對2023年高考數(shù)學全國甲卷文科第20題的解題思考

摘 要：以2023年高考數(shù)學全國甲卷文科第20題為載體，呈現(xiàn)試題與參考答案，剖析參考答案的思維過程，并從試題的考查目標和亮點等角度給出簡析，明確試題導向.據(jù)此，筆者給出常見的解法，并結合教學實踐給出思考.

關鍵詞：數(shù)學思維；邏輯推理；目標引領；一題多解

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0086-05

數(shù)學是思維的學科.學習數(shù)學的目的在某種意義上講就是鍛煉數(shù)學的思維，即通過數(shù)學學習，學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.高考題是命題專家集體智慧的結晶，對中學數(shù)學的教與學具有較好的示范與引領作用.研習高考真題，可以明晰教與學的方向，落實國家的教育方針與政策，促進學生綜合素養(yǎng)的全面提升.下面以2023年高考數(shù)學全國甲卷文科第20題為例，給出解答、評析與思考.

1 試題與參考答案呈現(xiàn)

題目 （2023年高考數(shù)學全國甲卷文科第20題）已知函數(shù)f（x）=ax-sinxcos2x，x∈（0，π2）.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）+sinxlt;0，求a的取值范圍.

命題組提供的參考答案如下：

解法1 （1）當a=1時，f ′（x）=cos3x+cos2x-2cos3x，

當x∈（0，π2）時，f ′（x）lt;0，f（x）在區(qū)間（0，π2）單調遞減.

（2）（下文稱解法1）當a≤0時，

f（x）+sinx=ax+sinx（1-1cos2x）lt;0；

當agt;0時，因為當x∈（0，π2）時，sinxlt;x，

所以f（x）+sinxgt;sinx·（a+1-1cos2x）.

因為agt;0，所以0lt;1a+1lt;1.

取x0∈（0，π2），滿足cos2x0gt;1a+1.

從而f（x0）+sinx0gt;0.

綜上，a的取值范圍為（-∞，0］.

第（1）問由cosx的有界性，易知f ′（x）lt;0，無需具體變形到

f ′（x）=（cosx-1）（cos2x+cosx+2）cos3x.

第（2）問解法1根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性將f（x）+sinx（以下記為g（x））中三項分成兩組ax，-sinxcos2x+sinx，其中-sinxcos2x+sinx=sinx（1-1cos2x）lt;0，根據(jù)符號法則可知a≤0時符合題意，明確了參數(shù)的分類討論標準，即證明當a≤0時均滿足題意；當agt;0時，g（x）中的三項有兩項含有sinx，故嘗試將x用sinx替換配湊公因式.基于常用結論“當x≥0時，x≥sinx；當xlt;0時，xlt;sinx，當且僅當x=0時取等號”，將g（x）放縮成函數(shù)y=sinx（a+1-1cos2x），結合目標通過解不等式找出一個反例，即證明了當agt;0時均不滿足題意，從而得到結論的充要條件.

2 試題簡析

本題以三角函數(shù)、多項式為背景，構造了所要研究的函數(shù).通過對函數(shù)性質的研究，試題全面考查了導數(shù)及其應用，這也是中學教學中的重點與難點.試題的第（1）問面向全體考生，體現(xiàn)試題的基礎性，利用導數(shù)就能得到函數(shù)的單調性，考查了考生通過導數(shù)解決問題的能力、計算與轉化的能力，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的數(shù)學思想在中學教學中的應用.試題的第（2）問體現(xiàn)了試題的選拔性，通過常用的函數(shù)不等式、放縮得到所證的不等式，考查了化歸與轉化的能力、分類討論的能力、邏輯推理能力、數(shù)學運算能力，具有較好的選拔功能[1].本題具有以下亮點：（1）試題巧妙地將三角函數(shù)與多項式函數(shù)結合，討論函數(shù)之間的不等問題.三角函數(shù)的導數(shù)是中學教學的重點與難點，具有一定的綜合性.（2）試題設計新穎，緊扣課程標準，全面考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等與導數(shù)有關的問題.試題計算量小，要求考生多思考、少計算，力圖引導教學，符合基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的考查要求，具有較好的選拔能力.（3）試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，使理性思維深度、知識掌握程度、運算求解嫻熟程度不同的考生都能得到充分的展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數(shù)學教學具有良好的引導作用.

3 試題的其他解法

解法2 由題意f（x）+sinxlt;0，

即

ax-sinxcos2x+sinxlt;0.記g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，x∈（0，π2）.

當a≤0時，ax≤0，-sinxcos2x+sinx=-sinxtan2xlt;0，符合題意；

當agt;0時，

g′（x）=a-cos2x+2sin2xcos3x+cosx

=cos4x+acos3x+cos2x-2cos3x，

記p（x）=cos4x+acos3x+cos2x-2，則

p′（x）=-sinxcosx（4cos2x+3acosx+2）lt;0.

所以函數(shù)p（x）在區(qū)間（0，π2）上單調遞減.

因為p（0）=agt;0，

p（π2）=-2lt;0，

所以存在x1∈（0，π2），使得g′（x1）=0.

當x∈（0，x1）時，g′（x）gt;0，此時g（x）單調遞增，故有g（x1）gt;g（0）=0，不合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法2中，當agt;0時，對g（x），p（x）分別求導從而確定函數(shù)g（x）的單調性，此時g（x）lt;0的充要條件為［g（x）］max=g（x1）lt;0，但g′（x）的隱零點x1的函數(shù)值g（x1）難以確定，抓住端點的函數(shù)值進行排除，事半功倍.

解法3 記g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，且g（0）=0，

g′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx，

則g″（x）=sinx（cos2x-6）cos4x-sinx，x∈（0，π2），

有sinxgt;0，cos2x-6lt;0.

故g″（x）lt;0.

所以g′（x）在區(qū)間（0，π2）上單調遞減.

所以g′（x）lt;g′（0）=a.

當g′（0）=a≤0時，g（x）在區(qū)間（0，π2）上單調遞減，所以g（x）lt;g（0）=0成立.

當g′（0）=agt;0時，g′（π2）→-∞，則存在x1∈（0，π2），使得g′（x1）=0，當x∈（0，x1）時，g′（x）gt;0，此時g（x）單調遞增，故有g（x1）gt;g（0）=0，不合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法3對函數(shù)g（x）求一階導數(shù)、二階導數(shù)，判斷其單調性與凹凸性，g（x）在區(qū)間（0，π2）上的凹凸性與參數(shù)a無關，始終為上凸函數(shù).合理準確地研究函數(shù)的性質是解題的關鍵.解法3直接對g′（x）求導涉及分式，計算繁瑣一點，可得出g（x）的凹凸性和g′（x）的單調性.解法2對p（x）（分式函數(shù)g′（x）的分子）求導，只能得到g′（x）的單調性.

解法4 記g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，

當x∈（0，π2）時，可證xgt;sinx.

當a≤0時，由x∈（0，π2），得ax≤asinx.

所以g（x）≤asinx-sinxcos2x+sinx.

記q（x）=asinx-sinxcos2x+sinx，則

q（x）=sinx（a-tan2x）lt;0，

符合題意.

當agt;0時，由x∈（0，π2），得

axgt;asinx.

所以g（x）gt;asinx-sinxcos2x+sinx.

記q（x）=asinx-sinxcos2x+sinx，則

q（x）=-sinx（tanx-a）（tanx+a）.

故存在x2∈（0，π2），使得tanx2-a=0.

從而當x∈（0，x2）時，g（x）gt;q（x）gt;0，不合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍（-∞，0）.

解法4中g（x）的三項有兩項含有sinx，故嘗試將x用sinx替換配湊公因式.根據(jù)結論“當x∈（0，π2）時，xgt;sinx”將函數(shù)g（x）放縮成函數(shù)q（x），通過研究函數(shù)q（x）的性質得到函數(shù)g（x）的相關性質.

解法5 由題意f（x）+sinxlt;0，即

axlt;sinxcos2x-sinx，x∈（0，π2）.

記φ（x）=sinxcos2x-sinx，x∈（0，π2），

φ′（x）=2-cos2xcos3x-cosx，

φ″（x）=sinx（6-cos2x）cos4x+sinxgt;0，

故函數(shù)φ（x）在區(qū)間（0，π2）上為下凸函數(shù)，φ′（0）=0，所以a≤0.

因此實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法5分離函數(shù)，轉化為直線y=ax與函數(shù)φ（x）在區(qū)間（0，π2）的圖象之間的上下位置關系，探求得到φ（x）在區(qū)間（0，π2）上為下凸函數(shù).y=ax為經(jīng)過點（0，0），斜率為a的直線，而函數(shù)φ（x）在x=0處的切線為y=0，根據(jù)下凸函數(shù)的圖象與性質可得結論.

解法6 由題意f（x）+sinxlt;0，即

alt;（sinx）/（cos2x）-sinxx，x∈（0，π2）.

記m（x）=（sinx/cos2x）-sinxx，x∈（0，π2），則

m′（x）=x-2［（2-cos2xcos3x-cosx）x-（sinxcos2x-sinx）］，

記n（x）=（2-cos2xcos3x-cosx）x-（sinxcos2x-sinx），x∈（0，π2），則

n′（x）=（2-cos2xcos3x-cosx）′x+（2-cos2xcos3x-cosx）-（sinxcos2x-sinx）′=［sinx（6-cos2x）cos4x+sinx］xgt;0.

因此，函數(shù)n（x）在區(qū)間（0，π2）上單調遞增，n（x）gt;n（0）=0，即m′（x）gt;0，則函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）上單調遞增.

由洛必達法則，得

limx→0+m（x）=limx→0+（sinx）/（cos2x）-sinxx

=limx→0+［（sinx）/（cos2x）-sinx］′x′

=limx→0+（sinxcos2x-sinx）′

=limx→0+（2-cos2xcos3x-cosx）

=0.

所以a≤0.

因此實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法6分離參數(shù)a，轉化為直線y=a與函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）的圖象之間的上下位置關系，由于y=a為水平直線，故不涉及函數(shù)m（x）的凹凸性，只需求出函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）上的最小值（或下確界）.由于函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間（0，π2）上不存在最小值，用洛必達法則求出函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）上的下確界.

解法7 由題意f（x）+sinxlt;0，即

ax-sinxcos2x+sinxlt;0.

記g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，

因為x∈（0，π2），且g（0）=0，

所以g（x）lt;0的必要條件是g′（0）≤0.

因為g′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx，

所以必有g′（0）=a≤0.

下面證明當a≤0時，g（x）lt;0在區(qū)間（0，π2）恒成立.

當x∈（0，π2），a≤0時，

g（x）lt;-sinxcos2x+sinx.

記h（x）=-sinxcos2x+sinx，

則h（0）=0.

h′（x）=cos4x+cos2x-2cos3x

=（cos2x+2）（cos2x-1）cos3x，

當x∈（0，π2）時，h′（x）lt;0，所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，π2）上單調遞減.

故h（x）lt;h（0）=0.

所以g（x）lt;h（x）lt;0.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法7根據(jù)g（0）=0，結合函數(shù)g（x）的連續(xù)性，利用“端點效應”得到結論的必要條件g′（0）=a≤0，然后再加以篩選或驗證，優(yōu)化了解題過程.當a≤0，x∈（0，π2），根據(jù)符號法則可知ax≤0（本質是將y=ax“放大”為y=0）.

4 教學思考

4.1 目標引領方向，系統(tǒng)思維優(yōu)化過程

做任何事情都要明確目標與任務.第（2）問是求g（x）lt;0的參數(shù)a的取值范圍，自然的想法是研究函數(shù)g（x）的單調性，數(shù)形結合得出結論.但g（x）的單調性可能受參數(shù)a的取值范圍的影響，此時需要分類討論，即解法3.分析函數(shù)g（x）的各組成部分，嘗試從不同角度得到各局部與整體的性質，采用系統(tǒng)思維優(yōu)化解題過程.當agt;0解法2通過p（x）的符號確定函數(shù)g（x）的單調性.

4.2 重視邏輯推理，強化恒等變形

解法1與解法4中當agt;0時，將函數(shù)g（x）縮小為函數(shù)q（x），再分別證明存在x0使得q（x0）gt;0，本質是利用不等式的傳遞性證明函數(shù)的大小關系.通過充要條件直接求參數(shù)范圍一般不能放縮函數(shù).確定一個多項式的符號，往往將其轉化為若干個因式乘積或平方和的形式，離不開（因式分解、分子有理化等）恒等變形的能力.如解法1中f ′（x）=（cosx-1）（cos2x+cosx+2）cos3x能有效提高學生的因式分解能力，解法2中g′（x）=a-cos2x+2sin2xcos3x+cosx寫成g′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx的形式使后續(xù)求導更簡捷.

解法5與解法6均從數(shù)形結合思想的角度直接求結論的充要條件，其中解法5需要用到函數(shù)φ（x）的凹凸性，解法6中n（x）在區(qū)間（0，π2）的最小值不存在是前進的障礙.解法7利用必要性策略，根據(jù)特殊與一般的關系，選擇某一個切入點先排除一定不滿足結論的參數(shù)a的部分取值，進而對參數(shù)a的余下的值進行篩選.特別情況下，通過必要性策略得到的結果與結論相同，但驗證的過程必不可少.

4.3 明晰解題依據(jù) 選擇合適解法

高考命題不斷完善考試內容，創(chuàng)新考查形式，豐富評價手段，強化保障措施，取得了一系列突破性進展，主要體現(xiàn)在以下三個方面：（1）落實立德樹人，實現(xiàn)高考由考試評價工具到全面育人載體的轉變；（2）科學服務選才，實現(xiàn)高考由“解題”到“解決問題”的轉變；（3）有效引導教學，實現(xiàn)高考由“以綱定考”到“考教銜接”的轉變.培養(yǎng)學生數(shù)學思維，提升學生數(shù)學素養(yǎng)是應對新高考的唯一選擇，也只有這樣，才能以不變應萬變.教學中應避免獵奇心理、片面地為“一題多解”而刷題找依據(jù)和深挖洞、曲解命題意圖為搞“二級結論”尋找理由等.以上給出7種解法，教師要明確各種解法的依據(jù)，根據(jù)學生的具體情況至多選擇2～3種解法.解法2更貼近學生認知，理應強調.解法1看似新穎，大道至簡，其中常用結論“當x≥0時，x≥sinx；當xlt;0時，xlt;sinx；當且僅當x=0時取等號”根植教材，引領我們回顧教材.解法7以局部與整體為切入點，壓縮了參數(shù)的給值范圍，提高了解題效率，引導學生深度思考數(shù)學解題的邏輯.

5 結束語

本題第（2）問為含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，是高考的重點和難點.其解法靈活多樣，我們要弄清各種解法之間的差異，構建各種解法之間溝通的橋梁.知其然更要知其所以然，并知何由以知其所以然.促進從知識的積累到經(jīng)驗的提升，從基本能力的提高到數(shù)學綜合素養(yǎng)的全面提升.

參考文獻：

［1］ 教育部教育考試院.高考試題分析（2024年版）數(shù)學[M].北京：語文出版社，2023.

［責任編輯：李 璟］