例談如何利用探究活動培養學生的核心素養

摘要：本文中以“借助長方體模型探究幾何體的三視圖”這節課為例，通過設計探究活動，學生從熟悉的看得見、摸得著的幾何體——長方體入手，建立直觀感知，結合學過的線面平行、垂直知識發現三視圖的變化規律，一步一步從具體實物抽象出數學模型，將思維過程可視化、思維程序可操作化，將感性認知升華到理性實踐.

關鍵詞：直觀想象；探究活動；三視圖

2021年2月19日，教育部發布了《關于做好2021年普通高校招生工作的通知》，對2021年高考命題要求作出了明確規定：增強試題開放性、靈活性，減少死記硬背和“機械刷題”現象.在2021年全國高考數學乙卷中，以填空壓軸題的形式考查了這樣一道題：

如圖1，以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為________（寫出符合求的一組答案即可）.

這道題考查學生的直觀想象核心素養，形式新穎，體現了試題的開放性和靈活性，給了我們一線教師一些如何在平時教學活動中培養學生核心素養的啟示.受本題啟發，結合自己平時教學的積累，在教授完直線與平面的平行和垂直關系之后，設計了一節探究課——“借助長方體模型探究幾何體的三視圖”，就如何利用探究活動培養學生的核心素養進行探索.“教學過程通過構建空間模型來奠定知識基礎，通過積累數學活動經驗提供方向方法，將思維過程可視化，思維程序可操作化，將感性操作升華到理性實踐.”［1］

1 鉆研新課標，接軌新高考

新課標中指出：“直觀想象主要指借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題.主要包括利用圖形描述數學問題，啟迪解決問題的思路，建立形與數的聯系，加深對事物本質和發展規律的理解和認知.在數學教學活動中，重視直觀想象核心素養的培養，有利于學生養成運用圖形和空間想象思考問題的習慣，有利于學生提升數形結合的能力，有利于學生形成借助圖形和空間進行分析、推理、論證的能力.”［2］對比“2003年版課標”和“2017年版課標”發現，新課標刪除了三視圖的內容，但筆者認為三視圖教學在培養學生的空間想象能力方面有重要作用.三視圖的教學能充分體現出新課標中這一要求，讓學生感知物體的形態與位置的變化所呈現的三視圖是不同的.

新課標中對于直觀想象核心素養，高考要求達到以下水平：“能夠在實際和數學情境中，想象并構建相應的幾何圖形，借助圖形提出數學問題，發現圖形與圖形、圖形與數量的關系，探索圖形的運動規律.能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數量關系的基本方法；能夠借助圖形性質探索數學規律；能夠通過計算、分析、論證，解決實際問題或數學問題.能夠通過想象提出數學問題；能夠用圖形探索解決問題的思路.在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數學問題.”［2］上述高考題雖然出現在老高考中，但是，充分體現了新課標中對直觀想象核心素養的高考要求：根據實際和數學情境，想象并構建相應的幾何圖形.而這一素養的培養，需要教師在平時的教學過程中，巧妙設計探究活動環節，通過問題串的形式慢慢引導學生得出結論.

2 巧設問題引思考，幾何畫板顯神通

基于對新課標和教材的理解，筆者將“借助長方體模型探究幾何體的三視圖”這節課作如下設計，教學環節分成五個部分：復習舊知，提出問題；合作探究，小組展示；老師點評，畫板演示；歸納總結，提煉方法；鞏固應用，解決問題.具體活動如下.

2.1 復習舊知，提出問題

在本環節，筆者設計了5個問題：

問題1 什么是三視圖？什么是正投影？

問題2 如圖2所示，長、寬、高分別為a，b，c的長方體ABCD-A1B1C1D1的三視圖分別是什么？畫三視圖的要訣是什么？

問題3 線段的正投影一定是線段嗎？

問題4 如圖2，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，

正投影是線段BC的圖形可能是什么？

問題5 如圖2，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，正視圖是△BB1C1的幾何體可能是哪個？

設計意圖：問題1是對概念的回顧，追問正投影考查學生對前面教學難點的理解.問題2是結合具體圖形考查學生對概念的應用，并提煉規律.問題3是對概念的深化，要求學生考慮到直線與平面位置的不同，正投影不同.問題4具有開放性，要求學生能結合已有的學習經驗舉出多種情況，深化對正投影概念的理解，為還原直觀圖形做鋪墊.在此基礎上，學生至少能說出兩種符合問題5條件的幾何體（如圖3、圖4）.五個問題層層遞進，引導學生利用線面的位置關系解釋正投影中的疑惑，從而加深對線面位置關系的理解，熟練掌握幾何體的空間結構，尋找三視圖和線面位置關系的內在聯系與規律.

學生回答問題5時，教師用幾何畫板演示（掃碼看動畫1），并滲透數學文化.在《九章算術·商功》中有關于塹堵、陽馬、鱉臑的描述.最后總結：AB，A1B1，D1C1上任意三點連線即可.三視圖中的線線垂直，在幾何體中可能是線面垂直或面面垂直.為后續的方法提煉作鋪墊.

2.2 合作探究，小組展示

本環節為小組探究，筆者設計了三個探究活動.

探究一：觀察長方體，任選幾個點（頂點或特殊點），可以構成哪些幾何體？（筆者將學生分為六個小組：第1，4小組研究4個點；第2，5小組研究5個點；第3，6小組研究6個點.）

第1小組展示，第4小組作補充，總結的類型有2種：（1）上底面選1個點，下底面選3個點；（2）上底面選2個點，下底面選2個點.如圖5～10.

第2，5小組總結的類型有以下2種：（1）上底面選1個點，下底面選4個點；（2）上底面選2個點，下底面選3個點.如圖11～13.

第3，6小組總結的類型是：上底面選2個點，下底面選4個點.如圖14與圖15.

探究二：分別作出幾何體的三視圖，并觀察有何規律.

通過第1小組展示的圖5、圖6、圖7中的三棱柱發現，三個幾何體的正視圖完全一樣.第1小組展示的圖10與第2小組展示的圖13，兩個幾何體的三視圖也完全相同.

探究三：同一組三視圖對應的幾何體唯一嗎？

2.3 教師點評，畫板演示

在完成探究一之后，教師結合線面平行、垂直的關系點評.例如：在圖5的正視圖中，線段A1B1垂直投影面，投影是一個點；平面BA1B1垂直于投影面，投影是一條線段.在圖6的正視圖中，線段AD1平行于投影面，投影還是一條線段且長度不變；線段AB1斜交投影面，投影是一條線段且長度變短.

在完成探究二之后，學生展示三視圖，教師用幾何畫板演示了圖5到圖15的動畫（篇幅所限這里從略），檢驗學生的成果.通過拖動關鍵點，壓縮長方體的長、寬、高，從不同的角度觀察，得到幾何體的三視圖，將投影變換的過程可視化，培養學生的空間想象能力.為后面提煉“壓縮法”和“提拉法”提供學習經驗.

通過第4，5小組舉例發現，同一組三視圖對應的幾何體不唯一.教師用幾何畫板演示（掃碼看動畫2-1和2-2），讓學生再次感受投影變換的過程，培養學生的空間想象能力.

三個探究活動讓學生從熟悉的看得見、摸得著的幾何體——長方體入手，建立直觀的感知.重視學生的學習經歷和經驗，強調課程設計必須從學生的角度出發，與學生的經歷和經驗相聯系，確立學生在學習中的主體地位.結合學過的線面的平行、垂直關系發現三視圖變化規律，讓學生一步一步從具體實物中抽象出數學模型，將感性認知提高到理性認知.

2.4 歸納總結，提煉方法

總結借助長方體畫三視圖的兩種方法.

壓縮法：

（1）選擇正視的方向，將幾何體放在合適的長方體中.

（2）分別壓縮到三個投影面，平行于投影面的線段長度不變，垂直于投影面的線段變為點，斜交投影面的線段變短.

（3）看得見的棱用實線表示，看不見的棱用虛線表示.

提拉法：

（1）判斷幾何體形狀.

（2）將三視圖放入對應投影面.（選擇底面）

（3）找出頂點，沿著垂直投影面的方向提拉.

（4）對照三視圖檢驗.

2.5 鞏固應用，解決問題

筆者將2021年的高考真題進行改編：在下列圖（圖16）中任選三個作為三視圖，所對應的幾何體有哪些？

第一組展示：①④⑤，①⑧⑤，②⑧⑤，如圖17.

將⑤作為底面，提拉A1，得到一個三棱錐，正視圖是①，側視圖是④，俯視圖是⑤.

將⑤作為底面，提拉B1，得到一個三棱錐，正視圖是①，側視圖是⑧，俯視圖是⑤.

將⑤作為底面，提拉C1，得到一個三棱錐，正視圖是②，側視圖是⑧，俯視圖是⑤.

第二組展示：①⑧⑦，②④⑦，如圖18.

將⑦作為底面，提拉B1，得到一個三棱錐，正視圖是①，側視圖是⑧，俯視圖是⑦.

將⑦作為底面，提拉D1，得到一個三棱錐，正視圖是②，側視圖是④，俯視圖是⑦.

第三組展示：①③⑥，如圖19.

將⑥作為底面，提拉M，得到一個三棱錐，正視圖是①，側視圖是③，俯視圖是⑥.

本環節的設計是為了突破由三視圖還原直觀圖的教學難點，有活動一的鋪墊，學生已經建立直觀的幾何體模型，構建了空間模型，奠定了想象的基礎，積累了數學活動經驗.本活動的設計關注學生體驗、感悟和實踐的過程，力爭將思維過程可視化、思維程序可操作化、將感性操作升華到理性實踐.

參考文獻：

［1］鄭良.基于數學核心素養的立體幾何教學思考——對2018年高考數學立體幾何試題評析

［J］.中學數學教學參考，2018（34）：46-51.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

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