一道高考導數(shù)壓軸題的新解法與拓展

摘要：本文中對2022年新高考Ⅰ卷第22題進行了深入研究，借助基本初等函數(shù)的圖象與性質給出這道考題關鍵步驟的新證法.在此基礎上，以基本初等函數(shù)為素材，以四則運算為暗線構造了兩個新命題.

關鍵詞：新高考；函數(shù)與導數(shù)

2022年新高考Ⅰ卷第22題是一道函數(shù)與導數(shù)的綜合問題，第（Ⅰ）問考查函數(shù)的最值問題，第（Ⅱ）問考查函數(shù)與方程，屬于探索創(chuàng)新問題.很多教師對這道題目進行過分析研究.中學數(shù)學月刊2022年第10期，雷蕾老師分享了該題第（Ⅱ）問的證明及延伸.筆者根據(jù)學情的特點，從教學實踐的需求出發(fā)再次研究這道高考題，從一個全新的視角給出其關鍵證明（壓軸問）的解析，并據(jù)其原理將問題拓展得到兩個新命題，供大家參考.

點評：荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為學習數(shù)學的唯一方法是實行“再創(chuàng)造”.數(shù)學的學習是在實踐中結合已有經(jīng)驗進一步理解數(shù)學概念和數(shù)學思想方法.當教師引導學生發(fā)現(xiàn)了題目的本質和原理之后，學生能學以致用，教學和學習的效果便得到了進一步的提升.基于這種教學理念，筆者構造了命題1和命題2，希望提供更豐富的素材給學生研究學習.從運算的視角來看，兩個新命題的條件和結論形式都是前后呼應的，即用乘法（除法）構造的函數(shù)，結論中根的關系也是積（商）的形式.如果我們將高考題的一般結論寫成x3－x1=x4－x2（減法）的形式就會發(fā)現(xiàn)它與條件的運算也是首尾呼應的.那么如果用加法構造函數(shù)結論又會是怎樣的呢？這些問題一定能引起學生濃厚的學習興趣.教學中可以采用探究課的形式讓學生自主探究，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的完整過程，從而發(fā)展學生的數(shù)學思維和數(shù)學核心素養(yǎng).