探究二項分布的三類概率最大值問題

摘要：二項分布是重要的概率模型，二項分布概率公式含有三個參數(shù)n，k，p，固定其中兩個參數(shù)，探究二項分布三類最大值模型，并理論系統(tǒng)分析，從不同的視角再創(chuàng)造課本習(xí)題，結(jié)合案例綜合應(yīng)用，嘗試在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算與推理素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：二項分布;概率;最大值

二項分布最早出現(xiàn)在1654年法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費馬關(guān)于“點子問題”的通訊里；1713年伯努利給出了獨立事件的概率乘法定理，嚴格證明了二項分布概率公式［1］，將符合這種條件的試驗?zāi)Ｐ头Q為伯努利概型.二項分布是一類重要的伯努利模型，而二項分布概率最大值問題模型綜合性強，是考查的重難點，2019普通高中教科書選擇性必修第三冊（人教A版）給出了二項分布性質(zhì)的部分研究.本文中從教材的二項分布概率最大值模型出發(fā)，從不同的視角審視一道習(xí)題，從知識融會貫通的高度，對課本習(xí)題進行變形探究、演繹推廣、深化拓展，再創(chuàng)造，再發(fā)現(xiàn).

從三種角度探究服從二項分布概率最大值問題，以二項分布列P（X=k）=Cknpk（1－p）n－k為本質(zhì)，三個參數(shù)n，k，p中知二求一的最值問題，轉(zhuǎn)為為函數(shù)或者數(shù)列最值，本質(zhì)是利用函數(shù)（數(shù)列）的單調(diào)性，但是求解思路不一樣，一種是用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，另一種是通過作商比較大小等方法求最值.對教材課后習(xí)題進行開發(fā)，源于教材，充分挖掘課本題的特殊背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用.對于二項分布中的概率最大問題，需要關(guān)注理論推導(dǎo)過程，強化學(xué)生推理運算能力和邏輯推理能力，并能解決實際數(shù)學(xué)應(yīng)用題.

參考文獻：

［1］張雪媛.二項分布及其應(yīng)用的歷史研究［D］.天津：天津財經(jīng)大學(xué)，2015.

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