動態(tài)平衡問題的三種常用解答方法

［摘 要］文章著重介紹三種解決動態(tài)平衡問題的常用方法：圖解法、解析法及整體與隔離法。圖解法利用直觀圖形，幫助學(xué)生理解力的平衡；解析法借助數(shù)學(xué)工具實現(xiàn)精確求解；整體與隔離法則在多物體或多力情境中，通過靈活轉(zhuǎn)換視角簡化求解。這三種方法各具特色，相互補充，為學(xué)生解決動態(tài)平衡問題提供了全面的解答思路和方法指導(dǎo)。

［關(guān)鍵詞］動態(tài)平衡問題；解答方法；高中物理

［中圖分類號］ " "G633.7 " " " "［文獻標(biāo)識碼］ " "A " " " "［文章編號］ " "1674-6058（2024）29-0054-03

動態(tài)平衡問題是高中物理的一大難點，涉及物體在多種力作用下運動狀態(tài)的變化過程，此過程中各個力相互制約，形成動態(tài)平衡。解決動態(tài)平衡問題的關(guān)鍵在于理解力的平衡和動態(tài)變化原理，以及運用恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。

引起變化與平衡的主要因素有兩種：一是多個物體間相互作用，二是多個力同時作用于某一物體或系統(tǒng)。在高考等測試中，常見的動態(tài)平衡問題有三力平衡、多力平衡和多物體平衡。解決這些問題，常采用圖解法、解析法及整體與隔離法三種方法。下面筆者將詳細解析這三種方法。

一、圖解法

圖解法通過畫出示意圖，將抽象復(fù)雜的物理量關(guān)系或物理過程簡化為直觀圖形，幫助學(xué)生更好地理解問題本質(zhì)，找出關(guān)鍵的物理量。圖解法適用多物體、多力作用的問題，其在三力平衡問題中應(yīng)用最多。

面對三力平衡問題，首先需要明確研究對象并畫出受力示意圖。其次，將三個力的矢量首尾相接構(gòu)成一個封閉三角形。最后，檢查該三角形是否滿足“任意兩邊之和大于第三邊”。若滿足，則三個力平衡；若不滿足，則三個力不平衡。通過觀察不同情境下力的矢量三角形，可直觀理解各個力大小與方向的變化。此種方法不僅簡單易懂，而且能夠有效避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，從而提高解題效率。

［典例1］如圖1所示為某獨輪車與光滑圓柱體的截面圖，兩擋板[OA]、[OB]可繞[O]點轉(zhuǎn)動，[∠AOB=60°]且保持不變，初始時[OB]與水平方向的夾角為60°。保持[O]點的位置不變，使兩擋板沿逆時針方向緩慢轉(zhuǎn)動至[OA]水平。在此過程中關(guān)于圓柱體的受力情況，下列說法正確的是（ ）。

A.擋板[OA]對圓柱的作用力一直增大

B.擋板[OA]對圓柱的作用力先增大后減小

C.擋板[OB]對圓柱的作用力一直增大

D.小車對圓柱的作用力先減小后增大

分析：分析圓柱的受力可知，當(dāng)保持[O]點的位置不變，兩擋板逆時針緩慢轉(zhuǎn)動至[OA]水平時，圓柱在自身重力、兩個擋板彈力作用下維持動態(tài)平衡。此三個力中，兩力夾角始終不變，第三個力的大小和方向也始終不變，滿足矢量三角形條件。因此，可根據(jù)三個力畫出矢量三角形，并利用其外接圓輔助分析結(jié)果。

解：以圓柱為研究對象，對其進行受力分析可知其受到重力[G]和兩個擋板的彈力[FNA]和[FNB]，重力和兩彈力組成閉合三角形，畫出該三角形的外接圓（如圖2）。當(dāng)兩擋板沿逆時針緩慢轉(zhuǎn)動至[OA]水平時，兩個擋板對圓柱的彈力的夾角始終不變，圓柱所受重力[G]的大小和方向也始終不變。從圖中畫出的兩個彈力的變化情況可以看出，擋板[OA]對圓柱的作用力[FNA]先增大后減小，擋板[OB]對圓柱的作用力[FNB]逐漸減小。

評析：在使用圖解法解決三力平衡問題時，應(yīng)合理假設(shè)力的方向和大小，并依據(jù)題目條件進行驗證。同時，需注意力的矢量性，確保力方向準(zhǔn)確。

二、解析法

解析法通過建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，根據(jù)物理原理和公式，建立物體受力與運動狀態(tài)的關(guān)系，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。然而，運用代數(shù)運算、三角函數(shù)、相似與全等、微積分等數(shù)學(xué)手段，探究物體運動狀態(tài)變化的規(guī)律，進而解決問題。

面對多力平衡問題，首先需要明確研究對象的運動狀態(tài)和受力情況；然后利用牛頓第二定律或其他相關(guān)公式，建立物體受力與運動狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)方程。此方程常含未知數(shù)；最后需通過代數(shù)運算或微積分等數(shù)學(xué)方法求解方程，以確定未知數(shù)的大小。在解方程的過程中，需要注意各個力的矢量性，確保力的方向處理正確。

［典例2］如圖3所示，[A]、[B]為某陽臺豎直墻壁上凸出的兩個固定釘子，小王通過一段細線跨過[A]、[B]懸掛一吊籃（吊籃不與墻壁接觸）。因為[A]、[B]不等高，故重新調(diào)整釘子[B]于[C]處，[A]、[C]等高且[C]在[B]的正下方，重新懸掛上原來的細線，整個細線始終處在同一豎直平面內(nèi)，不計細線與釘子的摩擦，則下列說法正確的是（ ）。

A.調(diào)整后細線的張力大小比調(diào)整前要小

B.調(diào)整后細線的張力大小比調(diào)整前要大

C.調(diào)整后細線對兩個釘子的總作用力大小比調(diào)整前要小

D.調(diào)整后細線對兩個釘子的總作用力大小比調(diào)整前要大

分析：首先根據(jù)力的平衡條件和平行四邊形法則分析調(diào)整前后細線的張力變化，然后列出細線對釘子的作用力的表達式，最后結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行分析。

解：如圖4所示，設(shè)吊籃與細線在調(diào)整前后的交點分別為[O]、[O′]，[OB]與[AC]交于點[D]；調(diào)整前細線在[B]點對釘子的拉力為[T1]，[∠AOB=α]；調(diào)整后細線在[C]點對釘子的拉力為[T2]，[∠AO′C=β]。細線與釘子是跨接關(guān)系，因此細線上各處張力大小相等。根據(jù)力的平衡條件和幾何知識可知：

[AO=DOAO=CO2T1cosα2=G2T2cosβ2=G]

根據(jù)上述各式，可求得：

[T1=G2cosα2T2=G2cosβ2]

根據(jù)題意可知細線總長度不變，所以[△ABO]與[△ACO′]的周長相等，根據(jù)幾何知識可知[αgt;β]，所以有[T1gt;T2]，所以調(diào)整后細線上的張力大小要比調(diào)整前的小，故選項A正確，B錯誤。

因為吊籃在調(diào)整前后均處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以根據(jù)平衡條件可知，兩段細線對吊籃的合力始終等于吊籃的重力[G]，[G]不變，因此兩段細線對吊籃的合力也不變，即兩段細線上的張力的合力不變，所以調(diào)整前后細線對兩個釘子的總作用力大小不變。故選項C、D錯誤。

評析：利用解析法解決多力平衡問題，需熟練掌握牛頓第二定律、力的合成與分解、向心力公式等物理原理，以及代數(shù)運算、微積分等數(shù)學(xué)方法，并注意力的矢量性，正確把握力的方向。解析法雖對物理原理的理解要求較高，但能有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和解決問題能力。

三、整體與隔離法

整體與隔離法細分應(yīng)屬兩種方法，即整體法和隔離法，適用于解決多物體的動態(tài)平衡問題。在實際應(yīng)用中，這兩種方法往往是結(jié)合使用。

整體法將多個物體視為一個整體進行分析，特別適用于那些不涉及系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的問題。此方法能簡化問題，避免對每個物體進行單獨分析。通過分析整體的運動狀態(tài)和受力情況，可迅速揭示解決問題的關(guān)鍵。

隔離法則側(cè)重于將涉及的物體逐一隔離，進行單獨分析，特別適用于處理系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的問題。通過隔離物體，可以深入探究物體間的相互作用及力的影響，有助于理解物體間的相互制約和平衡關(guān)系，進而找到解決問題的線索。

［典例3］如圖5所示，兩質(zhì)量相等的小球[A]、[B]用長度為[L]的細線相連，另一長度也為[L]的細線一端連接小球[A]，另一端拴接在天花板上的[O1]點，小球[B]穿在光滑的豎直桿上，豎直桿上端與天花板交于[O2]點，[O1]、[O2]兩點間的距離也為[L]。初始時兩球均靜止，現(xiàn)對小球[B]施加一豎直向上的作用力[F]，使其緩慢沿桿向上移動到[O2]點，在此過程中，細線上的拉力分別記為[TO1A]、[TAB]，桿對[B]的彈力記為[NB]，則小球[B]移動過程中，下列說法正確的是（ ）。

A. [TO1A]先減小后增大

B. [TAB]先減小后增大

C. [NB]先減小后增大

D. [F]的大小始終不變

分析：本題屬于多物體的動態(tài)平衡問題，需要運用整體與隔離法，首先以小球[A]、[B]為整體進行分析，然后單獨分析兩個小球的受力情況。在用隔離法分析單個小球的平衡狀態(tài)時，可使用圖解法。

解：如圖6所示，以小球[A]、[B]為整體進行受力分析，設(shè)細線[O1A]與豎直方向的夾角為[θ]，細線[AB]與豎直方向的夾角為[α]，當(dāng)小球[B]在外力作用下緩慢沿桿向上移動時，夾角[θ]先減小后增大。

以小球[A]、[B]為整體進行受力分析，有：

[NB=TO1Asinθ]，

可知[NB]先減小后增大，故選項C錯誤。

從開始狀態(tài)到夾角[α]增加至90°的過程，有：

[F=mg-TAB′cosα]，

其中[TAB′=TAB ]，[TAB]在減小，[cosα]在減小，則[F]不會始終不變，所以選項[D]錯誤。

現(xiàn)用隔離法分別分析小球[A]和小球[B]的受力。

如圖7所示，將小球[A]所受的力平移構(gòu)成矢量三角形，其中重力的大小和方向始終不變，當(dāng)[θ]逐漸減小、[α]逐漸增大時，另外兩個力都在減小，當(dāng)[α=90°]時，[TAB=0]，此時[TO1A=mg]。之后[θ]逐漸增大，[α]從90°減小到60°。

如圖8所示，將小球[B]所受的力平移構(gòu)成矢量三角形，根據(jù)上面分析可知[TO1A]逐漸減小，[TAB]逐漸增大。

綜上可知，[TO1A]一直在減小，[TAB]先減小增大，所以選項A錯誤，選項B正確。

評析：在選擇整體法或隔離法時，需根據(jù)問題的特點和條件判斷，多數(shù)情況下應(yīng)結(jié)合兩種方法分析。選擇合適的方法，有助于更好地理解物體的受力與運動規(guī)律，從而找到解決問題的線索，并培養(yǎng)邏輯思維能力和問題解決能力。

總之，解決動態(tài)平衡問題需靈活選用圖解法、解析法及整體與隔離法等方法。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生真正掌握這些方法，并靈活應(yīng)用，從而提升學(xué)生的問題解決能力和邏輯思維能力，培育學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

［ " 參 " 考 " 文 " 獻 " ］

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（責(zé)任編輯 黃春香）