“聽見”函數：探秘音樂與正弦函數

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出“不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值”.“三角函數”這一章的閱讀與思考材料“振幅、周期、頻率、相位”，是對三角函數的一個拓展，主要講音的四要素與正弦函數及其參數之間的關系.本文是筆者對該閱讀材料內容的教學分析及教學過程，通過對聲音與三角函數之間關系的深度研究和探索，力圖讓學生認識到數學在音樂發展中的重要作用，感受數學作為基礎學科對社會其他領域發展的重要性，拓寬學生對數學學科與其他學科及與生活的多維聯系和立體認知.

1 教學分析

1.1 教學目標

（1）通過探索音的四要素與正弦函數模型中參數、函數定義域、函數疊加之間的關系，進一步加強對正弦函數振幅、頻率和函數定義域的直觀理解.

（2）通過對音樂中數學原理的了解，感受數學作為基礎學科，對其他領域發展的重要性，提高學習數學的興趣.

（3）了解音樂律制的古今發展史，增強民族文化自信.

1.2 教學重難點

教學重點：知道聲音的音調、響度、音長與純音模型y=Asin ωt中ω，A，t之間的關系，感受音色與正弦函數疊加之間的關系.

教學難點：能選擇正確的函數與正弦函數進行運算，以產生聲音的不同效果.

1.3 學情分析

學生已經學習了三角函數的圖象和性質，對三角函數的周期、頻率、振幅、初相等都有系統的認識，對函數的圖象變換也有一定的了解，具有探究音的四要素與正弦函數之間關系的相關基礎.

2 教學過程

2.1 引入

通過PPT播放中國古代琵琶名曲《十面埋伏》中的一小節，并展示對應的波形圖（圖1），從而引入課題.

師：大家喜歡聽音樂嗎？我們來聽一段，當你沉浸在那些美妙的音樂聲中時，是否想過為什么我們不用去音樂會現場，也能從手機、電腦等機器中聽見音樂家們的演奏嗎？其實，這是因為音樂先被轉化為了數字信號，而這與我們所學過的某個函數密切相關，大家知道是哪個函數嗎？

生：正弦函數.

師：那今天我們一起來“聽一聽”函數的聲音，看看音樂與正弦函數到底有什么樣的關系？

設計意圖：通過古代琵琶名曲《十面埋伏》的聲波視頻導入，引發學生思考“為什么不需要在音樂會現場，也能從電腦中聽見音樂家們的演奏”.激發學生的興趣，引入課題.

2.2 環節一：探究音調、響度與ω，A的關系

師：聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的，而純音的數學模型就是y=Asin ωt，不同的正弦函數到底能發出什么聲音呢？今天我們就來“聽聽”正弦函數，老師利用純音的數學模型做了兩個正弦型函數，一起來聽一聽.首先是f（x）=sin x，大家能聽到嗎？（幾何畫板展示.）

生：沒有聽到……（學生有點猶豫）

師：很誠實！那我們接著“聽一聽”第二個函數g（x）=sin（400·2π·x），能聽到嗎？

生：哇！（驚嘆聲）聽到了.

師：很神奇，我們居然真地“聽”到了函數的聲音，那為什么第一個函數聽不到呢？這兩個函數之間有什么區別嗎？大家聯系生活實際，思考一下這個問題.

生：它們的頻率不一樣！人能聽到的聲音頻率是有范圍的.

師：對！大多數人能聽到的聲音頻率是有范圍的，在20～20 000 Hz.那么，根據這個頻率，大家來思考一下，ω設置在什么范圍內，我們可能可以聽到聲音？

生A：40π～40 000π.

師：為什么呢？

生A：因為2π|ω|=T=1f，所以|ω|=2πf，則|ω|的范圍是40π～40 000π.

師：非常好！為了方便我們看頻率，將之寫成20·2π～20 000·2π.你們還想聽哪個頻率的聲音？

生：20 Hz.

師：那我們來聽一聽，聽到了嗎？這個聲音相較于g（x），聽起來更怎么樣呢？

生：更低沉！

師：大家還想聽哪個頻率？

生：20 000 Hz.

教師修改了ω，準備播放之前發現大部分學生捂著耳朵，笑著發問.

師：我看很多同學捂著耳朵，看來同學們已經猜到了，這個聲音可能會怎樣呢？

生：很尖銳！

師：我們聽聽看猜想是否正確，確實如此！再來聽聽不同頻率的聲音……這三個正弦函數的ω不同，聲音聽起來好像也不太一樣，有什么規律嗎？

當改變ω時，聲音的哪個要素發生了變化？

生：音調，音調與ω有關，ω越小聲音越低沉，ω越大聲音越尖利.

師：是的！我們知道音的四要素是音調、響度、音長和音色，音調與ω有關，ω越小聲音越低沉，ω越大聲音越尖利.

設計意圖：首先設置兩個不同頻率的的正弦函數讓學生聽聲音，一個能聽到，一個不能聽到，兩個對比讓學生快速體會函數與聽覺之間的直接聯系.通過對人耳能聽見的聲音頻率范圍反推ω的取值，既復習了正弦函數中ω與T，f之間的關系，也為后面的教學做了鋪墊.讓學生自行選擇想聽的頻率的聲音，感受不同頻率的正弦波發出的聲音之間的差別，發現頻率與聲音四要素之一——音調之間的具體聯系.

師：實際上，早在公元前6世紀畢達哥拉斯就發現了這個規律，他還發現當兩個音的頻率比是2∶1的時候，這兩個音聽起來幾乎是一樣的，所以將兩個頻率比是2∶1的音稱為一個八度的關系.

畢達哥拉斯學派一直認為“萬物皆數”，他們竭力用數字去表達世界，又發現頻率比為3∶2的音也非常和諧悅耳，并由此作為生律要素，提出了五度相生律.

什么意思呢？就是在一個八度內，以1為基音，乘32得到一個音，再乘32就是94，但是94超過了2，在下一個八度里，該怎么辦呢？前面我們講，他們不是發現頻率比為2∶1的音聽起來幾乎是一模一樣的嗎，所以大家有什么好辦法嗎？

生B：讓94乘12.

師：太棒了！當時的人們也和B同學一樣聰明，他們將94乘12就是98，這樣就回到了一個八度內，然后又乘32……依次類推，就可以得到1個八度內的音，這就是西方著名的五度相生律.

但是同學們，你們知道嗎，實際上，早在我國春秋時期，管仲就在《管子＼5地員篇》中提到了此類算法，叫三分損益法.而當時咱們老祖宗自己原創的五個音階就是宮、商、角、徵、羽，我們常說的五音不全就是這五音.這套規則被稱為最和諧的規則.

但是后來由于復調音樂與和聲的興起，音樂家對五度相生律進行了調整，由此誕生了純律.通過圖表可以發現，純律就是將五度相生律中一些復雜的數簡單化，但是這樣也丟掉了3∶2的比例關系.

再后來音樂家巴赫引入了一套新的規則——十二平均律，這也是現在普遍流行的律制.十二平均律就是將一個八度內的音分為12份，這里運用了等比數列的知識，每個音階之間的頻率比都是2112.

我們很容易知道，頻率成相同倍數的音聽起來會更加和諧，所以，想到等比數列應該是很自然的，但是，事實上從純律到十二平均律，音律的發展停滯了一千多年，這其中的原因是什么呢？其實最主要的原因是在很長的一段時間里，2112算不出來，當時數學的發展沒有跟上，所以同學們可以看到數學作為基礎學科，其發展進步對社會各領域的發展都極為重要.

實際上，巴赫并不是第一個提出十二平均律的人，我國明朝皇族世子朱載堉就提出了十二平均律，當時叫做新法密律.大家猜這位世子是利用什么工具算出2112的？

生：（部分同學）算盤？

師：（驚喜）猜對了！據說，朱載堉為了計算出2112，專門制作了一個81檔的大算盤（如圖2），他就憑借這樣一個大算盤，將2112算到小數點后20幾位，還算得十分精準.他的毅力和研究精神以及對事業的熱愛，真是令人嘆服！

設計意圖：通過對音樂中的生律制發展史的講解，學生能體會到數學在音樂發展過程中每一個環節上的作用，感受數學作為基礎學科對社會其他領域發展的重要性.同時，在講到五度相生律和十二平均律時，用事實強調我國古代均能早先一步發現這些聲音頻率間的關系，以期在這個過程中能增強學生的民族文化自信.通過講述朱載堉為了計算2112，用專制算盤夜以繼日地計算，最終算出非常精確數值的故事，啟發學生做事要有恒心和毅力.

師：有了這樣的規律，在給定一個標準音的基礎上，全世界就有統一的音調，而我們也能輕松找到某個音調的音的頻率.下面用幾何畫板來感受一下……

利用幾何畫板做出“Do Re Mi Fa Sol La Xi”這幾個音的函數，讓學生逐一聆聽.

學生：（驚訝）哇！

設計意圖：用幾何畫板制作“Do Re Mi Fa Sol La Xi”這幾個音的正弦函數并播放，讓學生從歷史故事回到課堂，從理論轉換到實際，學以致用，真真切切直觀感受頻率對聲音音調的影響，感受數學帶來的音調美.

師：這是ω對音的影響，那A呢？通過A對正弦函數圖象的影響，試著猜想一下，A對聲音的哪個要素有影響？

生：響度.

師：對！我們一起來感受一下.

教師用幾何畫板調節A值，從而讓學上感受到A對聲音響度的影響.

設計意圖：用連續和離散兩種形式去調節純音模型中的A值，讓學生感受A對聲音響度的影響.

2.3 環節二：探究音長、音色與函數定義域和函數疊加之間的關系

師：我們現在知道音調和響度都和這個正弦函數的系數有關，那聲音的音長呢？受什么影響呢？（學生討論.）

生：時間t.

師：是的！因為這個函數的定義域是R，所以從我們按下按鈕那一刻起，一直能聽到聲音，那該怎么做才能讓我們只聽到2秒的聲音？

生：限定函數的定義域.

師：對！但是很可惜，幾何畫板沒有自帶的限定函數定義域的功能，但是它可以識別函數解析式，通過解析式自動算出函數的定義域.

根據幾何畫板的這個特性，如果想聽2秒后的聲音，可以怎么處理這個函數呢？（學生討論.）

生C：給這個函數加上一個y=x－2.

師：你認為加上這個函數之后，聲音播放會有什么特點？

生C：（不太確定）應該會在2秒后播放吧？

師：那我們一起試一下，看看是不是這樣的結果.（播放幾何畫板.）

教師播放幾何畫板后，發現確實如此，學生很驚訝，沒有想到定義域還有如此功能！

師：我們現在只想聽前兩秒的聲音，有沒有同學能給出解決方案？

生D：給這個函數加上一個y=x（－x+2）.

師：為什么是這個函數？

生D：因為這個函數可以讓定義域為［0，2］.

師：我們一起聽一聽.（播放幾何畫板）.確實如此！

設計意圖：先讓學生思考音長與什么有關，學生比較容易想到時間，進而想到定義域，然后讓學生自己通過函數解析式去限函數的定義域.以往學生更多的是根據函數的解析式去求解函數的定義域，而這次是根據定義域去尋找滿足的解析式，打破常規，這樣的逆向思考可以讓學生更好地把握各個函數需要滿足的限制條件，使思維更靈活.

通過對音長和純音模型中定義域的討論，學生對函數定義域從以前圖形上的視覺感受轉到聽得見的聽覺感受，從不同的維度體會函數定義域對函數的影響，從而加深對函數定義域的理解.同時，進一步強化對函數定義域重要性的認識，提醒學生平時處理函數問題時一定要注意定義域.

師：我們發現改變函數定義域會改變聲音的播放時長，但是大家仔細聽聽，雖然確實只播放了2秒，但是好像聲音變味了，為什么呢？

生E：因為加了一個函數，振幅會發生變化.

師：非常好！有同學想到了疊加一個函數后，這個函數的圖象會發生變化，波形圖發生改變，不再是以同一個頻率輸出，所以聲音也發生了變化.

那怎么樣才能讓聲音不變呢？還是保持相同的頻率輸出嗎？

生：再減去y=x（－x+2）.

師：這個想法非常好！我們來試一下……確實可以！

我們成功讓聲音只播放了2秒，但是這個聲音是戛然而止的，聽起來沒有任何感情，大多數時候我們可能更希望聲音是逐漸消失的，又該怎么辦呢？（學生討論.）

生F：可以給正弦函數乘一個遞減的函數.

師：這個想法很有創造性，那你想乘哪個函數？

生F：可以乘y=－x.

師：好的，那我們來試一下……咦？怎么和我們想的不一樣，聲音反而越來越高了，怎么回事？

學生都很詫異，部分學生小聲嘀咕：絕對值越來越大……

師：是的，x從0增加到2時，函數值確實是在減小，但是其絕對值實際上在增大，那為什么響度會越來越大呢？

生：函數值的絕對值越來越大，相當于振幅越來越大，所以響度越來越大.

師：非常好！給函數乘2會讓振幅變為原來的2倍，乘（-2）呢？振幅還是會變為原來的2倍，只是這個函數圖象要比前一個乘2的函數圖象多了一個變換步驟，就是，再將函數圖象進行……？

生：翻折.

師：既然如此，這個函數就不能達到我們想要的效果，有選擇其他函數的同學嗎？

生E：我選的是y=1x.

師：我們一起來試一下.（用幾何畫板制作后播放.）

生：（開心）哇！

師：我們成功了！聲音逐漸在減小，只是為什么一開始的聲音會那么大呢？

生：（部分同學）因為x趨向于0+時，1x會趨向于正無窮，所以一開始聲音特別大.

師：嗯！有道理，那還有選擇其他函數的嗎？可以在0秒時，響度不變嗎？

生：可以試一下指數函數y=12x.

師：我們一起來試一下.非常好！聲音逐漸減弱了，但是好像力度不夠，所以最后聽起來還是有點突然，怎么辦？

生：減小底數，讓函數減得更快點.

師：好的，我們一起來試一下y=15x……成功了！這樣的聲音就非常自然，經過多次嘗試和失敗，我們終于找到了一個完美的解決方案.人生有時候也是這樣，最開始的嘗試可能會失敗，但是只要我們堅持不懈，不斷去嘗試和修正，最終總能找到好的解決辦法，走向成功.

實際上我們還可以用其他函數，也能達到這樣的效果，比如……（舉例符號函數等等）

通過調節函數的響度、初相等，我們還可以自己用幾何畫板制作一曲美妙的音樂.

用幾何畫板播放提前利用函數制作的《茉莉花》片段，學生感嘆不已，情不自禁發出了掌聲.

設計意圖：在學生已經能通過函數定義域限制聲音播放時長以后，又提出新的問題——函數的聲音為什么聽起來發生了改變？如何修正這樣的改變？學生能夠很容易聯想到，加上新的函數后函數圖象發生了一些變化，那么對應的波形圖就會發生變化，所以解決這個問題的辦法就是再減去這個函數.接著提出新的問題——如何讓聲音出現漸弱的效果，學生會運剛剛所學到的響度與A之間的關系去思考，可以利用減函數達到大家想要的效果，這說明學生已經會用數學的眼光去看待問題.然后用y=－x，y=1x，y=12x……分別乘正弦函數.通過探究的方式，經歷從失敗到成功，一步一步找出最符合要求的函數，不僅讓學生對函數的變換有更深刻的理解，也培養了學生勇于探索、屢敗屢戰的探究精神.

最后，教師通過提前利用幾何畫板制作好的《茉莉花》片段，讓學生再次感受本節課所講內容的實用性，進一步加深對數學廣博應用的直觀認識，激發對數學學習的興趣.

現在，我們發現聲音的三個要素都和數學有密切關系，那最后一個要素，音色呢，大家覺得它和數學有關嗎？

部分同學說沒有，部分同學認為有.

師：每種樂器都有自己特有的音色，但實際上我們聽不同的物體發出的聲音音色不同是因為物體振動時發出的波的振動特點不一樣.著名數學家傅里葉發現，所有的聲波都是由正弦波疊加而形成的，也就是說，我們現在聽到的聲音基本都是復合音，而這些復合音都是由純音所組成的，當疊加不同頻率的音時，所聽到的聲音就不太一樣.下面我們一起來用GeoGebra感受下函數圖象疊加的效果.

生：哇！

設計意圖：在學了音的前三個要素和數學的關系后，以直接演示的方式，向學生展示大千世界五彩斑斕的音色是如何用數學來解構的.將一串復合音分解成多個純音之后，再將這些純音一個一個疊加上去，讓學生在看到波形曲線一條一條增加的同時，能聽到聲音神奇地從一個單音逐漸變化、不斷接近、最后變成最開始聽到的復合音的神奇過程，讓學生從視覺和聽覺的角度去直觀感受波的疊加的概念和效果，播下一顆好奇的種子，留下無盡的可能讓學生去探索.

師：沒想到吧，感性的音樂和理性的數學之間的聯系竟然如此緊密，音的四要素居然都和數學有關.

生：太神奇了！

師：愛因斯坦曾經說過，這個世界可以由音樂的音符組成，也可由數學的公式組成.萊布尼茨曾說，音樂是數學在靈魂中無意識的運算.

本文通過展示和探究的方式，運用幾何畫板和GeoGebra等輔助教學工具，從音樂的四要素與正弦函數的各參數之間的關系展開神秘探究之旅，深化了學生對函數特性的認識，強化了學生對聲音本質的認知，圓滿實現了“引人注意、育人立德、文化自信、多元融合”的教學目標.當然，也正如課后老師的點評所提到的，課程在結尾處樂曲的正弦函數的疊加和展開中細化，以及課程的探究過程中學生自行運用軟件來操作的比重提高等方面還有進一步優化提升的空間.