新課程背景下深度教學的嘗試

新課程提出：通過高中數學課程的學習，不僅要讓學生獲得基本知識、基本技能，還要讓學生獲得進一步學習的基本思想和基本活動經驗.基于這一要求，數學教學不能僅滿足教給學生一些現成的結論，更多的是讓學生感悟蘊含其中的數學思想方法，重視揭示數學的本質，培養學生數學核心素養.在具體實施過程中，教師不能簡單地只講授知識，而是要通過精心的設計引導學生經歷發現、探索、交流、概括等學習過程，重視揭示數學本質，發散學生數學思維，切實提高學生綜合能力和綜合素養［1］.

顯然，淺嘗輒止的淺層教學模式并不適合學生的長遠發展，高中數學課堂教學呼喚深度教學.所謂深度教學，就是觸及學科本質和學生心靈的一種深層教學方式，其有利于學生數學能力的提升和高階思維的發展.那么，在高中數學教學中，如何開展深度教學呢？筆者結合教學實踐淺談幾點自己的粗淺認識，若有不足，請指正！

1 深入學科本質，體會深度學習

在傳統的數學概念、公式、定理等基礎知識教學中，部分教師認為這些內容都是既成事實，只要學生會背、能用即可，因此教學中常常是以訓練代替知識探究.要知道，數學概念、定理等具有高度的抽象性，簡單化的“教”很難讓學生理解知識的內涵和外延，這樣學生對相關知識的理解可能是一知半解的，靈活應用自然無從談起.因此，在數學教學中，教師應重視引導學生經歷知識的生成過程，通過因勢利導揭示數學學科本質，提升學生數學水平［2］.

案例1 “正弦定理”問題情境設計

問題1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，所以有sin A=ac，sin B=bc，sin C=sin 90°=1，為了統一形式，sin C可以用a，b，c表示嗎？如果可以，如何表示？

問題2 將sin C轉化后，你能發現什么結論？asin A=bsin B=csin C.

問題3 若△ABC是一般三角形，該結論是否成立呢？

（利用幾何畫板進行探究.通過拖動點A的位置，將△ABC分別變為銳角三角形和鈍角三角形，借助幾何畫板的強大計算功能，可以判斷以上結論依然成立.）

問題4 利用幾何畫板得出了asin A=bsin B=csin C，而用特殊值驗證有一定的局限性，該結論如何證明呢？

這樣在環環相扣的問題的引領下，學生的思維變得更加有序化.在教師的啟發和指導下，學生通過由特殊到一般的探究，逐漸發現蘊含其中的一般規律，從而歸納總結出正弦定理.

教學中，若想讓學生深刻理解知識，掌握知識的本質，單憑講授是難以達成的.教學中應結合教學實際創設有效的問題，讓學生在問題的引領下主動獲得知識，以此實現深度學習，有效提高學生自主探究能力，發展數學抽象、邏輯推理、歸納概括等能力和素養.

2 觸及學生心靈，引發深度學習

周知，好的教育不是教師單方面的輸出，而是師生的雙向互動.在教學中，若教育不能觸及學生心靈，不能激發學生的學習興趣，也就很難讓學生全身心地投入到數學學習中，這樣深度教學也就很難開展.基于此，為了讓學生全身心地投入到數學教學中，教師要將學習的主動權還給學生，充分尊重和相信學生，為學生營造一個平等、自由的學習環境，在相互質疑、相互欣賞中引發深度學習，促進智慧的提升.

案例2 在△ABC中，AE⊥BC，BD⊥AC，CF⊥AB，E，D，F分別為垂足，H是△ABC的垂心，3HA+4HB+5HC=0，則cos∠AHB=________.

問題給出后，先讓學生獨立求解，教師巡視.很多學生因為沒有找到解題突破口而陷入迷茫.教學中，為了幫助學生找到解題的突破口，激發學生的探究欲，教師鼓勵學生合作探究，讓學生通過相互啟發、相互補充，共同探索有效突破口.學生通過積極互動，得到了如下2種解法.

解法1：如圖1，以點E為原點，BC，EA所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系.令EC=1，則E（0，0），C（1，0），B（m，0），A（0，n），H（0，p）.由此利用坐標法轉化為代數運算，根據已知條件求得m=-54，n=5，p=54，最終求得tan∠BHE=5，所以cos∠BHE=66.

故cos∠AHB=-66.

解法2：直接利用向量數量積公式轉換，求得HB·HA=HE·HA=-|HE|·|HA|，同理得HC·HA=-|HE|·|HA|，從而3HA2-4|HE|·|HA|-5|HE|·|HA|=0，故HA=3HE.同理HB=2HD.又cos∠AHD=HDHA，cos∠BHE=HEHB，所以cos∠AHD·cos∠BHE=HDHA·HEHB=16.故cos∠BHE=66，則cos∠AHB=-66.

問題解決后，教師讓學生對比分析，歸納總結，充分體會解決策略問題的兩大常見策略.一是利用坐標求解，這里合理建系是解題的關鍵；二是利用數量積的向量運算公式來求解，利用數量積的幾何意義，使得問題迎刃而解.教學中，教師要鼓勵學生合作探究，充分發揮個體差異的優勢，讓學生在互動交流中有所啟發、有所思考.這樣往往可以觸動學生的心弦，激發學生的學習興趣，激發學生潛能，讓學生逐漸走上樂學、會學之路［3］.

3 聚焦學習過程，促成深度學習

學生數學素養的培養、數學能力的提升是一個長期的過程，是在學習過程中逐漸養成的.因此，在數學教學中，教師不要盲目追求速度，應該適當地放緩腳步，結合教學實際設計有效的問題，讓學生在問題的探索中獲得知識的同時，獲得可持續的學習能力，讓深度學習真正地發生.深度教學的本質不是“給予”，而是“探尋”.教學中，教師要尊重差異，善于為不同層級的學生搭建不同的梯子，以此激起學生興趣、情感和思維的深度參與，促成深度學習.

案例3 三次函數的切線與圖象的交點問題

教學中，教師以“二次函數在某點處的切線與二次函數的圖象只有一個交點”為起點，讓學生思考三次函數在某點處的切線與三次函數的圖象有幾個交點，引導學生利用類比探究的方式解決問題，感悟數學知識的內在聯系，學會用發展的眼光看待問題.

問題給出后，教師提供時間讓學生獨立探究.從教學反饋來看，很多學生選擇利用圖象法進行猜想、驗證.學生通過畫圖發現，當二次函數變為三次函數后，交點由“1個”變成了“2個”.基于這一發現，教師提問：是否存在只有1個交點的情形呢？學生借助特例進行驗證，發現函數y=x3在原點處的切線與y=x3的圖象只有一個交點，由此引出新問題：為什么三次函數在某點處的切線與三次函數的圖象有一個交點或兩個交點？新問題提出后，學生積極交流，提出用代數法進行驗證，由此將問題化為：三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象與它在點（m，f（m））處的切線的交點個數問題.學生積極思考，主動交流，給出了如下推理過程：

三次函數的圖象在點（m，f（m））處的切線方程為y=f′（m）（x-m）+f（m）.根據已有經驗，求交點個數可轉化為求方程組的解的個數問題，所以將直線方程和三次函數聯立，轉化得到f（x）=f′（m）（x-m）+f（m）.顯然，m是該方程的一個解，因此方程可以整理為ax2+（am+b）x-2am2-bm=0，即（x-m）＼5x+2m+ba=0，由此可得方程的另外兩個根為m，-2m-ba.至此可以發現，直線與三次函數的圖象相切時，切點橫坐標為是m，-2m-ba，而當m=-b3a時，兩點重合.這樣利用代數法解釋了三次函數在某點處的切線與三次函數的圖象為什么會有1個交點或2個交點的情形.

在此基礎上，教師還可以引導學生思考“二次函數在某點處的切線與三次函數的切線有何異同”，由此有效溝通新舊知識的內在聯系，優化個體知識結構.當然，為了更好地發展學生的數學思維，培養學生的創新意識，對于該問題還可以繼續縱深推進，即讓學生思考若將“三次函數”轉化為“四次函數”“五次函數”“n次函數”的情形，切線方程與其對應的函數圖象有幾個交點，由此通過縱向延伸進一步強化對相關知識、方法的理解，培養學生邏輯推理素養.這樣，順著知識生長脈絡引導學生主動發現、提出問題，有利于激發學生潛能，提高學生自主探究能力.

在日常教學中，教師要重視引導學生進行類比，在相同與不同的探究中認清問題的本質，找到解決問題的方法，讓學生學會用發展和聯系的思想方法看待問題，推動學生的思維向高階進階.

總之，深度教學契合新課程提出的新要求，適合學生的發展需求，是一種必然教學趨勢.為了讓深度教學真正地發生，教師要認真研究教學內容和學生實際學情，精心設計教學活動，重視開展自主合作探究活動，以此讓學生獲得知識的同時，促進學生能力和素養的全面提升.

參考文獻：

［1］江瑩輝.探究性教學在高中數學教學中的應用［J］.學周刊，2022（21）：145-147.

［2］邵曦.基于深度學習的高中數學課堂教學探究［J］.基礎教育研究，2019（20）：62-63，65.

［3］吳勇峰.深度教學視角下高中數學學習策略探究［J］.文理導航：教育研究與實踐，2021（8）：148.

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