以課程標(biāo)準(zhǔn)和高考評價體系為導(dǎo)向命制圓錐曲線壓軸題

本次命題以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》和《中國高考評價體系》為導(dǎo)向，通過對教材多道例（習(xí)）題及其背后的數(shù)學(xué)文化等進行深層次的挖掘分析、整理融合，力爭該題能促進教、學(xué)、考有機銜接，保證該題含基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性等多方面的考查，注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展過程，最終形成了集韋達定理、設(shè)而不求、定點、定直線、定值（定比例、定乘積）、非對稱性韋達定理、類準(zhǔn)線、齊次化、數(shù)學(xué)文化等熱點問題于一題的圓錐曲線壓軸題.

1 試題內(nèi)容

已知A，B兩點的坐標(biāo)分別是（0，3），（0，－3），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的積是－34，點M的軌跡是C，過點N（0，1）的直線l交C于點P，Q，設(shè)直線PA的斜率為k1，直線QB的斜率為k2.

（1）求C的軌跡方程；

（2）證明k2k1為定值，并求出該定值；

（3）設(shè)PA和BQ的交點為E，求當(dāng)∠AEB最大時點E的坐標(biāo).

2 命制過程

本次命題來源于實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題，如第（1）問來源于人教A版（2019）選擇性必修第一冊第108頁例3，即圓錐曲線中常見的斜率之積為定值的問題;第（2）問來源于第109頁練習(xí)的第4題，是斜率之商為定值的問題，不過軌跡是直線.于是引發(fā)了思考：圓錐曲線中是否有斜率之商為定值的問題？通過Geogebra動態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線中也有斜率之商為定值的系列結(jié)論，并且通過計算還發(fā)現(xiàn)利用到了圓錐曲線中的常規(guī)方法及其高階版本，如韋達定理和非對稱性韋達定理.第（3）問來源于人教版必修《數(shù)學(xué)5》第113頁B組第2題及2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷理科）第20題，考查最大視角問題，目的是為了突出數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值.

為了找到一般性的規(guī)律，本題第一稿題目如下：

雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右頂點分別為A，B，過點M（t，0）（tgt;a）的直線l交該雙曲線C于點P，Q，設(shè)直線PA的斜率為k1，直線QB的斜率為k2.

（1）證明k2k1為定值，并求出該定值；

（2）設(shè)PA和BQ的交點為N，求N的軌跡方程；

（3）證明NM和BQ的斜率之商為定值；

（4）求當(dāng)∠MNB最大時點N的坐標(biāo).

3 試題分析

第（1）問為常規(guī)軌跡問題求解，同時也是圓錐曲線統(tǒng)一定義下的性質(zhì)考查，學(xué)生較為熟悉，是基礎(chǔ)知識的考查.該問題來源于人教A版（2019）第108頁的例3：

如圖1，設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（－5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是－49，求點M的軌跡方程.

第（2）問依據(jù)《中國高考評價體系》，理順教考關(guān)系，實現(xiàn)“以考促教、以考促學(xué)”的目的，引導(dǎo)師生共同深入挖掘課本知識，促進學(xué)生形成完整的知識體系，具有較高的綜合性和應(yīng)用性，對學(xué)生思維能力、計算能力以及逆用結(jié)論的能力等要求較高.該問題來源于上述例3和人教A版（2019）選擇性必修第一冊第109頁的第4題，不過是這兩道題結(jié)論的逆向運用.

（第109頁練習(xí)第4題）已知A，B兩點的坐標(biāo)分別是（－1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是２，點M的軌跡是什么？為什么？

第（3）問豐富和延伸了高考真題（2022年全國甲卷理科第20題）的考查內(nèi)容，還突出了與數(shù)學(xué)文化（米勒圓最大張角定理）的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，強化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，與數(shù)學(xué)思想方法密切聯(lián)系.該問題來源于人教版必修《數(shù)學(xué)5》第113頁B組第2題：

如圖2，樹頂A離地面a m，樹上另一點B離地面b m，在離地面c m的C處看此樹，離此樹多遠時視角最大？

根據(jù)以上分析，形成如下思維導(dǎo)圖，如圖3和圖4.

試題詳細解析過程略，可掃碼查看.

4 試題實際測試情況和原因分析

本次測試滿分12分.第（1）問2分，后兩問各5分，

共32人參加測試，

具體得分情況如表1所示.

學(xué)生解答中出現(xiàn)的主要問題有：沒有考慮分母不為零的情況，將k2k1代數(shù)化后對非對稱性問題處理能力不足，圓錐曲線中夾角的處理方法欠缺和計算能力不足等.

5 命題體會

（1）依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)揮引導(dǎo)作用

本題貫穿高考內(nèi)容改革要求，依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，進一步增強考試與教學(xué)的銜接，引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識系統(tǒng)，注重本原性方法，強調(diào)對通性通法的深入理解和綜合運用，促進學(xué)生將知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu).

（2）突出與教材的聯(lián)系，加強教考銜接

本題來源于教材卻高于教材，是對教材最好的利用，讓學(xué)生明白教材才是最好的學(xué)習(xí)資料，忽略教材的學(xué)習(xí)將會變得盲目.

（3）突出和高考真題的聯(lián)系，體現(xiàn)考試的傳承性

本題是高考題型的補充，豐富和延伸了高考真題的考查內(nèi)容，體現(xiàn)考試的傳承性.如與本題聯(lián)系較為緊密的高考題有2005年浙江高考理科數(shù)學(xué)第17題、2010年江蘇高考理科數(shù)學(xué)第17題以及2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷理科）第20題.

（4）突出與數(shù)學(xué)文化的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值

本題第（3）問是德國數(shù)學(xué)家米勒提出的最大視角求解問題，它是數(shù)學(xué)史上100個著名的極值問題中第一個極值問題因而引人注目，該類最大視角問題的研究有著實際價值.

（5）突出圓錐曲線的一般研究規(guī)律，融合熱點問題

本題是基于線段和角度（斜率）的一系列圓錐曲線問題，對圓錐曲線中有關(guān)斜率之商的一類問題不斷進行深入研究，完善了教材中的斜率之積問題，同時圓錐曲線的熱點問題也一一得到展示.

（6）突出考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮選拔功能

本題強化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想等，增強思維的靈活性，深入考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，助力提升學(xué)生綜合素質(zhì)，發(fā)揮考試的選拔功能.

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