對一道對數(shù)比較大小問題的思考與探究

摘 要：文章研究了2020年全國Ⅲ卷理科第12題的解法，除了常見的基本不等式和糖水不等式解法外，還得到了一種通過構(gòu)造函數(shù)比較對數(shù)大小的方法，并將這種方法推廣和運用到更為復(fù)雜的對數(shù)比較大小問題上.

關(guān)鍵詞：糖水不等式；基本不等式；構(gòu)造函數(shù)

中圖分類號：G632"" 文獻標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0061-03

比較大小一直是高考的熱點和難點問題，如2022年新高考Ⅰ卷第7題、2021年全國乙卷理科數(shù)學(xué)第12題.這類問題?？汲Ｐ?，綜合性較強，涉及不等式、函數(shù)、代數(shù)變形等多方面的數(shù)學(xué)知識及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，具有涉及面廣、立意新、角度新、解法靈活多樣等特點，能夠從多方面考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力，充分培養(yǎng)和發(fā)展同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)據(jù)處理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

1 試題展示

題目 已知55lt;84，134lt;85，設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（" ）.

A.alt;blt;c"" B.blt;alt;c

C.blt;clt;aD.clt;alt;b

本題是2020年全國Ⅲ卷理科第12題，主要考查對數(shù)比較大小問題，其常見求解思路是借助不等式相關(guān)知識（基本不等式，糖水不等式）、中間值或者構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性求解，下面我們嘗試從不同的角度求解該問題.

2 解法研究

解法1 由55lt;84，得lg55lt;lg84.

即5lg5lt;4lg8.

所以log85=lg5lg8lt;45.

所以blt;45.

同理由134lt;85，得lg134lt;lg85.

即4lg13lt;5lg8.

所以log138=lg8lg13gt;45.

所以cgt;45.

所以blt;c.

因為a-b=log53-log85=lg3lg5-lg5lg8=lg3lg8-（lg5）2lg5lg8，

由基本不等式，得

lg3lg8lt;（lg3+lg82）2=lg224lt;lg25，

所以alt;b.

故alt;blt;c.

故選A.

其實也可以不用題目給的條件.

解法2 糖水不等式：b+ma+mgt;ba（agt;bgt;0，mgt;0）.

a=log53=lg3lg5lt;lg3+lg（8/5）lg5+lg（8/5）=lg（24/5）lg8lt;

lg5lg8=log85=b，

a=log53=lg3lg5lt;lg3+lg（13/5）lg5+lg（13/5）=lg（39/5）lg13lt;lg8lg13=log138=c，

故選A.

點評 原題給出條件55lt;84，134lt;85，在我們用了糖水不等式后，根據(jù)選項的設(shè)計，該條件就可以去掉，當(dāng)然如果要比較b，c的大小，僅用糖水不等式是不夠的：b=log85=lg5lg8lt;lg5+lg（13/8）lg8+lg（13/8）=lg（65/8）lg13gt;lg8lg13=log138=c.

如果不借助條件55lt;84，134lt;85和選項，能否得到答案呢？由題目的分析知，關(guān)鍵是比較b=log85，c=log138的大小，由于基本不等式和糖水不等式均失效，因此需要另辟蹊徑，

文獻[1]從二分法的角度給出了試題的中間值

4/5的背景與來源，解法稍顯繁瑣，尤其是當(dāng)需要比較的兩個對數(shù)非常接近時，其解法不一定可行（或者非常繁瑣）［1］.

那么能否構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求解呢？

由于b=ln5ln8，c=ln8ln13，為了將這兩個值看作某個函數(shù)的函數(shù)值，我們將分母的數(shù)字8和13看作自變量x，然后需要將分子中的數(shù)字5和8看作x的函數(shù)，即需要構(gòu)造過點（8，5）和（13，8）的函數(shù)，為方便起見，該函數(shù)用過這兩點的一次函數(shù)即y=15（3x+1），于是構(gòu)造函數(shù)

f（x）=ln（3x+1）-ln5lnx（x≥1），

則b=ln5ln8=f（8），c=ln8ln13=f（13）.

則f ′（x）=3xlnx-（3x+1）［ln（3x+1）-ln5］x（3x+1）ln2x.

令g（x）=3xlnx-（3x+1）［ln（3x+1）-ln5］，

則g′（x）=3ln5x3x+1gt;0.

所以g（x）在［1，+∞）單調(diào)遞增.

從而g（x）≥g（1）=4ln54gt;0.

于是f ′（x）gt;0.

即f（x）在［1，+∞）單調(diào)遞增.

故b=ln5ln8=f（8）lt;c=ln8ln13=f（13）.

3 方法應(yīng)用

例題 比較a=log23，b=log722的大小.

經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)，基本不等式和糖水不等式都不能解決上述問題，因此繼續(xù)采用上述構(gòu)造函數(shù)方法求解.為此先構(gòu)造過點（2，3）和（7，22）的直線y=15（19x-23），再構(gòu)造函數(shù)

f（x）=ln（19x-23）-ln5lnx，

則a=log23=f（2），b=log722=f（7）.

我們先直接借助信息技術(shù)作出該函數(shù)的圖象，如圖1.

圖1 函數(shù)f（x）=ln（19x-23）-ln5lnx的圖象

容易發(fā)現(xiàn)，2和7處于該函數(shù)不同的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，因此無法通過這種方式來比較大小.

為此聯(lián)想到a=log23=log827，這樣是不是可以將它們轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)呢？

為此先構(gòu)造過點（8，27）和（7，22）的直線y=5x-13，再構(gòu)造函數(shù)

f（x）=ln（5x-13）lnx，

則a=log23=f（8），b=log722=f（7）.

我們先直接借助信息技術(shù)作出該函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象（為了看得更清楚，我們將導(dǎo)函數(shù)的縱坐標(biāo)放大100倍），如圖2.

圖1 函數(shù)f（x）=ln（5x-13）lnx與其導(dǎo)函數(shù)的圖象

很遺憾的是，導(dǎo)函數(shù)的零點近似值為7.0181（雖然很接近7），但是7和8仍然處于不同的單調(diào)區(qū)間！

同樣借助信息技術(shù)算出a=log23≈1.584 96，

b=log722≈1.588 48，b-a≈0.003 52，兩者非常接近，要比較其大小，比較困難！

看來通過一次函數(shù)擬合達不到想要的效果，我們不妨換一個二次函數(shù)試試：

構(gòu)造過點（8，27）和（7，22）的二次函數(shù)y=13（x2+17），再構(gòu)造函數(shù)

f（x）=ln（x2+17）-ln3lnx，

則a=log23=f（8），b=log722=f（7）.

我們先直接借助信息技術(shù)作出該函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象（為了看得更清楚，我們將導(dǎo)函數(shù)的縱坐標(biāo)放大100倍），如圖3.

圖3 函數(shù)f（x）=ln（x2+17）lnx與其導(dǎo)函數(shù)的圖象

可以看到，導(dǎo)函數(shù)的零點近似值為8.057 2，這說明7和8均處于f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，因此有f（7）gt;f（8），即bgt;a.

下面證明f（x）在［3，8］內(nèi)單調(diào)遞減.

f ′（x）=2x2lnx-（x2+17）［ln（x2+17）-ln3］x（x2+17）ln2x，

令g（x）=2x2lnx-（x2+17）［ln（x2+17）-ln3］，

則當(dāng)x∈［3，8］時，g′（x）=2xln3x2x2+17gt;0，函數(shù)g（x）在［3，8］內(nèi)單調(diào)遞增.

又g（8）=3（128ln2-81ln3）lt;3（128×0.694-81×1.098）=-0.318lt;0，故當(dāng)x∈［3，8］時，g（x）≤g（8）lt;0，即f ′（x）lt;0，因此f（x）在［3，8］內(nèi)單調(diào)遞減.

點評 上述證明過程雖然是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模杂羞z憾的是利用了估計值ln2lt;0.694，ln3gt;1.098.

其實也可以不用借助這個估計值：2128=（28×28）8=65 5368=4 294 967 2964lt;（4.3×109）4=341.8 801×1036，

381=（273）9=（19 6833）3=7 625 594 484 9873gt;（7.6×1012）3=438.976×1036.

至此，我們比較圓滿地解決了上述比較大小的問題.

4 結(jié)束語

構(gòu)造函數(shù)法是比較大小常用的方法，此類方法在高考中也是?？汲Ｐ?，比如2021年全國乙卷第12題需要引進變量構(gòu)造不同的函數(shù)比較大小，而本文構(gòu)造函數(shù)的方式和方法也很獨特，值得我們研究和學(xué)習(xí).總之，我們要從不同的角度去思考和解決問題，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的思維.

參考文獻：

［1］ 代紅軍，何波.2020年全國III卷理科第12題新解及命題思路探究[J].數(shù)理化解題研究，2023（31）：41-43.

［責(zé)任編輯：李 璟］