一道圓錐曲線題目的變式探究

摘 要：以一道雙曲線綜合題目為題根，從離心率、定點、定值、軌跡、探究性問題等不同角度對試題進行改編，設計變式題組，并借助二倍角三角形的結論將其進一步推廣，得到了一般性的結論.

關鍵詞：圓錐曲線；變式探究；溯源推廣

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0054-03

近年新高考加大了對雙曲線的考查力度，雙曲線沉寂多年的重要性質都被挖掘出來.下面通過對一道雙曲線題目的深入研究，進一步感悟其命題思路和考查特點.

1 試題呈現

題目 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上.

當BF⊥AF時，|AF|=|BF|.

（1）求C的離心率；

（2）若B在第一象限，證明：∠BFA=2∠BAF.

解析 （1）e=2（過程略）.

（2）設B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，因為e=2，所以c=2a，b=3a.

所以雙曲線方程為x2a2-y23a2=1.

當x0=c時，BF=AF，此時∠BFA=π2=2∠BAF，成立；

當x0≠c時，

tan∠BFA=-y0x0-c=-y0x0-2a，

tan∠BAF=y0x0+a，

所以tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-［y0/（x0+a）］2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-3a2（x20/a2-1）

=-y0x0-2a

=tan∠BFA.

因為漸近線方程為y=±3x，

所以∠BAF∈（0，π3），∠BFA∈（0，2π3）.

因為2∠BAF∈（0，2π3），故∠BFA=2∠BAF.

2 變式探究

變式1 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，點B為雙曲線C右支上的一個動點，若∠BFA=2∠BAF，求C的離心率.

解析 根據對稱性，不妨設B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，

當x0=c時，BF=AF，即b2a=a+c，解得e=2；

當x0≠c時，tan∠BFA=-y0x0-c，

tan∠BAF=y0x0+a，

所以tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-［y0/（x0+a）］2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-b2（x20/a2-1）

=2y0［（a2-b2）/a2］x0+x20/a.

因為∠BFA=2∠BAF，

所以tan∠BFA=tan2∠BAF.

即2y0［（a2-b2）/a2］x0+c2/a=-y0x0-c.

則a2-b2a2=-2，c2a=2c， 解得e=2.

變式2 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），離心率e=2，F是雙曲線C的右焦點，A是其左頂點，B是雙曲線C在第一象限上任意一點，問是否存在常數λ，使得∠BFA=λ∠BAF恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由.

解析" 因為雙曲線離心率e=2，

故b=3a，c=2a.

所以雙曲線方程為x2a2-y23a2=1.

當∠BFA=π2時，B（2a，3a），AF=3a，所以∠BAF=π4，此時∠BFA=2∠BAF，即λ=2.

下面證明λ=2對任意點B均使得∠BFA=λ∠BAF成立.

不妨設B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，

則x20a2-y203a2=1.

又tan∠BFA=-y0x0-c=y02a-x0，

tan∠BAF=y0x0+a，

故tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-y20/（x0+a）2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-（3x20-3a2）

=y02a-x0

=tan∠BFA.

因為漸近線方程為y=±3x，

所以∠BAF∈（0，π3），∠BFA∈（0，2π3），

結合正切函數的圖象可知，∠BFA=2∠BAF.

所以存在λ=2，使∠QF2A=2∠QAF2成立.

變式3 動點M與兩定點A（-1，0），B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C，求軌跡C的方程.

解析 設M的坐標為（x，y），顯然有xgt;0，且y≠0，

當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，±3），

當∠MBA≠90°時，x≠2，由∠MBA=2∠MAB，

有tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB.

即-yx-2=2y/（x+1）1-［y（x+1）］2.

化簡，得3x2-y2-3=0.

而點（2，±3）也在曲線3x2-y2-3=0上，

綜上可知，軌跡C的方程為x2-y23=1（xgt;1）.

3 溯源推廣

基于上述研究，對本題追根溯源，發現其命題思路是將二倍角三角形的一般性結論推廣到雙曲線問題中的特殊情形：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則A=2Ba2=b2+bc.

證明" 因為A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，所以a=2b·a2+c2-b22ac.

整理可得（c-b）（a2-bc-b2）=0.

則c=b或a2=b2+bc.

當c=b時，B=C，由A+B+C=π可得A=π2，B=C=π4.

此時△ABC為直角三角形，滿足a2=b2+bc.

綜上，a2=b2+bc.

反之，若a2=b2+bc，

由余弦定理可得

cosA=b2+c2-a22bc=c2-bc2bc=c-b2b.

即2bcosA=c-b.

由正弦定理可得

2sinBcosA=sinC-sinB=sin（A+B）-sinB.

即2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB-sinB.

整理可得sinB=sin（A-B）.

所以B=A-B，即A=2B.

上述結論將角與角之間的二倍關系，轉化為邊與邊之間的長度關系，下面再利用二倍角三角形的等價命題對典例及變式中的結論給出一般性結論.

結論1 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，點B為雙曲線C右支上的動點，∠BFA=2∠BAF雙曲線的離心率e=2.

結論2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，點B為雙曲線C左支上的動點，π-∠BFA=2（π-∠BAF）雙曲線的離心率e=2[1].

結論3 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，過右焦點F的直線與C交于P，Q兩點，以PQ為直徑的圓恒過定點A雙曲線的離心率e=2.

4 結束語

文章通過對一道雙曲線習題的變式和推廣，使得學生從特殊情境中抽象出一般性規律，展現了數學問題解決的靈活性和創造性.所呈現的題組不僅增進了學生對離心率、定點、定值和軌跡等問題的理解，還培養了他們將所學知識應用于解決復雜問題的能力；所采用的二倍角三角形結論推廣到雙曲線問題的探索，體現了數學知識之間的內在聯系.這種跨主題的知識鏈接不僅有助于學生對知識的深度理解和自主遷移，也提供了解決其他數學問題的新視角和策略.

參考文獻：

［1］ 甘志國.離心率為2的雙曲線的性質：2010年高考四川卷理科解析幾何大題的課本題背景[J].中學數學，2011（01）：55-57.

［責任編輯：李 璟］