新課標理念下“數與運算一致性”教學初探

計數單位是建構數的概念的基礎，整數、小數和分數與計數單位息息相關。計數單位也是學生理解運算算理的基礎，四則運算可視為計數單位的累加、遞減、分解和組合。聚焦新課標理念下小學數學“數與運算”結構化主題教學，結合“計數單位”這一核心概念整體設計教學活動，幫助學生理解“數的認識”與“數的運算”的本質，感悟數與運算的整體性與一致性，培養學生的數學核心素養。

計數單位；數的認識；數的運算；一致性

張麗娟（1986—），女，江蘇省蘇州市吳中區郭巷實驗小學。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，要感悟、體會數的概念的一致性、數的運算的一致性、數與運算的一致性。從數的概念看，數是由多個計數單位組成的；從運算的意義看，加法是一切運算的基礎，所有運算都可以理解為相同計數單位個數的累加或遞減。因此，計數單位是建構數的概念的基礎，計數單位也是學生理解運算算理的關鍵，計數單位是溝通“認數”與“算數”的橋梁。在實際教學中，教師要基于新課標理念整體把握核心知識，開展知識間的結構化教學，以計數單位勾連“數的認識”和“數的運算”，體現數與運算的一致性，加深學生對知識本質的理解，培養其數學核心素養。

一、數與運算一致性內涵分析

（一）數的認識一致性

在小學階段，學生對數的認識主要包括整數、小數和分數。整數是從具體數量中抽象出的數，小數、分數是從具體數量及數量關系中抽象出的數。

學生首先學習的是整數，如認識整數4123，知道它是由4個“千”、1個“百”、2個“十”、3個“一”組成的；之后認識更大的數，如13987，知道千位滿十要向萬位進一。整數的計數單位包括個、十、百、千、萬等，相鄰的兩個計數單位間的進率都是10，稱為十進制計數法。

小數包含整數部分和小數部分。把“1”平均分成10份，則每份是0.1；0.1平均分成10份，每份是0.01，以此類推。小數部分的計數單位包括0.1、0.01等，10個0.01是1個0.1，同樣屬于十進制計數法。

在這三類數中，分數是相對特殊的存在。分數的意義是指將單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份。分數的計數單位是分數單位，如認識分數，知道它是由7個組成的，再數1個就可以進一。因此，分數的進制不一定是滿十進一，而是滿特定的分數單位進一，與計數單位的個數有關。

綜上所述，計數單位是建構整數、小數、分數的關鍵，它決定了數的意義、組成、大小等，這些數本質上是一個整體，具有一致性。學生在學習過程中要逐漸感悟計數單位的產生與實際應用的緊密聯系，慢慢體會數的認識的一致性。

（二）數的運算一致性

小學階段關于“數的運算”的學習是指整數、小數、分數的四則運算。從四種運算間的關系出發，加法是一切運算的開始，表示部分量和部分量合起來求出總量；減法是加法的逆運算，表示從總量中拿出部分量，求出剩下的部分量；乘法的意義是“多個相同數相加”，本質上是加法運算的簡化過程；除法是乘法的逆運算，也與減法有關，本質上是一個數連續減去若干個相同數得到結果。由此可見，四則運算間相互勾連，教師在教學中應建立相關的知識體系，幫助學生深刻理解運算的本質。

數的運算的一致性也是通過計數單位聯系起來的。在筆算加減法時，要注意將相同數位對齊，目的是使相同計數單位的累加或遞減準確。分數的通分，也是為了在計數單位相同的基礎上進行運算。在筆算乘法中，均是將計數單位與計數單位相乘，得到新的計數單位；計數單位的個數與計數單位的個數相乘，得到新的計數單位的個數。在筆算除法時，則是計數單位與計數單位相除，計數單位的個數與計數單位的個數相除。無論是哪一種數的運算，小數、分數的四則運算都可以和整數的四則運算建立聯系；無論哪種形式的數的運算，都是計數單位的累加、遞減、創生和細分這充分體現了數的運算的一致性。

綜上所述，數的認識和數的運算都具有一致性。數的認識是數的運算的基礎，數的運算又能更深層次地反映數的概念的形成與發展，這綜合體現了數與運算具有一致性。

二、數與運算一致性教學策略

基于對數與運算一致性內涵的深度理解，教師在組織數與運算主題課程教學時，要從整體出發架構知識體系，幫助學生把握運算的本質，從而促進學生數學學科核心素養的發展。下面，筆者以具體的教學實例“小數的意義和讀寫”與“除數是整數的小數除法”進行闡述與說明。

（一）數的認識的一致性以“小數的意義和讀寫”為例

“小數的意義和讀寫”是蘇教版小學數學五年級上冊第三單元第1課時的教學內容。蘇教版教材關于小數的知識共安排了四個單元，如表1所示。

在學生建立了對小數的初步認識后，“小數的意義和讀寫”能讓學生深入認識小數的本質，為學生進一步學習小數四則運算等知識奠定基礎。教材基于學生對米、分米、厘米、毫米，以及它們之間的關系的認識，引導學生感知一位小數、兩位小數、三位小數的含義。如果停留于表面的學習，學生就只能知道小數和分數在形式上有所聯系，并不能真正體會數之間的內在本質聯系。因此，如何引導學生在已有的認知基礎和學習經驗上認識小數，如何呈現小數、分數以及整數間的聯系，打通知識脈絡，是教師在備課中需要深入思考的問題。

1.勾連分數抽象概括0.1的意義

教師可出示研究單：0.1元表示什么？0.1米表示什么？

學生可選擇一個問題，結合研究單上的圖形進行思考并與同桌交流。學生通過展示、交流，能明白1元等于10角，1角是元，寫成小數是0.1元；1米等于10分米，1分米是米，寫成小數是0.1米。接著，教師可讓學生在正方形、正方體中分別表示出0.1，體會用具體圖形表示0.1就是將圖形平均分成10份，取其中的1份。如果用整數“1”來表示圖形，就是把“1”平均分成10份，其中的1份是0.1，表示，這就是0.1的意義。

2.數數深化一位小數的意義

教師可提出問題：在認識了0.1后，我們再來仔細觀察被平均分的正方形、正方體，你能從中找出哪個小數？它與0.1有什么聯系？

學生通過觀察、數數，能發現0.2里面有2個0.1，0.3里面有3個0.1……0.9里面有9個0.1。這些小數的小數部分都只有1位數，這樣的小數叫作一位小數。一位小數表示十分之幾，這就是一位小數的意義。然后，教師可讓學生繼續觀察正方形（或正方體），數一數并想一想：如果在0.9后再多數一個0.1是多少呢？學生很容易就能想到10個0.1就是“1”。在這一過程中，學生不僅能深刻理解一位小數的意義，還能明白小數和整數、分數間的聯系“數是數出來的”。

3.數的認識一致性計數單位的累加

學生通過遷移一位小數的認知方法，經歷從“生活中的數量”到“具體的圖形”抽象概括出0.01、0.001的意義的過程，理解兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾；然后在數形結合情境中數一數、想一想，理解和歸納兩位小數、三位小數的意義。這樣的結構化學習能讓學生逐漸體會小數與整數都是“十進制”以及小數與十進分數的聯系：一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……10個0.001（）是0.01（），10個0.01（）是0.1（），10個0.1（）是1，10個1是10……通過勾連小數、分數、整數，學生能慢慢體會數的認識的一致性，感悟“數是計數單位的累加”。計數單位是建構整數、小數、分數的關鍵，決定了數的意義、組成、大小等，因而整數、小數、分數在本質上是一個整體，具有一致性。

（二）數的運算的一致性以“除數是整數的小數除法”為例

數的運算具有一致性，但要真正打通整數、小數、分數運算之間的壁壘并非易事。學生學習整數除法之后，五年級上學期開始學習小數除法。小數除法涉及的知識點根據除數的特點總體可分為兩類，即除數是整數的小數除法和除數是小數的小數除法，而除數是小數的小數除法通過商不變規律可以轉化為除數是整數的小數除法。因此，除數是整數的小數除法在小數除法計算教學中十分重要。教師在備課時要深入探究問題：關于整數除法的學習認知與經驗對小數除法的學習有什么幫助？小數除法與整數除法之間到底有什么關系？

1.自主探索不同算法

在實際教學中，教師可創設貼合學生生活實際的問題情境：①小明去超市買4瓶養樂多，共花了48元，平均每瓶養樂多多少元？該問題可以用除法解決，學生在計算過程中需要回憶整數除法的計算方法。②小明買了3張貼畫共花了9.6元，平均每張貼畫多少元？同樣的，這個問題也屬于“等分除”的問題，可以用除法解決，列算式“9.6÷3”便可得出答案。通過觀察、對比，學生能夠發現這個算式與之前的算式有所不同，即被除數是小數。基于此，教師可引導學生在研究單上自主探索小數除法的計算方法，并與同桌交流為什么要這樣算。

2.理解算法與算理間的聯系

在學生進行自主探索、同桌交流后，教師可組織全班展示活動。可能出現的算法如下：

①1元＝10角，9.6元＝96角，96÷3＝32（角），32角＝3.2元。

②9.6元＝9元6角，9元平均分成3份，每份是3元，6角平均分成3份，每份是2角，3元2角是3.2元。

③豎式計算。學生在此計算過程中可能會遇到問題：小數點的位置應該放在哪里？學生交流算法及算理：計算9.6除以3時，先將9平均分成3份，也就是9個1平均分成3份，每份是3個1，3寫在個位上；再將0.6平均分成3份，也就是6個0.1平均分成3份，每份是2個0.1，2寫在十分位上。這與整數除法的計算方法是一致的，先從高位算起，再逐一細分計數單位。

3.體會除法運算的一致性

教師可繼續提出問題：小明又買了5千克香蕉，共花了12元，平均每千克香蕉多少元？

學生列豎式計算“12÷5”時，可能產生兩種想法：一是根據以往的經驗，用余數表示，得到“12÷5＝2（元）……2（元）”；二是繼續往下除，因為余下的“2元”還能繼續分，把2元看成20角，平均分成5份，每份是4角，進而得出2.4元。

這道題能讓學生進一步感悟小數除法是整數除法的延續，因為小數除法和整數除法一樣，都是先從高位算起，當高位上的數在平均分時有剩余時，再將高一級剩余的計數單位轉化為低一級的計數單位繼續細分計算下去。小數除法和整數除法的核心本質都是十進制計數單位的不斷細分，體現了除法運算之間的內在聯系，這可以讓學生感悟小數除法與整數除法運算具有整體性和一致性，建立關于除法運算的整體知識結構。

總而言之，計數單位是建構數的概念的基礎，計數單位也是學生理解運算算理的關鍵。抓住計數單位這一核心概念，使學生體會整數、小數、分數的意義與運算是一脈相承的，感悟數的概念的形成和發展與數的運算的一致性，進而凸顯“數與運算”主題教學的整體性與一致性，有助于學生深化對數學知識本質的理解，建立知識之間的聯系，形成結構化的思維，從而發展數學核心素養。

三、數與運算一致性教學評價分析

在讓學生感悟數與運算一致性的教學實踐中，教師切不可急于求成，尤其是新課標頒布以后，要讓學生有個慢慢適應的、循序漸進的過程。同時，教師對新課標以及教材的理解需要更透徹、更長遠，更具有目標性。比如，在幫助學生理解數的運算一致性的過程中，計算方法及原理的證明過程是培養學生數學核心素養必不可少的環節。教師要讓學生既明白算法，又講得清算理，將算理和算法融會貫通，真正理解知識的本質。對于課與課之間、單元與單元之間的聯系，教師要有系統性、整體性、發展性的認識，將零散的知識點整合在一起，幫助學生梳理知識脈絡。

從教材的教學內容分析，由生活化的問題情境入手是使數學教學有的放矢的重要途徑，也是學生體會數學與生活密切聯系的關鍵。在讓學生感悟數與運算一致性的教學實踐中，教師可以結合生活中的實際情況，引出有價值的數學問題，讓數的呈現更形象、具體。在解決實際問題的過程中，必定會用到數的運算，學生結合生活情境更容易理解四則運算的意義。像這樣以生為本的教學方式，不僅能激發學生的學習興趣，也能促進學生數學素養的全面發展。

綜上所述，教師應當重視對教材內容的分析和把控，深入淺出地理解小學數學教學的關鍵點，提煉并梳理出整體框架，進而引導學生體會不同數學知識之間的一致性和可遷移性，形成科學的思維習慣。

［參考文獻］

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