厘清轉(zhuǎn)化 探究解法 透析本質(zhì)

摘要：文章對2023年高考新課標Ⅱ卷第21題的解答策略進行了多方位、深層次的剖析，從非對稱表征、對稱表征，線參、點參等多個角度給出多種解法.目的是反思教學中的問題，以期給高中數(shù)學教師的解題研究帶來啟發(fā)，為解題教學提供參考.

關(guān)鍵詞：定值；一題多解；非對稱；對稱

圓錐曲線是高中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，是考查學生數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)的良好載體.2023年高考新課標Ⅱ卷第21題，以直線與雙曲線為背景，考查求曲線方程及動點共線問題，是典型的定點定值問題.試題重視基礎(chǔ)性的同時也突出了綜合性、應用性，突出數(shù)學運算的同時，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想.

1 試題呈現(xiàn)

（2023年高考新課標Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（－25，0），離心率為5.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上.

2 解法賞析

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020修訂）》（以下簡稱《課標》）在平面解析幾何的學業(yè)要求中指出：“能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程，能根據(jù)幾何問題和圖形的特點，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題；根據(jù)對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路；運用代數(shù)方法得到結(jié)論.”［1］本試題的命制很好地貫徹了《課標》的要求，第（1）問的準確求解（求得雙曲線方程為x24－y216=1）可以認為學生達到《課標》數(shù)學運算素養(yǎng)水平一的要求，即“能夠在熟悉的數(shù)學情境中，根據(jù)問題的特征形成合適的運算思路，解決問題”［1］.第（2）問的準確求解可以認為學生達到《課標》數(shù)學運算素養(yǎng)水平二的要求，即“能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運算對象，提出運算問題，合理選擇運算方法，設(shè)計運算程序，解決問題”［1］.

解法13：因為A（－4，0）不是圓錐曲線上的點，過點A的兩條直線依次交圓錐曲線C于M，N，A1，A2四點，MA1，NA2交于點P，如圖3，則點P在A（－4，0）對應的極線－4x4－0＼5y16=1上，即在直線x=－1上.

點評：所謂站得高才能看得遠.極點極線理論雖然在高中課標中沒有要求，但作為圓錐曲線的一種基本特征，在高考試題中以此為背景的題目屢見不鮮.教師了解一些極點極線理論，引導學生用射影幾何的方法處理中學解析幾何問題，可以站在較高的觀點去看待試題，有利于學生透析問題本質(zhì)，更高層次理解中學數(shù)學內(nèi)容.

3 反思感悟

3.1 重視教材，夯實基礎(chǔ)，落實“四基”“四能”

高考對平面解析幾何的考查，強調(diào)考查學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗.因此，為了讓學生高考中取得成功，首先要在基礎(chǔ)問題的處理上下功夫，夯實基礎(chǔ)知識與基本方法，確保達到《標準》水平一的要求.要通過基礎(chǔ)題目的訓練，確保學生能熟練掌握求曲線方程、離心率、弦長、面積及韋達定理應用等的基本方法，過好基礎(chǔ)知識關(guān).復習時，還要重視教材的基礎(chǔ)作用和示范作用，重視教材中的基本概念、原理、方法等，引導學生養(yǎng)成利用教材中的基本概念去解決問題的習慣，落實“四基”“四能”.

3.2 重視本質(zhì)，加強運算，做到“既懂”“又會”

在新高考的考查方式中，新題型、新情境有所增多，但萬變不離其宗，針對解析幾何的本質(zhì)規(guī)律的考查是不會改變的.在解答題的考查中尤其突出對運算素養(yǎng)的檢測，數(shù)學運算主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果［1］.解析幾何問題一般都是在幾何分析的基礎(chǔ)上通過運算解決的.在高三復習時，應該強調(diào)對數(shù)和式合理的變形、整理，對幾何條件的合理轉(zhuǎn)化、化歸，課堂教學中留有足夠的時間讓學生運算、試錯，對比方法優(yōu)劣，在過程中體會運算、理解運算，使學生做到“既懂又會”“既快又好”.

3.3 重視通法，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，聚焦“能力”“素養(yǎng)”

《中國高考評價體系》在高考考查要求中指出“高考考查具有綜合性的特征，具體而言就是對同一層面的知識、能力、素養(yǎng)能夠橫向融會貫通，形成完整的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)”［2］.在高考復習過程中，教師應重視學生知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，引導學生將零散的知識點連成線，形成面，組成體，從而構(gòu)建一個系統(tǒng)、完整的數(shù)學知識體系.引導學生多視角、多方位思考一個問題，加強“一題多解、一題多變、多題一解”的訓練.對解析幾何中的一些經(jīng)典問題，既重視通性通法的求解，又深入挖掘其本質(zhì)，在問題解決中不斷提升關(guān)鍵能力，提升學生邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

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