讓音樂滋潤數學

聽了余泳老師“‘聽見’函數：探秘音樂與正弦函數”這節課，有感而發，遂成本文.

1 怎樣對待閱讀材料

多年前，有一次筆者在公交車上看到幾個掛著一所名校校徽的學生，問他們是幾年級，回答是高二，再問他們學過圓錐曲線了嗎，說學過了.問其為什么這章叫圓錐曲線？幾個學生你看看我，我看看你，回答不出.筆者說書上閱讀材料不是有嗎？學生說，高考不考（其實，浙江省就考過類似題），老師沒有講，因此他們也沒有看.

閱讀材料雖然不考（以后也有可能進入數學文化的考題），但是對提高學生的科學和人文素養有重要意義.有效利用閱讀材料

是培養學生“用數學的眼光看世界”的途徑之一.現在由于教育觀念的轉變，老師們認識提高了，不少老師對新教材的閱讀材料感興趣，但是閱讀材料的內容“點到為止”，想上一節課又感到力不從心.這就需要老師們苦練內功了.正如余老師在課后交流中所說：“在查閱資料的過程中，大大豐富了我的音律知識以及對于這一塊數學史和音樂史的認知，一定程度上加深了本人對于函數與聲音數學聯系的認知，真正感受到了什么叫做教學相長.”

教材中常規的教學內容已經在各種類型的公開課不知上了多少遍，要想推陳出新確實很難，但是在諸如閱讀材料等內容上往往可以上出讓人眼睛一亮的課.余老師的這節課就是證明.

當然，余老師也是花了很多時間準備這節課.正如筆者和青年老師開玩笑時所說：你要愛這個老師就讓他（她）去上公開課，因為這很鍛煉人；如果你要恨一個老師，就讓他（她）去上公開課，因為這很“折磨”人.這樣的“折磨”能使老師們快速成長.相信在以后會見到更多來自于閱讀材料的公開課.

2 一節數學文化的普及課

在數學課上學生情不自禁鼓掌的情況很少見，情不自禁鼓掌說明學生發自內心喜歡這節課.原因是余老師把正弦函數與音樂中的音調、響度、音長和音色關系講清楚了，盡管學生喜歡美妙的音樂，但很少有學生知道那些美妙的音樂是由正弦函數合成的.即使有些學生對樂理有些了解，但對“三分損益法”引出的“五度相生律”——宮、商、角、徵、羽，以及“十二平均律”與數學的關系也未必有深入理解，尤其是數學使得十二平均律成為可能.

在課堂上通過對正弦型函數y=Asin ωt中各參數賦予不同的值對音調、響度、音長的影響，體會正弦函數在音樂中的作用.根據這些原理，余老師用正弦函數演示江南民歌《茉莉花》，學生為之震撼，才知道正弦函數有如此魅力！

這個過程中課堂現場的氛圍十分熱烈、學生的激動情緒肉眼可見，猶如推開了新世界的大門，相信經歷過這堂課的學生中很大一部分在后續的學習過程中對數學的興趣會遠大于從前.

當把帕瓦羅蒂和姚貝娜的歌聲轉化為合成的正弦波圖時，學生進一步感受到“用數學的眼光看世界”.

學生都知道聲音是由正弦波傳播的，但是在課堂上通過賦予正弦函數各參數不同的值而發出不同的聲音，學生還是第一次經歷，特別是多個正弦函數疊加的正弦波發出悅耳的聲音，以致直接“演奏”出耳熟能詳的名曲《茉莉花》，讓學生大為振奮，“這真是神了！”由此看來，適當挖掘數學教材中的一些背景資料，對拓寬學生知識面、提高學生學習數學的興趣十分有益.

小結中余老師詩意一般的表述提升了文化品位！

3 一節融入育人的德育課

如何在數學教學中立德樹人？簡言之，就是以數學知識為載體，以數學思想方法為突破口，培養學生的邏輯思維能力和理性精神.其中，辯證唯物主義觀點、愛國主義、意志、毅力等品質的培養屬于理性精神的范疇.

本課通過名曲《十面埋伏》《茉莉花》、由公元前7世紀管仲的三分損益律得到“五度相生律”以及朱載堉“十二平均律”的發明都早于歐洲相應定律法好多年，無痕地融入愛國主義教育，體現了文化自信.“特別是朱載堉為了計算‘十二平均律’，特制81檔算盤（通常是13檔，較長有17檔），將2112算到小數點后二十幾位，還算得十分精準，他的這份毅力、堅持和執著追尋答案的精神真是令人嘆服！”余老師這看似平常的評論，對學生是巨大的鼓勵.數學育人往往就是老師在一些教學環節針對具體問題有感而發的評論或體會，有時是精心準備的，有時則是陶醉于教學之中的深刻感悟，此時常常會有“金句”出現，如“經過多次的嘗試和失敗，我們終于找到了一個完美的解決方案，人生有時候也是這樣”.

從“五度相生律”到“十二平均律”之間相隔上千年，之所以會出現這種情況，主要是數學的發展沒跟上，是計算手段跟不上導致的，由此可見“用數學的語言去表達世界”不是空話.

4 一節數學生態課

所謂數學生態課堂，就是課堂教學尊重學生的認知規律、尊重知識的發生、發展規律，同時還具有思想（主要是哲學思想，也包含數學思想）高度和文化厚度.兩個尊重是教書，兩個度是育人.高品位的數學課兩個度不可少.

余老師這節課的課題“‘聽見’正弦函數”就兼具思想高度和文化厚度，從上課開始的欣賞名曲《十面埋伏》到用正弦函數疊加而產生的另一首名曲《茉莉花》，十二平均律的數學原理，直到最后欣賞帕瓦羅蒂和姚貝娜的曲目都極具文化氛圍，讓學生通過正弦函數感受數學的魅力，感受數學是認識世界不可或缺的工具，感受數學是“科學之母”，從而更加熱愛數學.

余老師在兩個尊重方面做得很好.學生在余老師的引導下積極參與教學，特別是在音長和音色階段，學生通過構造函數定義域控制音長，通過構造遞減函數使得歌聲慢慢減低，通過正弦函數的疊加控制音色，得到自己想要的音樂，學生的聰明才智得以充分發揮.

教學過程從欣賞名曲開始，然后解構音樂的形成機理，揭示音調與機械波的波長（正弦函數的周期）有關，而波長又和弦長（樂器中弦）有關（成正比），音響與正弦函數的振幅有關，音長可以通過限制函數定義域來實現，音色可以通過若干正弦函數疊加而成，把學生在物理課上學到的聲音和正弦波的聽不見摸不著、抽象難懂的機械波變得直觀易懂了.這體現了學科融合，也體現了哲學原理在數學教學中的指導作用.哲學思想對數學教學的指導是隱形的，既無處不在又無處不顯山露水.

5 一節展示教育技術的課

本課中之所以能把聽不見摸不著的物理問題轉變成“聽見函數”，正是教育技術的支持，如此就更能體會章建躍博士提出的“理解技術”的意義.

本課中通過幾何畫板生成各種聲音，又由多個正弦函數疊加而成《茉莉花》樂曲，而通過GGB軟件生成各個正弦圖象的疊加，都體現了余老師對這兩種軟件的熟練運用.可以說，如果不能靈活運用這些技術，那么在本節課中再先進的教育理念、再好的教學設計都是紙上談兵，無法在課堂實施，從而說明運用教育技術是我們一線老師必須要掌握的技能.

6 改進建議

本課中從正弦函數各參數與音樂四要素之間的關系展開，通過多個正弦函數疊加得到《茉莉花》樂曲，最后又把帕瓦羅蒂與姚貝娜的歌聲還原為疊加后的正弦圖象（不是很清楚），如果能把兩位歌者的聲音分解成若干個正弦函數的和就更好了，這樣就可以實現由正弦函數疊加而得樂曲，反過來，知道一段樂曲可以模擬出其由若干個正弦函數疊加而得.根據現在手機通訊的情況看這個技術是過關的，只是不知道在中學教學中有沒有相應軟件可用.呼請同行們一并想想辦法.

另外可嘗試進一步提高教學過程中學生自主使用軟件進行探究的比重，或許能取得更好的教學效果.

總之，余老師這節課為我們研究教材中非考試內容開了一個很好的先例，相信還會有更多的老師進入這個研究行列，開闊我們的教學視野，為師生提供更多的優質課！