量？選擇哪種途徑？能不能行得通？不能確定選擇的方案能否解決問題？等等.在日常教學中教師應了解學生解題“卡”在哪里，要有針對性地解決學生的困惑，幫助學生跨過“坎”.下面以2021年全國新高考數學Ⅰ卷第21題為例談談在教學中如何助推學生順利達成目標，提升學生的數學運算素養.

1 考題呈現

題目 （2021年全國新高考Ⅰ卷21）在平面直角坐標系xOy中，已知點F1（-17，0）F2（17，0），MF1-MF2=2，點M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

2 評卷情況

從高考評卷的情況來看，此題全省平均分2.32，其中第（1）問平均分2.24，難度0.56；第（2）問平均分0.08，難度0.01，很多考生得0分，此題總平均分還是得益于第一問貢獻的.問題出在：一是考生聯立直線AB與曲線C的方程后，整理不出含有參數k1和t的關于x的一元二次方程；二是考生不知如何處理式子TA·TB=TP·TQ，卡住了很多考生，歸根到底是計算問題.運算是數學的童子功，但是運算素養并不是一蹴而就的，需要長期的培養.

3 試題解法分析

此題主要考查雙曲線的定義、雙曲線的性質、直線和雙曲線的位置關系.（1）利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點F1，F2為左、右焦點雙曲線的右支，求出a，b的值，即可得出軌跡C的方程；（2）設點T（12，t），設直線AB的方程為y-t=k1（x-12），設點A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線AB與曲線C的方程，列出韋達定理，求出TA·TB的表達式，設直線PQ的斜率為k2，同理可得出TP·TQ，由TA·TB=TP·TQ化簡可得k1+k2的值.

3.1 第（1）問解析

解析 因為MF1-MF2=2lt;F1F2=217，

所以軌跡C是以點F1，F2為左、右焦點的雙曲線的右支.

設軌跡C的方程為x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），則2a=2.

可得a=1，b=17-a2=4.

所以軌跡C的方程為x2-y216=1（x≥1）.

當然也有部分考生利用兩點間的距離公式，然后利用兩次平方法求得，此方法對運算能力要求較高.第（1）問由于部分考生漏寫了限制條件x≥1而導致扣分，反映出部分考生對雙曲線的定義掌握得不夠牢固.

3.2 第（2）問解析

解法1 （代數法）設點T（12，t），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點，不妨設直線AB的方程為

y-t=k1（x-12），

即y=k1x+t-12k1.

聯立y=k1x+t-12k1，16x2-y2=16， 消去y整理，得

（k21-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-12k1）2+16=0.

設點A（x1，y1），B（x2，y2），則x1gt;12且x2gt;12.

由韋達定理，得

x1+x2=k21-2k1tk21-16，x1x2=（t-k1/2）2+16k21-16.

則TA·TB=（1+k21）·x1-12·x2-12

=（1+k21）·（x1x2-x1+x22+14）

=（t2+12）（1+k21）k21-16.

設直線PQ的斜率為k2，同理可得

TP·TQ=（t2+12）（1+k22）k22-16.

因為TA·TB=TP·TQ，即

（t2+12）（1+k21）k21-16=（t2+12）（1+k22）k22-16.

整理可得k21=k22.

即（k1-k2）（k1+k2）=0.

顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

因此直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

點評 高考評卷時發現部分考生知道設點T的坐標和直線AB的方程，但是聯立直線AB與曲線C的方程后，整理不出含有參數k1和t的關于x的一元二次方程，只有極小部分考生能夠準確得到關于x的一元二次方程，而又不能準確算出TA·TB和TP·TQ，此方法運算量較大，容易出錯，因而得分不多.

解法2 （參數方程法）設點T（12，t），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點.因而設直線AB，PQ的傾斜角分別為α和β（α≠β），則直線AB的參數方程為

x=12+tcosα，y=m+tsinα.（t為參數）

代入曲線C的方程可得關于t的一元二次方程為（16cos2α-sin2α）t2+（16cosα-2msinα）t-m2-12=0.

顯然16cos2α-sin2α≠0，否則過點T的直線平行于漸近線，不可能與C有兩個交點.根據直線參數方程中參數的幾何意義可知

TA·TB=t1t2

=-m2+1216cos2α-sin2α

=-m2+1217cos2α-1.

同理可得TP·TQ=-m2+1217cos2β-1.

由于TA·TB=TP·TQ，

于是17cos2α-1=17cos2β-1.

可得cosα+sinα=0.

則α=π-β.

因此直線AB與直線PQ的斜率互為相反數，兩者斜率之和為0.

點評 采用參數方程的方法運算量較小，相對來說容易得高分，但是對考生的能力要求較高.

解法3 （二次曲線系法）設直線AB，PQ的斜率分別為k1和k2，令點T（12，n），則這兩條直線上所有點的并集構成的點集對應的曲線方程可設為C1：（k1x-y+n-12k1）（k2x-y+n-12k2）=0.

進一步，經過C1與C的交點即A，B，P，Q的曲線系方程可表示為C2：（k1x-y+n-12k1）（k2x-y+n-12k2）+（16x2-y2-16）=0.

又因為TA·TB=TP·TQ，由相交弦定理可知A，B，P，Q四點共圓，故C2中交叉項系數和為0.

即k1+k2=0.

因此直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

點評 利用曲線系和相交弦定理的方法運算量很小，簡潔明了，但思維量很大.對學有余力、基礎扎實和能力較強的學生來說不失為一種好方法.

4 結束語

高三復習主要是解題教學，樹立正確的解題教學觀很重要.解題教學首要目的是鞏固概念，最終目的是學會思考，教學中要培養學生良好的解題習慣［1］，從運算的準確性、熟練性、

合理性、簡潔性、規范性入手，努力提升學生的數學運算素養.

我們要重視學生獨立思考、邏輯推理、數學應用、靈活應變能力、數學閱讀和表達等關鍵能力的培養.不要盲目追求題量，解題關注的是質量，題不在多，典型就行；題不在難，有思想則靈.通過解題，我們能夠一葉知秋，拓展思維，提高解題能力.

教師應該千方百計提高學生學習的主動性，開展“以學生自主活動為主”的課堂教學，讓學生獨立自主地進行探究點.更重要的是，教師要以學生學習為主線，關注學生問題生成、提出、分析和解決的全過程，指導并促使學生由淺入深、由表及里地進行學習探究，進而形成獨立思考、實踐和學習的能力.

參考文獻：

［1］ 江中偉.重視基礎提煉方法提升數學運算素養[J].中小學數學，2019（09）：52-54.

［責任編輯：李 璟］