卡片游戲巧創設，競技比賽妙應用

摘要：以卡片游戲形式為問題場景的概率應用問題，是近年新高考數學概率與統計模塊知識命題中比較常見的一類題型.結合一道高考真題，借助卡片比賽來創設本質為“田忌賽馬”的數學實際應用場景，從不同思維層面來剖析與應用，總結并歸納解題技巧與方法策略，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：概率；卡片；分類討論；對立事件；數學建模

在新課標、新教材、新高考的“三新”背景下，數學教育更加強調育人價值，而合理引導學生進行體育鍛煉，強健體魄也是其中的一個重要方面.結合近幾年新高考中概率模塊知識的考查趨勢就可見一斑，其摒棄了浮夸的命題形式，以現實場景為創新情境，讓考生把注意力集中到數學問題的本質與內涵中去，充分體現數學教育本身應有的務實作用與實用價值，強化了數學考查的本質，回歸數學問題本源.而關注一些相應的游戲或比賽中的賽制問題，是概率應用中最為突出的一種應用場景.

1 真題呈現

高考真題 （2024年高考數學新高考Ⅰ卷·14）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上的數字的大小.數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為________.

2 問題剖析

此題以生活中卡片比賽為背景，通過設置比賽規則，以游戲的形式來合理體現數學在實際生活中的作用，特別是概率的應用.其問題背景應該就是“田忌賽馬”的數學形式表達與創新應用.

此問題的實質是排列組合與古典概型的綜合應用，難在方法的選擇上，確定好分類標準是解題的關鍵與突破口，特別是此類元素交換類綜合應用問題，需正確掌握分類的技巧與方法.

在實際解決該問題時，可以抓住問題的實質與內涵，只要注意到甲的出牌順序不影響概率，不妨設甲出牌的順序為1，3，5，7，這題將可以很輕松地進行分類討論.而具體解題時，通過分類討論直接切入，往往是解決問題最為常用的一種技巧方法；而通過對立事件間接切入，也符合問題設置中的語言場景；特別是借助數學模型的構建，利用數學建模思維來處理，可以給問題的分析與求解開拓一個全新的局面.

3 真題破解

3.1 直接思維

解法1：直接分類討論法1.

不妨設甲出牌的順序為1，3，5，7，乙隨機出牌.

依題，第一輪有4種情況，第二輪有3種情況，第三輪有2種情況，第四輪有1種情況，故一共有4×3×2×1=24種情況.

第一種情況：甲出1一定輸，所以最多得3分，就只有1種組合，即1與8，3與2，5與4，7與6.

第二種情況：得2分有三類，分別列舉如下.

（1）出3和出5的贏，其余輸，對應的組合為1種：1與6，3與2，5與4，7與8.

（2）出3和出7的贏，其余輸，對應的組合為3種：1與4，3與2，5與8，7與6；1與8，3與2，5與6，7與4；1與6，3與2，5與8，7與4.

（3）出5和出7的贏，其余輸，對應的組合為7種：1與2，3與8，5與4，7與6；1與4，3與8，5與2，7與6；1與8，3與4，5與2，7與6；

1與6，3與8，5與2，7與4；

1與8，3與6，5與2，7與4；

1與6，3與8，5與4，7與2；

1與8，3與6，5與4，7與2.

綜上分析，共12種組合滿足條件，所以甲的總得分不小于2的概率為1224=12.故填答案：12.

解法2：直接分類討論法2.

不妨確定甲的出牌順序為1，3，5，7，乙隨機出牌，則有A44=24種基本事件.

甲的數字1最小，乙的數字8最大，若數字1和數字8輪次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.

站在甲的視角下，分四種情況：

（1）1對8，則7必得分：

若得3分，則必須3，5都得分，即3對2，5對4，只有1種情況.

若得2分，則必須3，5只有一個得分：

①5得分，3不得分，即：5對2時，3對4或6，只有2種情況；5對4時，3對6，只有1種情況.共有3種情況.

②3得分，5不得分，即3對2，5對6，只有1種情況.

（2）3對8，7必得分：若5得分，即5對2或4，7對應2種情況，共有2×2=4種情況.

（3）5對8，7必得分：若3得分，即3對2，7對應2種情況，共有1×2=2種情況.

（4）8對7，最多得2分：若3得分，5得分，即3對2，5對4，只有1種情況.

綜上分析，共有12種情況滿足條件，所以甲總得分不小于2的概率為1224=12.

故填答案：12.

點評：根據問題實質，抓住“甲的總得分不小于2”直接來分類即總得分為3分或總得分為2分，從不同視角切入來分類與應用，再根據得分的情況與對應輸贏情況直接確定相應的組合，進而借助古典概型的概率公式求解.直接分類討論時，特別是確定對應輸贏情況時的數字交換問題，要細心認真，不能重復也不能遺漏.

3.2 間接思維

解法3：間接對立事件法.

依題，第一輪有4種情況，第二輪有3種情況，第三輪有2種情況，第四輪有1種情況，故一共有4×3×2×1=24種情況.

由于“甲的總得分不小于2”的對立事件為“甲的總得分為0或1”.

第一種情況：甲的總得分為0，就只有1種組合，即1與2，3與4，5與6，7與8.

第二種情況：甲的總得分為1，有三類，分別列舉如下.

（1）出3的贏，其余輸，對應的組合為1種：1與4，3與2，5與6，7與8.

（2）出5的贏，其余輸，對應的組合為3種：1與4，3與6，5與2，7與8；1與6，3與4，5與2，7與8；1與2，3與6，5與4，7與8.

（3）出7的贏，其余輸，對應的組合為7種：1與4，3與6，5與8，7與2；1與6，3與4，5與8，7與2；1與4，3與8，5與6，7與2；1與8，3與4，5與6，7與2；

1與2，3與6，5與8，7與4；1與2，3與8，5與6，7與4；

1與2，3與4，5與8，7與6.

綜上分析，“甲的總得分為0或1”共12種組合，所以甲的總得分不小于2的概率為1－1224=12.

故填答案：12.

點評：根據問題實質，抓住“甲的總得分不小于2”的對立事件為“甲的總得分為0或1”來間接分類，分別確定全輸或贏一次的機會，相對直接法來說要方便一點，進而綜合對立事件的概率公式求解.關鍵在于合理厘清比賽規則與卡片之間的對應關系，進而合理分析與求解.

3.3 建模思維

解法4：數學建模法.

問題可轉化為將1，3，5，7四個數字隨機放入編號為2，4，6，8的四個依次排列的盒子里，共有24種不同的方法.

若1投入2號盒子，符合題意的只有1-5-7-3這1種投放情況；

若3投入2號盒子，則只有3-1-5-7這1種投放情況不符合，則符合題意的有5種情況；

若5投入2號盒子，則只有5-1-3-7和5-3-1-7這2種情況不符合，符合題意的有4種情況；

若7投入2號盒子，則只有7-5-3-1和7-5-1-3這2種情況符合題意.

故共有1+5+4+2=12種情況符合，所以甲的總得分不小于2的概率為1224=12.故填答案：12.

點評：根據問題實質，合理數學建模，將生活中卡片比賽轉化為將相應數字隨機放入編號固定的依次排列的盒子里，這樣操作起來更加直觀形象，分析與處理起來更加靈活多變，不再是抽象而難分辨的.數學建模作為一大數學核心素養，在實際數學知識的考查與應用中起著非常重要的作用.

4 教學啟示

4.1 理解規則，合理應用

在實際解決一些相關游戲比賽中的概率綜合問題時，關鍵在于挖掘并理解比賽規則.無論哪類游戲，只有充分理解了游戲比賽規則，全面挖掘游戲比賽規則的顯性與隱性條件，才能綜合概率問題的求解技巧方法與思想方式，靈活應用概率的相關公式加以分析與求解.

4.2 構建模型，創新應用

高考中概率與統計中的綜合應用問題，往往是基于創新應用場景，特別以一些比較特殊重要模型來創設，如以上的卡片游戲，以及一些比較常見的如馬爾科夫鏈，或其他的如極大似然估計等新情境加持熱點場景來設置，進一步結合概率與統計的基本概念、性質、基本公式來數學運算與綜合應用等，合理融入數學基礎知識，全面考查閱讀理解能力、數據處理分析能力以及創新應用能力等，從而培養創新意識與創新應用，更加有效地服務于高考，更加針對性地進行有效選拔與合理區分.

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