關注知識關聯整合 培養一題多解能力

摘 要：幾何問題是培養學生數學解題能力的有效載體，“一題多解”是培養學生解題能力的有效途徑.關注試題中條件和知識關聯性，探尋條件和知識間銜接點，并分析整合形成恰當、合理的解法，培養“一題多解”的能力，達到“做一題，會一類，通一片”的效果，真正培養學生的解題能力、推理能力和數學核心素養.

關鍵詞：三角形；內心；解法探究；一題多解

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0052-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：鄭志奎（1980.5—），男，浙江省開化人，本科，中學高級教師，從事中小學數學教學研究.

筆者研究歷年各地提前招生試題時發現，與三角形“五心”有關的試題出現頻率較大，特別是與三角形的內心有關幾何問題出現的頻次較高.

從知識本身的重要性方面來看，三角形的“五心”涉及初中平面幾何中三類重要線段，即中線、高線、角平分線，這也是平面幾何研究的重要元素.從初高中銜接角度來看，三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點，即三角形內切圓的圓心.與圓有關的性質是高中幾何知識的重點內容，掌握圓的有關性質，有助于學生進一步用解析法研究圓的其他性質，有助于拓寬學生解決與圓有關的幾何問題的視野.從知識本身的關聯性來看，三角形的內心涉及的相關核心知識較多，與其他知識的關聯性較大.如角平分線會涉及角的計算、角平分線的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理及面積法等知識.筆者以本市重點中學一道提前招生試題為例，對其解法進行深入探究，以期起到拋磚引玉的作用.

1 試題呈現

試題 如圖1，在△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，過△ABC的內切圓圓心O作DE∥BC，分別與AB，AC相交于點D，E，求DE的長.

2 解法探究

2.1 利用相似三角形的性質求解

思路分析 根據圖形特征，本題可考慮利用“平行+角平分線=等腰三角形”模型求解.利用等腰三角形的性質可將△CDE的周長轉化為CA+CB的長，利用“相似三角形的周長比等于相似比”可求出△CDE與△ABC的周長比，從而求出DE的長.

解法1 如圖2，連接OA，OB.因為O是△ABC的內心，所以∠DAO=∠BAO，∠EBO=∠ABO.又因為DE∥AB，所以∠BAO=∠DOA，∠ABO=∠EOB，△CDE∽△CAB，所以∠DAO=∠DOA，∠EBO=∠EOB，所以DA=DO，EB=EO，所以CD+CE+DECA+AB+BC=DEBA，所以CD+CE+DO+OECA+AB+BC=DEBA，所以CD+CE+DA+BECA+AB+BC=DEBA，即CA+CBCA+AB+BC=DEBA，所以9+89+8+7=DE7，所以DE=11924.

2.2 利用角平線定理求解

思路分析 內心是三角形內角平分線的交點，利用角平分線定理可求得所需線段長度，從而求出相似比CO：CG，最后利用相似三角形的性質求得DE.

解法2 如圖3，連接OB，OC.CO的延長線交AB于點G.因為O是△ABC的內心，所以CG平分∠ACB，根據角平分線定理得CACB=AGBG=98，所以BG=5617.同理可得，OB平分∠ABC，所以BCBG=COOG=177，所以COCG=2417.因為DE∥AB，所以△CDE∽△CAB，所以DEAB=CDCA=COCG=2417，所以DE=11924.

2.3 利用等面積法求解

思路分析 根據三角形面積公式得S△ABC=

12（AB+BC+AC）·r=12AB×h，先求出△ABC的高h和內切圓半徑r的關系，最后利用“對應高之比等于相似比”列方程求解.

解法3 如圖4，連接AO，OB，OC.AC切⊙O于點P，Q兩點連接OP.過點C作CH⊥AB，垂足為H.因為S△ABC=12（AB+BC+AC）·r=12AB×h，所以rh=ABAB+AC+BC=724.因為DE∥AB，所以△CDE∽△CAB，所以DEBC=h-rh=1724，所以DE=11924.

2.4 利用海倫公式求解

思路分析 先利用海倫公式很容易求出△ABC的高CH=h，再三角形面積公式求出內切圓半徑OF=r，最后用對應高之比等于相似比列方程求解.

解法4 如圖5，過點C作CH⊥AB，垂足為H.AB切⊙O于點F，連接OF.因為p=a+b+c2=12，S△ABC=p（p-a）（p-b）（p-c）=12×3×4×5=125，所以S△ABC=12（AB+BC+AC）·r=12AB×h=125，所以r=5，h=2475.因為DE∥AB，所以△CDE∽△CAB，所以DEBC=h-rh=1724，所以DE=11924.

2.5 利用勾股定理求解

思路分析 已知三角形三條邊可以根據勾股定理求出邊上的高CH及兩個直角三角形的邊AH和BH，根據面積法S△ABC=12（AB+BC+AC）·r=12AB×h求出內切圓半徑r，利用△ODP與△CAH相似可求出OD和OE.

解法5 如圖6，過C作CH⊥AB，垂足為H.AC，BC分別與⊙O相切于點P，Q，連結OP，OQ.設AH=x，則BH=7-x，根據勾股定理得92-x2=82-（7-x）2，解得x=337.根據勾股定理求得CH=h=2475，所以S△ABC=12（AB+BC+AC）·r=12AB×h=125，所以OP=OQ=r=5.因為DE∥AB，所以∠PDO=∠A，∠OPD=∠CHA，所以△ODP∽△CAH，所以OPCH=ODAC，即2475·OD=95，所以OD=6324.同理可得OE=5624，所以DE=OD+OE=11924.

2.6 利用切線長定理求解

思路分析 先根據切線長定理得CP+AB=AP+BC=BF+AC，且都等于周長一半.根據這一結論可求出切線長CP，AF，BQ等，利用勾股定理可得到OD和OE之間關系，再利用相似三角形的性質可得到OD和OE的另一個關系，從而聯立方程組可求出OD和OE的長.

解法6 如圖7，連接AO，OB.AC，BC分別與⊙O相切于點P，Q兩點，連接OP，OQ.因為O是△ABC的內心，所以∠1=∠2，∠3=∠4.又因為DE∥AB，所以∠2=∠DOA，∠3=∠EOB ，△CDE∽△CAB，所以∠DAO=∠1， ∠4=∠EOB，所以DA=DO，EB=EO.因為△ABC為⊙O的外接圓，所以CP=CQ，AP=AF，BF=BQ，所以CP+AB=AP+BC=BF+AC=12（AB+AC+BC）=12，所以CP=CQ=5，AP=AF=4，BF=BQ=3.設DA=x，BE=y，則DP=4-x，EQ=3-y.根據勾股定理可得x2-（4-x）2=y2-（3-y）2，即8x-6y=7.因為△CDE∽△CAB，所以CDCA=CECB，即9-x9=8-y8，解得y=5624，x=6324，所以DE=x+y=11924.

2.7 構造全等三角形求解

思路分析 利用角平分線性質可得∠DAO=∠BAO，在∠CAB的邊AB上截取線段AM，使AM=AD，從而可得到△ADO≌△AMO，然后利用相似三角形的性質及合比定理，可整體求出DE的長.

解法7 如圖8，在AB上截取AM=AD，BN=BE.連接OA，OB，OM，ON.因為O為內心，所以∠DAO=∠BAO，OA=OA，所以△ADO≌△AMO，所以OM=OD.又因為DE∥AB，所以∠BAO=∠DOA，所以∠DAO=∠DOA，所以DA=DO=AM=OM.同理BE=OE=BN=ON.設OD=x，OE=y，則MN=7-（x+y），易證△OMN∽△CAB，所以OMCA=ONCB=MNAB，即x9=y8=7-（x+y）7.從而可得x9=y8=7-（x+y）7=x+y8+9=x+y17，解得x+y=11924.

3 解題反思

根據波利亞解題理論，在解決數學問題時，首先要理清題目中的顯性條件，挖掘出隱含條件，把題目中存在的條件用自己的方式在圖中標注出來，這是解題的最基礎的一步.然后從不同條件出發，將相關條件組合、關聯，形成解決策略.

在解題過程中，一是要善于總結和反思，多采用“一題多解”“一題多用”“一題多變”開拓思路，拓寬視野；二是要注重“多解歸一”的反思，總結出多種方法的共性，挖掘其數學本質；三是要甄別“一題多解”中多種解題方法的優缺點，總結出解決此類問題策略的通性通法，達到“做一題，會一類，通一片”的效果，防止陷入“題海戰術”誤區.從而真正培養學生的邏輯思維和推理能力，提高數學核心素養.

4 結束語

通過解題過程的反思和總結可以發現，在初中數學學習中，不僅要扎實掌握數學基礎知識和基本技能、重視重要定理與推論、關注數學基本模型和數學思想方法，還要多嘗試“一題多解”，通過多總結、多反思形成通解通法.除此之外，也要高度關注知識與知識之間的銜接和內在關聯，形成知識鏈、知識網，培養整體思維觀，形成可復制、可借鑒的方法論［1］.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［責任編輯：李 璟］