圓錐曲線中三角形面積公式的探析與應用

摘 要：圓錐曲線中的三角形面積公式可用不同的元素來表征：用直線斜率表征三角形面積公式；用向量為基本量表征三角形面積關系；用頂點坐標表征三角形面積公式.文章舉例說明圓錐曲線中三角形面積公式的應用.

關鍵詞：斜率三角形面積公式;向量三角形面積公式；坐標三角形面積公式

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0072-04

圓錐曲線中含有三角形面積問題是各類考試中的熱點問題，但由于計算量大，常使運算過程“卡殼”而無功而返.這與三角形面積公式的表征有很大的關系，用直線斜率表征三角形面積公式——斜率三角形面積公式；用向量為基本量表征三角形面積關系——向量三角形面積公式；用頂點坐標表征三角形面積公式——坐標三角形面積公式.用斜率三角形面積公式是一種解題思維慣性， 用向量三角形面積公式是一種思維遷移，用坐標三角形面積公式是一種解題思維創新，對于頂點在原點的三角形用坐標三角形面積公式，能很大程度上減少運算量，易于形成“生動·互動”課堂，實現思維進階，從而提高解題效率.

1 預備知識

公式：平面上點A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），則△AOB的面積：

S△AOB=12x2y1-x1y2=12x1y2-x2y1，此三角形公式稱為“坐標三角形面積公式”.

證法1 （把圖形進行切割的方法）如圖1，設A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），過點B作BC⊥x軸，交OA于點C，則OA：y=y1x1x，C（x2，x2y1x1），

BC=y2-x2y1x1=x1y2-x2y1x1.

所以S△AOB=12BCx1=12x1y2-x2y1.

圖1 證法1示意圖

證法2 （用三角形面積公式證明）如圖1，設A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），則OA：y=y1x1x，點B到直線OA：y1x-x1y=0的距離d=y1x2-x1y2x21+y21.

又OA=x21+y21，

所以S△AOB=12OAd=12x1y2-x2y1.

證法3 （用向量方法證明）如圖1，設A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），則

OA=（x1，y1），OB=（x2，y2）.

所以S△AOB=12OAOBsinlt;OA，OBgt;

=12OAOB1-cos2lt;OA，OBgt;

=12OAOB

1-（OA·OBOAOB）2

=12（OAOB）2-（OA·OB）2

=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12（x1y2-x2y1）2

=12x1y2-x2y1.

由此可知x1y2-x2y1的幾何意義是：由三點A，O，B所組成的三角形面積的2倍，或表示以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的面積［1］.

評注 以上三種方法，遵循了學生從初中到高中求解三角形面積公式的邏輯生成過程，以及知識形成的過程，呈現了解決問題進階路徑的生成過程.

2 問題探析

例1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點分別為F1，F2，P（-263，33）滿足|PF1|+|PF2|=2a，且以線段F1F2為直徑的圓過點P.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于M，N兩點，直線OM的斜率為k1，直線ON的斜率為k2，當△OMN的面積為定值1時，k1k2是否為定值？若是，求出k1k2的值；若不是，請說明理由.

2.1 第（1）問解析

解析 設F1（-c，0），F2（c，0），以線段F1F2為直徑的圓過點P，所以PF1⊥PF2.

所以PF1·PF2=（-c+263，-33）·（c+263，-33）=0.

所以c=3.

所以a2-b2=3.

將P（-263，33）代入x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），

解得a2=4，b2=1.

所以橢圓C的標準方程為x24+y2=1.

2.2 第（2）問解析

解法1 用直線斜率為基本量來表征三角形面積關系——斜率三角形面積公式.

當直線MN的斜率不存在時，設直線MN的方程為x=m，

設M（m，y0），N（m，-y0），則m24+y20=1.①

又S△OMN=12×2|y0||m|=1，

所以m2y20=1.②

由①②解得m2=2，y20=12.

所以k1k2=y0m·-y0m=-y20m2=-14.

當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯立x24+y2=1，y=kx+m， 得

（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，

△=64k2-16m2+16gt;0，

所以x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2.

所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+

km（x1+x2）+m2=m2-4k21+4k2.

所以k1k2=y1y2x1x2=m2-4k24m2-4.③

又|MN|=1+k2·|x1-x2|2

=1+k2·64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）（1+4k2）2

=41+k2·4k2-m2+11+4k2，

點O到直線MN的距離d=m1+k2，

所以S△ONN=12d×|MN|

=12·m1+k2·41+k2·4k2-m2+11+4k2

=2|m|4k2-m2+11+4k2=1.

（此三角形公式稱為“斜率三角形面積公式”）

即4m4-4（4k2+1）m2+（4k2+1）2=0，

解得m2=1+4k22.

代入③式，得

k1k2=y1y2x1x2

=m2-4k24m2-4

=（1+4k2）/2-4k24×（1+4k2）/2-4=-14.

綜上可知，當△OMN的面積為定值1時，k1k2是定值-14.

解法2 用向量為基本量表征三角形面積關系——向量三角形公式.

如圖2，不妨設直線與x軸交于點Q，OM：y=k1x，ON：y=k2x，∠MOQ=θ1，∠NOQ=θ2，則tanθ2=k2，tanθ1=-k1，S△MON=12OMONsin（θ1+θ2）.

圖2 第（2）問解法2示意圖

又tan（θ1+θ2）=-k1+k21+k1k2，

所以sin2（θ1+θ2）=k21+k22-2k1k2k21+k22+k21k22+1.

由x2M4+k21x2M=1，得x2M=41+4k21.

同理x2N=41+4k22.

所以OM2=x2M+k21x2M

=4k21+44k21+1，

同理可得ON2=4k22+44k22+1.

故S2△MON=14OM2ON2sin2（θ1+θ2）

=14·4k21+44k21+1·4k22+44k22+1·k21+k22-2k1k2k21+k22+k21k22+1=1.

即4（k21+1）（k22+1）（k21+k22-2k1k2）=（4k21+1）（4k22+1）（k21+1）（k22+1）.

所以4（k21+k22-2k1k2）=（4k21+1）（4k22+1）.

所以16（k1k2）2+8k1k2+1=0.

所以（4k1k2+1）2=0.

所以k1k2=-14.

解法3 用點坐標為基本量表征三角形面積關系——點坐標三角形公式.

設OM：y=k1x，ON：y=k2x，M（x1，y1），N（x2，y2），

由面積公式S△MON=12x1y2-x2y1，得

S2△MON=14x1y2-x2y12=1.

即

（x1k2x2-x2k1x1）2=4.

即（x1x2）2（k2-k1）2=4.

由x214+k21x21=1，得x21=41+4k21.

同理x22=41+4k22.

代入（x1x2）2（k2-k1）2=4，

化簡，得

16（k1k2）2+8k1k+1=0.

即（4k1k2+1）2=0.

所以k1k2=-14.

3 互動練習

練習 （2011年山東高考理科數學22題）已知動直線l與橢圓C：x23+y22=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩不同點，且△OPQ的面積S△OPQ=62，其中O為坐標原點.證明：x21+x22和y21+y22均為定值.

證法1 設P（x1，y1），Q（x2，y2），由公式得

S△OPQ=12x1y2-x2y1.

故S2△OPQ=14x1y2-x2y12

=14（x21y22-2x1x2y1y2+x22y21）=32.

即x21y22+x22y21=6+2x1x2y1y2.①

又因為P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓上，有

x213+y212=1，

x223+y222=1.

故（x213+y212）·（x223+y222）=1.

即（x1x23）2+x21y22+x22y216+（y1y22）2=1.②

由①②得（x1x23+y1y22）2=0.

即x1x23=-y1y22.

兩邊平方，得x213·x223=y212·y222.

所以x213·x223=（1-x213）（1-x223）

=1-x21+x223+x213·x223.

故有x21+x22=3，y21+y22=23（3-x21）+23（3-x22）=4-23（x21+x22）=2.

綜上，x21+x22=3，y21+y22=2.

證法2 設P（3cosα，2sinα），Q（3cosβ，2sinβ），

由公式，得

S△OPQ=12x1y2-x2y1=62·sin（α-β）=62，

解得sin（α-β）=±1.

從而α=β+π2+kπ，k∈Z.

故x21+x22=3cos2α+2cos2β=3（sin2β+cos2β）=3.

y21+y22=2sin2α+2sin2β=2（cos2β+sin2β）=2.

評注 通過以上幾例的解析，我們發現，對于頂點在原點的三角形面積用坐標三角形面積公式能很大程度上減少運算量，提高解題效率.

4 結束語

在數學解題活動中，思維體現出從慣性到遷移再到創新的特點，構建“生動·互動”課堂有利于促進解題思維發展水平從低階走向高階.顯然，學生思維的發展也不是一蹴而就的，其思維層級從低階到高階的生長必然是一個逐漸深化、不斷進階的過程.

參考文獻：

［1］ 蔣滿林.行列式型面積公式的探究生成及應用[J].福建中學數學，2015（07）：13-14.

［責任編輯：李 璟］